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1、
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2、 1
第九章 圓錐曲線
一.基礎(chǔ)題組
1.【2007四川,理5】如果雙曲線上一點P到雙曲線右焦點的距離是2,那么點P到y(tǒng)軸的距離是( )
(A) (B) (C) (D)
2.【2007四川,理8】已知拋物線上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點A、B,則|AB|等于( )
(A)3 (B)4 (C) (D)
3.【20xx四川,理14】雙曲
3、線上一點P到雙曲線右焦點的距離是4,那么點P到左準(zhǔn)線的距離是 .
4.【20xx四川,理6】拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是( )
(A) (B) (C) (D)
【考點定位】本題考查拋物線與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單的幾何性質(zhì),點到直線的距離公式,計算量小,基礎(chǔ)題.
5. 【20xx高考四川,理5】過雙曲線的右焦點且與x軸垂直的直線,交該雙曲線的兩條漸近線于A,B兩點,則( )
(A) (B) (C)6 (D)
4、
【考點定位】雙曲線.
二.能力題組
1.【2008四川,理12】已知拋物線的焦點為,準(zhǔn)線與軸的交點為,點在上且,則的面積為( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】:B
【點評】:此題重點考察雙曲線的第二定義,雙曲線中與焦點,準(zhǔn)線有關(guān)三角形問題;
【突破】:由題意準(zhǔn)確化出圖象,利用離心率轉(zhuǎn)化位置,在中集中條件求出是關(guān)鍵;
2.【2009四川,理7】已知雙曲線=1(b>0)的左,右焦點分別為F1、F2,其一條漸近線方程為y=x,點P(,y0)在該雙曲線上,則=( )
(A)-12 (B)-2
5、 (C)0 (D)4
3.【2009四川,理9】已知直線和直線,拋物線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值是( )
(A) (B) (C) (D)
【考點定位】本小題考查拋物線的定義、點到直線的距離,綜合題.
4.【20xx四川,理9】橢圓的右焦點,其右準(zhǔn)線與軸的交點為A,在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點,則橢圓離心率的取值范圍是( )
(A) (B) (C) (D)
5.【20xx四川理8】已知拋物線關(guān)于軸對稱,它的頂點在坐標(biāo)原點,并且經(jīng)過點。若點到該
6、拋物線焦點的距離為,則( )
A、 B、 C、 D、
6.【20xx四川,理15】橢圓的左焦點為,直線與橢圓相交于點、,當(dāng)?shù)闹荛L最大時,的面積是____________。
7.【20xx四川,理10】已知是拋物線的焦點,點,在該拋物線上且位于軸的兩側(cè),(其中為坐標(biāo)原點),則與面積之和的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【考點定位】1、拋物線;2、三角形的面積;3、重要不等式.
8. 【20xx高考四川,理10】設(shè)直線
7、l與拋物線相交于A,B兩點,與圓相切于點M,且M為線段AB的中點.若這樣的直線l恰有4條,則r的取值范圍是( )
(A) (B) (C) (D)
【考點定位】直線與圓錐曲線,不等式.
三.拔高題組
1.【2007四川,理20】設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點.
(Ⅰ)若是該橢圓上的一個動點,求·的最大值和最小值;
(Ⅱ)設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、,且∠為銳角(其中為坐標(biāo)原點),求直線的斜率的取值范圍.
【答案】(1)有最小值,有最大值;(2)或.
【考點】本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識,以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知
8、識解決問題及推理計算能力.
2.【2008四川,理21】(本小題滿分12分)
設(shè)橢圓的左右焦點分別為,離心率,右準(zhǔn)線為,是上的兩個動點,
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)證明:當(dāng)取最小值時,與共線.
(Ⅱ)
當(dāng)且僅當(dāng)或時,取最小值
此時,
故與共線.
【點評】:此題重點考察橢圓中的基本量的關(guān)系,進而求橢圓待定常數(shù),考察向量的綜合應(yīng)用;
【突破】:熟悉橢圓各基本量間的關(guān)系,數(shù)形結(jié)合,熟練地進行向量的坐標(biāo)運算,設(shè)而不求消元的思想在圓錐曲線問題中的靈活應(yīng)用.
3.【2009四川,理20】 已知橢圓的左右焦點分別為,離心率,右準(zhǔn)線方程為.
(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)
9、過點的直線與該橢圓交于兩點,且,求直線的方程.
【答案】(I);(II)或.
4.【20xx四川,理20】(本小題滿分12分)
已知定點,定直線,不在軸上的動點與點的距離是它到直線的距離的2倍.設(shè)點的軌跡為,過點的直線交于兩點,直線分別交于點
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)試判斷以線段為直徑的圓是否過點,并說明理由.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)線段為直徑的圓過點,理由略.
【解析】(Ⅰ)設(shè),則
化簡得
②當(dāng)直線BC與軸垂直時,其方程為則
AB的方程為,所以點的坐標(biāo)為
同理可得
因此
綜上,
故以線段MN為直徑的圓過點
【考點】(Ⅰ)主要考查圓錐曲線的統(tǒng)一
10、定義;(Ⅱ)恰當(dāng)運用整體思想、設(shè)而不求思想以及直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題,考查直線過定點問題.
5.【20xx四川,理21】(本小題共l2分)
橢圓有兩頂點A(-1,0)、B(1,0),過其焦點F(0,1)的直線l與橢圓交于C、D兩點,并與x軸交于點P.直線AC與直線BD交于點Q.
(I)當(dāng)|CD | = 時,求直線l的方程;
(II)當(dāng)點P異于A、B兩點時,求證: 為定值.
【答案】(I) 或;(II)證明略.
不妨設(shè),則
因此Q點的坐標(biāo)為,又,∴.
故為定值.
6.【20xx四川,理21】 (本小題滿分12分)
11、如圖,動點到兩定點、構(gòu)成,且,設(shè)動點的軌跡為。
(Ⅰ)求軌跡的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與軸交于點,與軌跡相交于點,且,求的取值范圍。
而點在曲線上,
綜上可知,軌跡C的方程為(x>1).
7.【20xx四川,理20】(本小題滿分13分)
已知橢圓:的兩個焦點分別為,,且橢圓經(jīng)過點.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè)過點的直線與橢圓交于、兩點,點是線段上的點,且,求點的軌跡方程.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) ,其中,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,橢圓C 的方程為.
設(shè)點的坐標(biāo)為.
(1)當(dāng)直線與軸垂直時,直線與橢圓C 交于(0,1)、(0,?1)兩點
12、,
此時點的坐標(biāo)為.
【考點定位】本小題主要考查直線、橢圓、曲線與方程等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類與整合等數(shù)學(xué)思想,并考查思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.計算出錯(整式、分式、根式運算中,在代入、變形、整理、化簡諸環(huán)節(jié)出錯);公式出錯(一元二次不等式的解集公式、斜率公式、韋達(dá)定理等);概念出錯(求軌跡方程時,忘記檢驗純粹性).
8.【20xx四川,理20】已知橢圓C:()的焦距為4,其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點,T為直線上任意一點,過F作TF的垂線交橢圓C于點P,Q.
(i)證明:OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點);
(ii)當(dāng)最小時,求點T的坐標(biāo).
【答案】(1) ;(2)
(ⅱ),又,所以
.
當(dāng)時取等號,此時T的坐標(biāo)為.
【考點定位】1、橢圓的方程;2、直線與圓錐曲線;3、最值問題.
9. 【20xx高考四川,理20】如圖,橢圓E:的離心率是,過點P(0,1)的動直線與橢圓相交于A,B兩點,當(dāng)直線平行與軸時,直線被橢圓E截得的線段長為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)在平面直角坐標(biāo)系中,是否存在與點P不同的定點Q,使得恒成立?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.