新版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題1.4 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題突破 全國(guó)高考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)大串講

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1、 1

2、 1 專題一 高考中函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 題型一 分段函數(shù)求值問題 【例1】 設(shè)f(x)= 且f(1)=6,則f(f(-2))的值為________. 【思維啟迪】 首先根據(jù)f(1)=6求出t的取值,從而確定函數(shù)解析式,然后由里到外逐層求解f(f(-2))的值,并利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律求出函數(shù)值. 【答案】 12 【思維升華】 本題的難點(diǎn)有兩個(gè),一是準(zhǔn)確理解

3、分段函數(shù)的定義,自變量在不同取值范圍內(nèi)對(duì)應(yīng)著不同的函數(shù)解析式;二是對(duì)數(shù)與指數(shù)的綜合運(yùn)算問題.解決此類問題的關(guān)鍵是要根據(jù)分段函數(shù)的定義,求解函數(shù)值時(shí)要先判斷自變量的取值區(qū)間,然后再代入相應(yīng)的函數(shù)解析式求值,在求值過程中靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)恒等式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值. 【跟蹤訓(xùn)練】已知f(x)=則f+f的值等于________. 【答案】 3 【解析】 f=,f=f+1=f+2=,f+f=3. 題型二 函數(shù)圖象及性質(zhì)的應(yīng)用 【例2】 已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí)f(x)=2x-x2. (1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式并畫出其大致圖象; (2)若當(dāng)x∈a,b]時(shí),f(x)∈.若0

4、2,求a、b的值. 【思維啟迪】 (1)根據(jù)函數(shù)奇偶性畫出函數(shù)圖象;(2)在區(qū)間0,2]上,根據(jù)單調(diào)區(qū)間對(duì)a、b進(jìn)行分類討論求解. 【解析】 (1)當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-f(-x)=-(-2x-x2)=x2+2x, ∴f(x)=, f(x)的大致圖象如下: ∴a=1,b=. ③0

5、蹤訓(xùn)練】 (1)設(shè)函數(shù)f(x)=若方程f(x)=m有三個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________. (2)(20xx·天津變式)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間0,+∞)上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿足f(log2a)+f()≤2f(1),則a的取值范圍是________. 【答案】 (1)(-,0) (2) 【解析】 (1)作出函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖所示. 當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-x=(x-)2-≥-, 所以要使方程f(x)=m有三個(gè)不同的實(shí)根, 則-

6、數(shù)g(x)=ax2-2ax+1+b(a≠0,b<1),在區(qū)間2,3]上有最大值4,最小值1,設(shè)f(x)=. (1)求a,b的值; (2)若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈-1,1]上恒成立,求實(shí)數(shù)k的范圍. 【思維啟迪】 對(duì)于恒成立問題,若能轉(zhuǎn)化為a>f(x) (或a0時(shí),g(x)在2,3]上為增函數(shù), 故即解得 當(dāng)a<0時(shí),g(x)在

7、2,3]上為減函數(shù), 故即解得 因?yàn)閎<1,所以a=1,b=0. (2)方程f(2x)-k·2x≥0化為2x+-2≥k·2x, 即1+()2-≥k.令=t,則k≤t2-2t+1, 因?yàn)閤∈-1,1],所以t∈,2],記φ(t)=t2-2t+1, 所以φ(1)min=0,所以k≤0. 【思維升華】 解決二次函數(shù)最值的關(guān)鍵是抓住圖象的開口方向、對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置;不等式恒成立問題關(guān)鍵是看不等式的特點(diǎn),靈活運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì),如二次不等式恒成立問題可運(yùn)用圖象、分離變量運(yùn)用函數(shù)值域法等;已知含參數(shù)的方程的解的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍時(shí)根據(jù)方程的特點(diǎn),可運(yùn)用函數(shù)的圖象處理. 【跟蹤訓(xùn)練】 

8、定義在R上的增函數(shù)y=f(x)對(duì)任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求f(0); (2)求證:f(x)為奇函數(shù); (3)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0對(duì)任意x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 【解析】 當(dāng)≥0即k≥-1時(shí),對(duì)任意t>0,f(t)>0恒成立? 解得-1≤k<-1+2. 綜上所述,當(dāng)k<-1+2時(shí),f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0對(duì)任意x∈R恒成立. 題型四 函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 【例4】 據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測(cè),發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方 向移動(dòng),其移動(dòng)速度v(km/h)與時(shí)間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示,過線

9、 段OC上一點(diǎn)T(t,0)作橫軸的垂線l,梯形OABC在直線l左側(cè)部分 的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路線s(km). (1)當(dāng)t=4時(shí),求s的值; (2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來; (3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km.試判斷這場(chǎng)沙塵暴是否會(huì)侵襲到N城,如果會(huì),在沙塵暴發(fā)生后多長(zhǎng)時(shí)間它將侵襲到N城?如果不會(huì),請(qǐng)說明理由. 思維啟迪 本題用一次函數(shù)、二次函數(shù)模型來考查生活中的行程問題,要分析出每段的速度隨時(shí)間的關(guān)系式,再求距離. 【解析】(1)由圖象可知: 當(dāng)t=4時(shí),v=3×4=12, ∴s=×4×12=24. (2)當(dāng)0≤t≤10時(shí)

10、,s=·t·3t=t2; 當(dāng)10

11、型,利用二次函數(shù)圖象與單調(diào)性解決. (3)在解決二次函數(shù)的應(yīng)用問題時(shí),一定要注意定義域. 【跟蹤訓(xùn)練】 如圖,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,x軸在地平面上,y軸垂直于地 平面,單位長(zhǎng)度為1千米,某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈發(fā)射后的 軌跡在方程y=kx-(1+k2)x2(k>0)表示的曲線上,其中k與發(fā)射 方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo). (1)求炮的最大射程. (2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小),其飛行高度為3.2千米,試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí),炮彈可以擊中它?請(qǐng)說明理由. 【解析】 (1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0, 由實(shí)際意義和題設(shè)

12、條件知x>0,k>0, 故x==≤=10,當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào). 所以炮的最大射程為10千米. (2)因?yàn)閍>0,所以炮彈可擊中目標(biāo)?存在k>0, 使3.2=ka-(1+k2)a2成立 ?關(guān)于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根 ?判別式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0?a≤6. 所以當(dāng)a不超過6千米時(shí),可擊中目標(biāo). 專題二 高考中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的問題 題型一 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì) 【例1】 (20xx·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=ln x+a(1-x). (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)當(dāng)f(x)有最大值,且最大值大于2a-2時(shí),求a的

13、取值范圍. 【思維升華】 利用導(dǎo)數(shù)主要研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值.已知f(x)的單調(diào)性,可轉(zhuǎn)化為不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題;含參函數(shù)的最值問題是高考的熱點(diǎn)題型,解此類題的關(guān)鍵是極值點(diǎn)與給定區(qū)間位置關(guān)系的討論,此時(shí)要注意結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行分析. 【跟蹤訓(xùn)練】 已知a∈R,函數(shù)f(x)=(-x2+ax)ex (x∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)). (1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)若函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍. 題型二 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題 【例2】 已知f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax

14、-3. (1)對(duì)一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (2)證明:對(duì)一切x∈(0,+∞),都有l(wèi)n x>-成立. 【解析】 (1) ?x∈(0,+∞),有2xln x≥-x2+ax-3,則a≤2ln x+x+, 設(shè)h(x)=2ln x+x+(x>0), 則h′(x)=, ①當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減, 【思維升華】  (1)恒成立問題可以轉(zhuǎn)化為我們較為熟悉的求最值的問題進(jìn)行求解,若不能分離參數(shù),可以將參數(shù)看成常數(shù)直接求解. (2)證明不等式,可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題. 【跟蹤訓(xùn)練】 已知函數(shù)f(x)=+,曲

15、線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為x+2y-3=0. (1)求a,b的值; (2)證明:當(dāng)x>0,且x≠1時(shí),f(x) >. 【解析】 (1) f′(x)=-. 由于直線x+2y-3=0的斜率為-,且過點(diǎn)(1,1), 故即 解得a=1,b=1. (2)證明 由(1)知f(x)=+, 所以f(x)-=. 考慮函數(shù)h(x)=2ln x- (x>0), 則h′(x)=-=-. 所以當(dāng)x≠1時(shí),h′(x)<0.而h(1)=0,故當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h(x)>0,可得h(x)>0; 當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h(x)<0,可得h(x)>0. 從而當(dāng)x>0,且x≠1時(shí),

16、f(x)->0. 即f(x)>. 題型三 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或圖象交點(diǎn)問題 【例3】 設(shè)函數(shù)f(x)=ln x+,m∈R. (1)當(dāng)m=e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí),f(x)的極小值; (2)討論函數(shù)g(x)=f′(x)-零點(diǎn)的個(gè)數(shù). 【解析】 (2)由題設(shè)g(x)=f′(x)-=--(x>0), 令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0). 設(shè)φ(x)=-x3+x(x≥0), 則φ′=-x2+1=-(x-1)(x+1), 當(dāng)x∈(0,1)時(shí),φ′(x)>0,φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞增; 當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),φ′(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減

17、. ∴x=1是φ(x)的唯一極值點(diǎn),且是極大值點(diǎn),因此x=1也是φ(x)的最大值點(diǎn). ∴φ(x)的最大值為φ(1)=. 又φ(0)=0,結(jié)合y=φ(x)的圖象(如圖), 可知 【思維升華】  用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn),一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,借助零點(diǎn)存在性定理判斷;另一方面,也可將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題,利用數(shù)形結(jié)合思想畫草圖確定參數(shù)范圍. 【跟蹤訓(xùn)練】 已知函數(shù)f(x)=2ln x-x2+ax(a∈R). (1)當(dāng)a=2時(shí),求f(x)的圖象在x=1處的切線方程; (2)若函數(shù)g(x)=f(x)-ax+m在,e]上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【解析】 (1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=2ln x-x2+2x,f′(x)=-2x+2,切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),切線的斜率k=f′(1)=2,則切線方程為y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. (2)g(x)=2ln x-x2+m, 則g′(x)=-2x=. ∵x∈,e], ∴當(dāng)g′(x)=0時(shí),x=1. 當(dāng)0; 歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org

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