新版【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué)理一輪突破熱點(diǎn)題型：第8章 第5節(jié)　橢圓

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1、 1

2、 1 第五節(jié)　橢　圓 考點(diǎn)一 橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 　 [例1]　(1)(20xx·廣東高考)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 (2)(20xx·岳陽(yáng)模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)

3、2在x軸上，離心率為.過(guò)F1的直線(xiàn)l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為16，那么橢圓C的方程為_(kāi)_______． [自主解答]　(1)由右焦點(diǎn)為F(1,0)，可知c＝1，因?yàn)殡x心率為，即＝，故a＝2，由a2＝b2＋c2，知b2＝a2－c2＝3，因此橢圓C的方程為＋＝1. (2)由△ABF2的周長(zhǎng)為4a＝16，得a＝4，又知離心率為，即＝，c＝a＝2，所以a2＝16，b2＝a2－c2＝16－8＝8，所以橢圓C的方程為＋＝1. [答案]　(1)D　(2)＋＝1 【互動(dòng)探究】 在本例(2)中若將條件“焦點(diǎn)在x軸上”去掉，結(jié)果如何？ 解：由例1(2)知：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓的方程

4、為＋＝1；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓的方程為＋＝1.綜上可知C的方程為＋＝1或＋＝1.　　　　 【方法規(guī)律】 用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟 (1)作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)是在x軸上，還是在y軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能； (2)設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程＋＝1(a>b>0)，＋＝1(a>b>0)或mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)； (3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a，b，c或m，n的方程組； (4)得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求． 注意：用待定系數(shù)法求橢圓的方程時(shí)，要“先定型，再定量”，不能確定焦點(diǎn)的位置時(shí)，可進(jìn)行分類(lèi)討論或把橢圓的方程設(shè)為mx2＋

5、ny2＝1(m>0，n>0). 1．已知△ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長(zhǎng)是(　　) A．2 B． 6 C．4 D．12 解析：選C　根據(jù)橢圓定義，△ABC的周長(zhǎng)等于橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的2倍，即4. 2．(20xx·山東高考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為.雙曲線(xiàn)x2－y2＝1的漸近線(xiàn)與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解

6、析：選D　∵橢圓的離心率為，∴＝＝，∴a＝2b. ∴橢圓的方程為x2＋4y2＝4b2.∵雙曲線(xiàn)x2－y2＝1的漸近線(xiàn)方程為x±y＝0， ∴漸近線(xiàn)x±y＝0與橢圓x2＋4y2＝4b2在第一象限的交點(diǎn)為， ∴由圓錐曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得四邊形在第一象限部分的面積為b×b＝4， ∴b2＝5，∴a2＝4b2＝20.∴橢圓C的方程為＋＝1. 考點(diǎn)二 橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用 　 [例2]　(1)已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是橢圓x2＋2y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么|＋|的最小值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．2 (2)(

7、20xx·遼寧高考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，C與過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，則C的離心率e＝________. [自主解答]　(1)設(shè)P(x0，y0)，則＝(－1－x0，－y0)，＝(1－x0，－y0)， ∴＋＝(－2x0，－2y0)，∴|＋|＝＝2＝2. ∵點(diǎn)P在橢圓上，∴0≤y≤1，∴當(dāng)y＝1時(shí)，|＋|取最小值為2. (2) 如圖，設(shè)右焦點(diǎn)為F1，|BF|＝x，則cos∠ABF＝＝. 解得x＝8，故∠AFB＝90°.由橢圓及直線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)可知|AF1|＝8，且∠FAF1＝90°

8、，△FAF1是直角三角形，|F1F2|＝10，故2a＝8＋6＝14，2c＝10，e＝＝. 答案：(1)C　(2) 【方法規(guī)律】 1．利用橢圓幾何性質(zhì)的注意點(diǎn)及技巧 (1)注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系 在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍，或者最大值、最小值時(shí)，經(jīng)常用到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x，y的范圍，離心率的范圍等不等關(guān)系． (2)利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧 求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系． 2．求橢圓的離心率問(wèn)題的一般思路 求橢圓的離心率或其范圍時(shí)，一般是依據(jù)題設(shè)得出一個(gè)關(guān)于a，b，c的等式或不等

9、式，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得離心率或離心率的范圍． 如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓C的頂點(diǎn)，B是直線(xiàn)AF2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)，∠F1AF2＝60°. (1)求橢圓C的離心率； (2)已知△AF1B的面積為40，求a，b的值． 解：(1)由題意可知，△AF1F2為等邊三角形，a＝2c，所以e＝＝. (2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2，直線(xiàn)AB的方程為y＝－(x－c)． 將其代入橢圓方程3x2＋4y2＝12c2，得B.又A(0，c)， 所以|AB|＝ ＝c. 由S△AF1B＝|AF1|·|AB|sin ∠F1A

10、B＝a·c·＝a2＝40， 解得a＝10，c＝5，則b2＝75，即b＝5. 法二：設(shè)|AB|＝t.因?yàn)閨AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a. 由橢圓定義|BF1|＋|BF2|＝2a，可知|BF1|＝3a－t. 再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°，可得t＝a. 由S△AF1B＝|AF1|·|AB|·sin∠F1AB＝a·a·＝a2＝40， 解得a＝10，則c＝5，b＝5. 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)三 直線(xiàn)與橢圓的綜合問(wèn)題　　 1．直線(xiàn)與橢圓的綜合問(wèn)題，是近年來(lái)高考命題的熱點(diǎn)，多以解答題的形式出現(xiàn)，試題難度較高，多為中檔題． 2．高考對(duì)直

11、線(xiàn)與橢圓的綜合問(wèn)題的考查主要有以下幾個(gè)命題角度： (1)已知某條件，求直線(xiàn)的方程； (2)求三角形(或其他幾何圖形)的面積； (3)判斷幾何圖形的形狀； (4)弦長(zhǎng)問(wèn)題； (5)中點(diǎn)弦或弦的中點(diǎn)問(wèn)題． [例3]　(20xx·浙江高考)如圖，點(diǎn)P(0，－1)是橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)，C1的長(zhǎng)軸是圓C2：x2＋y2＝4的直徑．l1，l2是過(guò)點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線(xiàn)，其中l(wèi)1交圓C2于A，B兩點(diǎn)，l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D. (1)求橢圓C1的方程； (2)求△ABD面積取最大值時(shí)直線(xiàn)l1的方程． [自主解答]　(1)由題意得所以橢圓C1的方程為＋y2＝1.

12、(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)． 由題意知直線(xiàn)l1的斜率存在，不妨設(shè)其為k， 則直線(xiàn)l1的方程為y＝kx－1. 又圓C2：x2＋y2＝4，故點(diǎn)O到直線(xiàn)l1的距離d＝， 所以|AB|＝2＝2 . 又l2⊥l1，故直線(xiàn)l2的方程為x＋ky＋k＝0.設(shè)△ABD的面積為S， ①當(dāng)k＝0時(shí)，則D(0,1)，A(－，－1)，B(，－1)， 此時(shí)，|AB|＝2，|PD|＝2，所以S＝|AB|·|PD|＝×2×2＝2. ②當(dāng)k≠0時(shí)，由消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故x0＝－. 所以|PD|＝.則S＝|AB|·|PD|＝， 所以S＝≤ ＝，當(dāng)且

13、僅當(dāng)k＝±時(shí)取等號(hào)． 而當(dāng)k＝0時(shí)，S＝2<，故當(dāng)k＝±時(shí)△ABD面積取得最大值． 所以所求直線(xiàn)l1的方程為y＝±x－1. 直線(xiàn)與橢圓綜合問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解題策略 (1)求直線(xiàn)方程．可依題條件，尋找確定該直線(xiàn)的兩個(gè)條件，進(jìn)而得到直線(xiàn)方程． (2)求面積．先確定圖形的形狀，再利用條件尋找確定面積的條件，進(jìn)而得出面積的值． (3)判斷圖形的形狀．可依據(jù)平行、垂直的條件判斷邊角關(guān)系，再依據(jù)距離公式得出邊之間的關(guān)系． (4)弦長(zhǎng)問(wèn)題．利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式求解． (5)中點(diǎn)弦或弦的中點(diǎn)．一般利用點(diǎn)差法求解，注意判斷直線(xiàn)與方程是否相交． (20xx·重慶高考)如圖，橢圓的

14、中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e＝，過(guò)左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線(xiàn)交橢圓于A，A′兩點(diǎn)，|AA′|＝4. (1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)取平行于y軸的直線(xiàn)與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P，P′，過(guò)P，P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外．求△PP′Q的面積S的最大值，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的圓Q 的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解：(1)設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，由題意知點(diǎn)A(－c,2)在橢圓上，則＋＝1.從而e2＋＝1.由e＝，得b2＝＝8，從而a2＝＝16.故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，可設(shè)Q(x0,0)． 又設(shè)M(x，y)是橢圓上任意一點(diǎn)， 則|QM|2＝(x－x0)

15、2＋y2＝x2－2x0x＋x＋8×＝(x－2x0)2－x＋8(x∈[－4,4])． 設(shè)P(x1，y1)，由題意知，點(diǎn)P是橢圓上到點(diǎn)Q的距離最小的點(diǎn)，因此，上式當(dāng)x＝x1時(shí)取最小值，又因x1∈(－4,4)，所以上式當(dāng)x＝2x0時(shí)取最小值，從而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x. 由對(duì)稱(chēng)性知P′(x1，－y1)，故|PP′|＝|2y1|，所以 S＝|2y1||x1－x0|＝×2 |x0|＝× ＝× 當(dāng)x0＝±時(shí)，△PP′Q的面積S取到最大值2. 此時(shí)對(duì)應(yīng)的圓Q的圓心坐標(biāo)為Q(±，0)，半徑|QP|＝＝， 因此，這樣的圓有兩個(gè)，其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x＋)2＋y2＝6，(x－)2＋y2

16、＝6. ————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1個(gè)規(guī)律——橢圓焦點(diǎn)位置與x2，y2系數(shù)之間的關(guān)系 　給出橢圓方程＋＝1時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上?a>b>0；橢圓的焦點(diǎn)在y軸上?0