新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 專題探究課3 數(shù)列中的高考熱點問題 理 北師大版

1 1三)數(shù)列中的高考熱點問題(對應(yīng)學(xué)生用書第90頁)命題解讀數(shù)列在中學(xué)數(shù)學(xué)中既具有獨立性，又具有較強的綜合性，是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一個重要銜接點，從近五年全國卷高考試題來看，本專題的熱點題型有：一是等差、等比數(shù)列的綜合問題；二是數(shù)列的通項與求和；三是數(shù)列與函數(shù)、不等式的交匯，難度中等等差、等比數(shù)列的綜合問題解決等差、等比數(shù)列的綜合問題，關(guān)鍵是理清兩種數(shù)列的項之間的關(guān)系，并注重方程思想的應(yīng)用，等差(比)數(shù)列共涉及五個量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”已知等差數(shù)列an，公差d2，S1，S2，S4成等比數(shù)列(1)求an；(2)令bn(1)n，求bn的前n項和Tn.解(1)S1，S2，S4成等比數(shù)列SS1S4，(2a12)2a1解得a11，an12(n1)2n1.(2)bn(1)n·(1)n·(1)n.當(dāng)n為偶數(shù)時，bn的前n項和Tn1，當(dāng)n為奇數(shù)時，bn的前n項和Tn1.故Tn 規(guī)律方法1.若an是等差數(shù)列，則ban(b>0，且b1)是等比數(shù)列；若an是正項等比數(shù)列，則logban(b>0，且b1)是等差數(shù)列.2.對等差、等比數(shù)列的綜合問題，應(yīng)重點分析等差、等比數(shù)列項之間的關(guān)系，以便實現(xiàn)等差、等比數(shù)列之間的相互轉(zhuǎn)化.跟蹤訓(xùn)練已知數(shù)列an的前n項和為Sn，常數(shù)>0，且a1anS1Sn對一切正整數(shù)n都成立(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)a1>0，100.當(dāng)n為何值時，數(shù)列的前n項和最大？解(1)取n1，得a2S12a1，a1(a12)0.若a10，則Sn0.當(dāng)n2時，anSnSn1000，所以an0(n1)若a10，則a1.當(dāng)n2時，2anSn,2an1Sn1，兩式相減得2an2an1an，所以an2an1(n2)，從而數(shù)列an是等比數(shù)列，所以ana1·2n1·2n1.綜上，當(dāng)a10時，an0；當(dāng)a10時，an.(2)當(dāng)a1>0，且100時，令bnlg，由(1)知，bnlg2nlg 2.所以數(shù)列bn是單調(diào)遞減的等差數(shù)列，公差為lg 2.b1>b2>>b6lglg>lg 10，當(dāng)n7時，bnb7lglg<lg 10.故數(shù)列的前6項和最大數(shù)列的通項與求和(答題模板)數(shù)列的通項與求和是高考的必考題型，求通項屬于基本問題，常涉及等差、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、基本量的運算；求和問題關(guān)鍵在于分析通項的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當(dāng)?shù)那蠛头椒ǔ？嫉那蠛头椒ㄓ校汗椒?、錯位相減法、裂項相消法、分組求和法等(本小題滿分12分)(20xx·全國卷)已知an是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足b11，b2，anbn1bn1nbn.(1)求an的通項公式；(2)求bn的前n項和規(guī)范解答(1)由已知，a1b2b2b1，b11，b2，得a12.3分所以數(shù)列an是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，通項公式為an3n1.5分(2)由(1)知anbn1bn1nbn，得bn1，7分因此bn是首項為1，公比為的等比數(shù)列.9分記bn的前n項和為Sn，則Sn.12分閱卷者說易錯點防范措施不知道如何求出a1加強賦值法的訓(xùn)練，明確遞推式anbn1bn1nbn對任意nN均成立，欲求a1，只需令n1即可不會應(yīng)用第(1)問的結(jié)果事實上，一個解答題設(shè)計幾問，后一問的解答，應(yīng)有意識的應(yīng)用前一問的結(jié)果.規(guī)律方法若干個能唯一確定一個數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”.首項與公差是等差數(shù)列的“基本量”，首項與公比是等比數(shù)列的“基本量”.在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時，“基本量法”是常用的方法.跟蹤訓(xùn)練(20xx·全國卷)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項和為Tn，a11，b11，a2b22.(1)若a3b35，求bn的通項公式；(2)若T321，求S3.解設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，則an1(n1)·d，bnqn1.由a2b22得dq3.(1)由a3b35得2dq26.聯(lián)立和解得(舍去)，因此bn的通項公式為bn2n1.(2)由b11，T321得q2q200.解得q5或q4.當(dāng)q5時，由得d8，則S321.當(dāng)q4時，由得d1，則S36.數(shù)列與函數(shù)、不等式的交匯數(shù)列與函數(shù)的交匯一般體現(xiàn)在兩個方面：一是以數(shù)列的特征量n，an，Sn等為坐標(biāo)的點在函數(shù)圖像上，可以得到數(shù)列的遞推關(guān)系；二是數(shù)列的項或前n項和可以看作關(guān)于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問題數(shù)列與不等式的交匯考查方式主要有三種：一是判斷數(shù)列中的一些不等關(guān)系；二是以數(shù)列為載體，考查不等式恒成立問題；三是考查與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明角度1數(shù)列與函數(shù)的交匯已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn2n22n.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若點(bn，an)在函數(shù)ylog2 x的圖像上，求數(shù)列bn的前n項和Tn. 【導(dǎo)學(xué)號：79140186】解(1)當(dāng)n2時，anSnSn12n22n2(n1)22(n1)4n，當(dāng)n1時，a1S144×1，所以數(shù)列an的通項公式為an4n.(2)由點(bn，an)在函數(shù)ylog2 x的圖像上得anlog2bn，且an4n，所以bn224n16n，故數(shù)列bn是以16為首項，公比為16的等比數(shù)列Tn.規(guī)律方法解決此類問題要抓住一個中心函數(shù)，兩個密切聯(lián)系：一是數(shù)列和函數(shù)之間的密切聯(lián)系，數(shù)列的通項公式是數(shù)列問題的核心，函數(shù)的解析式是研究函數(shù)問題的基礎(chǔ)；二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系，利用它們之間的對應(yīng)關(guān)系進行靈活的處理.角度2數(shù)列與不等式的交匯(20xx·東北三省三校二模)已知數(shù)列an滿足a13，an12ann1，數(shù)列bn滿足bnann.(1)證明：數(shù)列bn為等比數(shù)列；(2)若數(shù)列cn滿足cn，且數(shù)列cn的前n項和Tn，求證：Tn.證明(1)an12ann1，an1(n1)2(ann)，即bn12bn.又b1a112，數(shù)列bn是以2為首項、2為公比的等比數(shù)列(2)由(1)知，bn2×2n12n，cn.Tn.規(guī)律方法解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；如果是解不等式問題要使用不等式的各種不同解法，如列表法、因式分解法等.總之解決這類問題把數(shù)列和不等式的知識巧妙結(jié)合起來綜合處理就行了.跟蹤訓(xùn)練設(shè)nN，xn是曲線yx2n21在點(1,2)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)(1)求數(shù)列xn的通項公式；(2)記Tnxxx，證明：Tn.解(1)y(x2n21)(2n2)x2n1，曲線yx2n21在點(1,2)處的切線斜率為2n2，從而切線方程為y2(2n2)(x1)令y0，解得切線與x軸交點的橫坐標(biāo)xn1，所以數(shù)列xn的通項公式xn.(2)證明：由題設(shè)和(1)中的計算結(jié)果知，Tnxxx.當(dāng)n1時，T1.當(dāng)n2時，因為x2>，所以Tn>××××.綜上可得，對任意的nN，均有Tn.