2019年高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 2.2 雙曲線 2.2.1 雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程講義（含解析）湘教版選修2-1.doc

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2．2.1　雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 [讀教材填要點(diǎn)] 1．雙曲線的定義 平面上到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值為大于0的定值(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫作雙曲線的焦距． 2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn)位置 焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在y軸上 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 焦點(diǎn)坐標(biāo) F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0) F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c) a，b，c的關(guān)系 c2＝a2＋b2 [小問(wèn)題大思維] 1．雙曲線的定義中，為什么要規(guī)定定值小于|F1F2|？若定值等于|F1F2|或等于0或大于|F1F2|，點(diǎn)的軌跡又是怎樣的曲線？ 提示：(1)如果定義中定值改為等于|F1F2|，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線(包括端點(diǎn))． (2)如果定義中定值為0，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線． (3)如果定義中定值改為大于|F1F2|，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在． 2．在雙曲線的定義中，如果將“差的絕對(duì)值”改為“差”，那么點(diǎn)的軌跡還是雙曲線嗎？ 提示：不是．是雙曲線的一支． 3．若方程－＝1表示雙曲線，m，n應(yīng)滿足什么條件？ 提示：若方程－＝1表示雙曲線，則mn>0. 雙曲線定義的應(yīng)用 在△ABC中，已知|AB|＝4，且三內(nèi)角A，B，C滿足sin B－sin A＝sin C，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求頂點(diǎn)C的軌跡方程，并指明表示什么曲線． [自主解答]　如圖所示，以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則A(－2，0)，B(2，0)． 由正弦定理得sin A＝， sin B＝，sin C＝. ∵sin B－sin A＝sin C， ∴b－a＝. 從而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2＜|AB|. 由雙曲線的定義知，點(diǎn)C的軌跡為雙曲線的右支． ∵a＝，c＝2， ∴b2＝c2－a2＝6. ∴頂點(diǎn)C的軌跡方程為－＝1(x＞)． 故C點(diǎn)的軌跡為雙曲線的右支且除去點(diǎn)(，0)． 解答此類問(wèn)題要注意定義中的兩個(gè)關(guān)鍵性條件： (1)差的絕對(duì)值是定值， (2)常數(shù)大于0小于兩定點(diǎn)間的距離． 同時(shí)具備這兩個(gè)條件才是雙曲線． 1．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線－＝1的左、右焦點(diǎn)，若P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且|PF1||PF2|＝32.試求△F1PF2的面積． 解：因?yàn)镻是雙曲線左支上的點(diǎn)，所以|PF2|－|PF1|＝6，兩邊平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝36，所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1||PF2|＝36＋232＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理， 得cos∠F1PF2＝＝＝0，所以∠F1PF2＝90， 所以S△F1PF2＝|PF1||PF2|＝32＝16. 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (1)c＝，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－5,2)，焦點(diǎn)在x軸上； (2)過(guò)點(diǎn)P，Q且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上． [自主解答]　(1)∵焦點(diǎn)在x 軸上，c＝， ∴設(shè)所求雙曲線方程為－＝1(其中0<λ<6)． ∵雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－5,2)， ∴－＝1. ∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求雙曲線方程是－y2＝1. (2)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)， ∵雙曲線過(guò)P，Q， ∴解得 ∴所求雙曲線方程為－＝1. 1．雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法 (1)定義法：根據(jù)雙曲線的定義得到相應(yīng)的a，b，c，再寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)待定系數(shù)法：先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程－＝1或－＝1(a，b均為正數(shù))，然后根據(jù)條件求出待定的系數(shù)代入方程即可． 2．求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)定位：“定位”是指確定與坐標(biāo)系的相對(duì)位置，在“標(biāo)準(zhǔn)方程”的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以判斷方程的形式； (2)定量：“定量”是指確定a2，b2的具體數(shù)值，常根據(jù)條件列方程求解． 2．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (1)a＝4，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A； (2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,0)，(－6，－3)． 解：(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)， 設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(b>0)， 把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得b2＝－<0，不符合題意； 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)， 設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(b>0)， 把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得b2＝9， ∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. (2)設(shè)雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)， ∵雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,0)，(－6，－3)， ∴解得 ∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用 設(shè)P為雙曲線x2－＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，則△PF1F2的面積為(　　) A．6　　　　　　　　 B．12 C．12 D．24 [自主解答]　如圖所示，∵|PF1|－|PF2|＝2a＝2，且|PF1|∶|PF2|＝3∶2， ∴|PF1|＝6，|PF2|＝4. 又∵|F1F2|＝2c＝2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， ∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝64＝12. [答案]　B 在解決與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題的時(shí)候，首先要注意定義條件||PF1|－|PF2||＝2a的應(yīng)用．其次是要利用余弦定理、勾股定理等知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算．在運(yùn)算過(guò)程中要注意整體思想的應(yīng)用和一些變形技巧的應(yīng)用． 若本例中的|PF1|∶|PF2|＝3∶2改為12＝0，求△PF1F2的面積． 解：由題意12＝0，則PF1⊥PF2， ∴△PF1F2為直角三角形． ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， ∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|＝|F1F2|2， 又∵||PF1|－|PF2||＝2a＝2， |F1F2|2＝4c2＝4(a2＋b2)＝4(1＋12)＝52， ∴4＋2|PF1||PF2|＝52， ∴|PF1||PF2|＝24， ∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝12. 3．雙曲線－＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上，若PF1⊥PF2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 解：由雙曲線的方程知：a＝3，b＝4，c＝5，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，坐標(biāo)為(x，y)，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)，那么： 由①得：(|PF1|－|PF2|)2＝36. 所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝36. ∴|PF1||PF2|＝32. 在直角三角形PF1F2中， |PF1||PF2|＝|F1F2|y＝32， 所以y＝，代入雙曲線的方程得：x＝，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是，再根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性得點(diǎn)P的坐標(biāo)還可以是，， . 解題高手 多解題 條條大路通羅馬，換一個(gè)思路試一試 設(shè)雙曲線與橢圓＋＝1有相同的焦點(diǎn)，且與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，求此雙曲線的方程． [解]　法一：∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上， 由題意可設(shè)雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)． 由題意知c2＝36－27＝9，c＝3. 又點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，則橫坐標(biāo)為， 于是有 解得 所以雙曲線方程為－＝1. 法二：將點(diǎn)A的縱坐標(biāo)代入橢圓方程得A(，4)， 又兩焦點(diǎn)分別為F1(0,3)，F(xiàn)2(0，－3)．所以2a＝ |－| ＝4，a＝2， b2＝c2－a2＝9－4＝5， 所以雙曲線方程為－＝1. 法三：由題意設(shè)雙曲線方程為 ＋＝1(27＜λ＜36)， 將A(，4)代入得＋＝1. 解得λ＝32或λ＝0(舍去)． ∴所求雙曲線的方程為－＝1. 1．若雙曲線E：－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于(　　) A．11　　　　　　　　　 B．9 C．5 D．3 解析：由雙曲線的定義有||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9或|PF2|＝－3(舍去)． 答案：B 2．雙曲線方程為x2－2y2＝1，則它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A. B. C. D. 解析：將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1， ∴a2＝1，b2＝. ∴c＝＝，故右焦點(diǎn)坐標(biāo)為. 答案：C 3．平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)F1(－5,0)和F2(5,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝6，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是(　　) A.－＝1(x≤－4) B.－＝1(x≤－3) C.－＝1(x≥4) D.－＝1(x≥3) 解析：由題意，得c＝5，a＝3，∴b＝4， ∴P點(diǎn)的軌跡方程是－＝1(x≥3)． 答案：D 4．若方程－＝1表示雙曲線，則k的取值范圍是________． 解析：由題意知，(1＋k)(1－k)>0，即－10，解得－m20，且m＋9＝52，解得m＝16. 答案：16 6．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(－3,0)和F2(3,0)，且P在雙曲線右支上，則該雙曲線的方程是______________． 解析：法一：利用雙曲線定義． 2a＝|PF1|－|PF2|＝ － ＝－＝2， ∴a＝，b2＝c2－a2＝4. 故所求方程為－＝1. 法二：待定系數(shù)法． 設(shè)雙曲線方程為－＝1， 則有－＝1， ∴4a4－65a2＋225＝0. ∴a2＝5或a2＝>9(舍去)． ∴雙曲線方程為－＝1. 答案：－＝1 7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線－＝1上一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，則點(diǎn)M到此雙曲線的右焦點(diǎn)的距離為_(kāi)_______． 解析：由題易知，雙曲線的右焦點(diǎn)為(4,0)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，)或(3，－)，則點(diǎn)M到此雙曲線的右焦點(diǎn)的距離為4. 答案：4 8．已知F是雙曲線－＝1的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值為_(kāi)_______． 解析：設(shè)右焦點(diǎn)為F1，依題意， |PF|＝|PF1|＋4， ∴|PF|＋|PA|＝|PF1|＋4＋|PA| ＝|PF1|＋|PA|＋4 ≥|AF1|＋4＝5＋4＝9. 答案：9 三、解答題 9．若方程＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解：∵方程＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線， ∴即 ∴m＞5. 即m的取值范圍是(5，＋∞)． 10．已知雙曲線過(guò)點(diǎn)(3，－2)且與橢圓4x2＋9y2＝36有相同的焦點(diǎn)． (1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若點(diǎn)M在雙曲線上，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且|MF1|＋|MF2|＝6，試判斷△MF1F2的形狀． 解：(1)橢圓的方程可化為＋＝1，焦點(diǎn)在x軸上，且c＝＝.故可設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)．依題意得解得a2＝3，b2＝2. 故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. (2)不妨設(shè)M在雙曲線的右支上， 則有|MF1|－|MF2|＝2. 又|MF1|＋|MF2|＝6， 解得|MF1|＝4，|MF2|＝2. 又|F1F2|＝2c＝2， 因此在△MF1F2中，|MF1|邊最長(zhǎng)， 由余弦定理可得cos∠MF2F1 ＝ ＝＝－<0. 所以∠MF2F1為鈍角，故△MF1F2是鈍角三角形．