新編一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：第3章 第6節(jié)　正弦定理和余弦定理 Word版含解析

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1、 第六節(jié)　正弦定理和余弦定理 [考綱傳真]　掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題． 1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 內(nèi)容 ＝＝＝2R.(R為△ABC外接圓半徑) a2＝b2＋c2－2bc·cos_A；b2＝c2＋a2－2ca·cos_B；c2＝a2＋b2－2ab·cos_C 變形形式 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝ cos A＝； cos B＝； cos C＝ 解決問(wèn)題 (1)已

2、知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角 (1)已知三邊求各角；(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角 2.三角形常用面積公式 (1)S＝a·ha(ha表示邊a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. (3)S＝r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑)． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)在△ABC中，若A＞B，則必有sin A＞sin B．(　　) (2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，則△ABC為銳角三角形．(　　) (3)在△ABC中，若A

3、＝60°，a＝4，b＝4，則B＝45°或135°.(　　) (4)在△ABC中，＝.(　　) [解析]　(1)正確．A＞B?a＞b?sin A＞sin B. (2)錯(cuò)誤．由cos A＝＞0知，A為銳角，但△ABC不一定是銳角三角形． (3)錯(cuò)誤．由b＜a知，B＜A. (4)正確．利用a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，可知結(jié)論正確． [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，則△ABC的形狀是(　　) A．銳角三角形　　　 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定 C　[

4、由正弦定理，得＝sin A，＝sin B，＝sin C，代入得到a2＋b2＜c2，由余弦定理得cos C＝＜0，所以C為鈍角，所以該三角形為鈍角三角形．] 3．(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，則b＝(　　) A. B. C．2 D．3 D　[由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×， 解得b＝3或b＝－(舍去)，故選D.] 4．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知A＝，a＝1，b＝，則B＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962172】 或　[由正弦定理＝，代入可求得sin B＝，故B＝或

5、B＝.] 5．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，則△ABC的面積等于________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962173】 2　[由題意及余弦定理得cos A＝＝＝，解得c＝2，所以S＝bcsin A＝×4×2×sin 60°＝2.] 利用正、余弦定理解三角形 　在△ABC中，∠BAC＝，AB＝6，AC＝3，點(diǎn)D在BC邊上，AD＝BD，求AD的長(zhǎng)． [解]　設(shè)△ABC的內(nèi)角∠BAC，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a，b，c， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC ＝(3)2＋62－2×3×6×cos ＝18＋36－(－36)＝90， 所以a＝3. 6分

6、 又由正弦定理得sin B＝＝＝， 由題設(shè)知0＜B＜， 所以cos B＝＝＝. 9分 在△ABD中，因?yàn)锳D＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B， 故由正弦定理得 AD＝＝＝＝. 12分 [規(guī)律方法]　1.正弦定理是一個(gè)連比等式，只要知道其比值或等量關(guān)系就可以運(yùn)用正弦定理通過(guò)約分達(dá)到解決問(wèn)題的目的． 2．(1)運(yùn)用余弦定理時(shí)，要注意整體思想的運(yùn)用． (2)在已知三角形兩邊及其中一邊的對(duì)角，求該三角形的其它邊角的問(wèn)題時(shí)，首先必須判斷是否有解，如果有解，是一解還是兩解，注意“大邊對(duì)大角”在判定中的應(yīng)用． [變式訓(xùn)練1]　(1)(20xx·鄭州模擬)已知a，b，c

7、分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊， 且(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A，則角B的大小為(　　) A．30°　　　　　B．45°　　　　C．60°　　　　D．120° (2)(20xx·全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________. (1)A　(2)　[(1)由正弦定理＝＝及(b－c)·(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A得(b－c)(b＋c)＝(a－c)a，即b2－c2＝a2－ac，∴a2＋c2－b2＝ac.又∵cos B＝，∴cos B＝，∴B＝30°. (2)在△A

8、BC中，∵cos A＝，cos C＝， ∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝. 又∵＝，∴b＝＝＝.] 判斷三角形的形狀 　(1)(20xx·東北三省四市二聯(lián))在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，滿足acos A＝bcos B，則△ABC的形狀為(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 (2)(20xx·安徽安慶二模)設(shè)角A，B，C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，則“A＋B＜C”是“△ABC是鈍角三角形”的(　　) A．充分不必要條件 B．

9、必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 (1)D　(2)A　[(1)因?yàn)閍cos A＝bcos B，由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形，故選D. (2)由A＋B＋C＝π，A＋B＜C，可得C＞，故三角形ABC為鈍角三角形，反之不成立．故選A.] [規(guī)律方法]　1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系．(2)化角為邊，通過(guò)代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁． 2．無(wú)論使用哪種方法，都不

10、要隨意約掉公因式；要移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能． [變式訓(xùn)練2]　設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若2sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形 B　[法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因?yàn)椋校糀－B＜π，所以A＝B. 法二：由正弦定理得2acos B＝c，再由余弦定理得2a·＝c?a2＝b2?a＝b.] 與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題 　(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)

11、已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，sin2B＝2sin Asin C. (1)若a＝b，求cos B； (2)設(shè)B＝90°，且a＝，求△ABC的面積． [解]　(1)由題設(shè)及正弦定理可得b2＝2ac. 2分 又a＝b，可得b＝2c，a＝2c. 由余弦定理可得cos B＝＝. 5分 (2)由(1)知b2＝2ac. 7分 因?yàn)锽＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2， 故a2＋c2＝2ac，進(jìn)而可得c＝a＝. 9分 所以△ABC的面積為××＝1. 12分 [規(guī)律方法]　三角形面積公式的應(yīng)用方法： (1)對(duì)于面積公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin

12、 A，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式． (2)與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化． [變式訓(xùn)練3]　(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求C； (2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng)． [解]　(1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 即2cos Csin(A＋B)＝sin C，3分 故2sin Ccos C＝sin C. 可得cos C＝，所以C＝. 5分 (2)由已知得absin

13、 C＝. 又C＝，所以ab＝6. 9分 由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7， 故a2＋b2＝13，從而(a＋b)2＝25. 所以△ABC的周長(zhǎng)為5＋. 12分 [思想與方法] 1．在解三角形時(shí)，應(yīng)熟練運(yùn)用內(nèi)角和定理：A＋B＋C＝π，＋＋＝中互補(bǔ)和互余的情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù)． 2．判定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換． 3．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B. [易錯(cuò)與防范] 1．已知兩邊及一邊的對(duì)角，利用正弦定理求其它邊或角．可能有一解、兩解、無(wú)解． 在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下： A為銳角 A為鈍角或直角 圖形 關(guān)系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的個(gè)數(shù) 一解 兩解 一解 一解 2.在判定三角形形狀時(shí)，等式兩邊一般不要約去公因式，以免漏解．