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第一章 常用邏輯用語(yǔ)
(時(shí)間：120分鐘；滿分：160分)
一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)把答案填在題中橫線上)
1．給出命題：若函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象不過(guò)第四象限．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是________．
解析：易知原命題是真命題，則其逆否命題也是真命題，而逆命題、否命題是假命題．故它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題有一個(gè)．
答案：1
2．下列命題中，真命題是________．
①?x0∈R，ex0≤0；
②?x∈R,2x>x2；
③a＋b＝0的充要條件是＝－1；
④a>1，b>1是ab>1的充分條件．
解析：因?yàn)?x∈R，ex>0，故排除①；取x＝2，則22＝22，故排除②；a＋b＝0，取a＝b＝0，則不能推出＝－1，故排除③；應(yīng)填④.
答案：④
3．命題“若x2≥1，則x≥1或x≤－1”的逆否命題是________．
解析：命題的條件為“x2≥1”，結(jié)論為“x≥1或x≤－1”，否定結(jié)論作條件，否定條件作結(jié)論，即為其逆否命題．
答案：若－1
0；
④函數(shù)y＝sin x＋sin |x|的值域是[－2,2]．
其中正確命題的序號(hào)是________(把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上)．
解析：當(dāng)G＝(G≠0)時(shí)，有G2＝ab，所以a，G，b成等比數(shù)列，但當(dāng)a，G，b成等比數(shù)列時(shí)，還可以有G＝－，所以G＝(G≠0)是a，G，b成等比數(shù)列的充分不必要條件，故①正確；
當(dāng)cos αcos β＝1時(shí)，有cos α＝cos β＝－1或cos α＝cos β＝1，即α＝2k1π＋π(k1∈Z)，β＝2k2π＋π(k2∈Z)或α＝2k3π(k3∈Z)，β＝2k4π(k4∈Z)，這時(shí)α＋β＝2(k1＋k2)π＋2π(k1，k2∈Z)或α＋β＝2(k3＋k4)π(k3，k4∈Z)，必有sin(α＋β)＝0，故②正確；
由于|x－4|的最小值等于0，所以當(dāng)a≤0時(shí)，不等式|x－4|0，故③正確；
函數(shù)y＝sin x＋sin |x|＝，所以該函數(shù)的值域?yàn)閇－2,2]，故④正確．
答案：①②③④
5．給出命題：①?x∈(－∞，1)，使x3<1；②?x∈Q，使x2＝2；③?x∈N，有x3>x2；④?x∈R，有x2＋4>0.其中的真命題是________(填序號(hào))．
解析：方程x2＝2的解只有無(wú)理數(shù)x＝，所以不存在有理數(shù)x使得方程x2＝2成立，故②為假命題；比如存在x＝0，使得03＝02，故③為假命題，①④顯然正確．
答案：①④
6．若非空集合A，B，C滿足A∪B＝C，且B不是A的子集，則“x∈C”是“x∈A”的________條件．
解析：x∈A?x∈C，但是x∈C不能推出x∈A.
答案：必要不充分
7．“a＝”是“對(duì)任意的正數(shù)x,2x＋≥1”的________條件．
解析：a＝?2x＋＝2x＋≥2＝1，另一方面對(duì)任意正數(shù)x,2x＋≥1只要2x＋≥2＝2≥1?a≥.
答案：充分不必要
8．已知命題p：關(guān)于x的不等式x2＋2ax＋4>0對(duì)?x∈R恒成立；命題q：函數(shù)y＝－(4－2a)x是R上的減函數(shù)．若“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
解析：由x2＋2ax＋4>0對(duì)?x∈R恒成立，得
Δ＝(2a)2－44<0，解得－21，解得a<.
所以q：a<.
由“p∨q”為真，“p∧q”為假知，p與q中必有一真一假，即p真q假或p假q真．
所以或
從而得≤a<2或a≤－2.
答案：[，2)∪(－∞，－2]
9．已知函數(shù)f(x)、g(x)定義在R上，h(x)＝f(x)g(x)，則“f(x)、g(x)均為奇函數(shù)”是“h(x)為偶函數(shù)”的________條件．
解析：由f(x)、g(x)均為奇函數(shù)可得h(x)＝f(x)g(x)為偶函數(shù)，反之則不成立，如h(x)＝x2是偶函數(shù)，而f(x)＝，g(x)＝x－1都不是奇函數(shù)．
答案：充分不必要
10．a(chǎn)，b為向量，則“|ab|＝|a||b|”是“a∥b”的________條件．
解析：若|ab|＝|a||b|，
若a，b中有零向量，顯然a∥b；
若a，b均不為零向量，則
|ab|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，
∴|cos〈a，b〉|＝1，
∴〈a，b〉＝π或0，
∴a∥b，即|ab|＝|a||b|?a∥b.
若a∥b，則〈a，b〉＝0或π，
∴|ab|＝||a||b|cos〈a，b〉|＝|a||b|，
其中，若a，b有零向量也成立，
即a∥b?|ab|＝|a||b|.
綜上知，“|ab|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要條件．
答案：充分必要
11．設(shè)p：方程x2＋2mx＋1＝0有兩個(gè)不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0無(wú)實(shí)根．則使p∨q為真，p∧q為假的實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
解析：p：x2＋2mx＋1＝0有兩個(gè)不相等的正根，
即m＜－1.
q：x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0無(wú)實(shí)根，
Δ＝[2(m－2)]2－4(－3m＋10)＝4(m2－m－6)＜0，
即－2＜m＜3.
分兩種情況：①p真q假，m≤－2；②p假q真，－1≤m＜3.
綜上可知使p∨q為真，p∧q為假的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－2]∪[－1,3)．
答案：(－∞，－2]∪[－1,3)
12．給出下列四個(gè)命題：
①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題；
②“相似三角形的周長(zhǎng)相等”的否命題；
③“若b≤－1，則x2－2bx＋b2＋b＝0有實(shí)數(shù)根”的逆否命題；
④若sin α＋cos α>1，則α必定是銳角．
其中真命題的序號(hào)是________(請(qǐng)把所有真命題的序號(hào)都填上)．
解析：①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題為“若x，y互為倒數(shù)，則xy＝1”，是真命題；
②“相似三角形的周長(zhǎng)相等”的否命題為“兩個(gè)三角形不相似，則周長(zhǎng)不相等”，顯然是假命題；
③∵b≤－1，∴Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b≥4>0，∴“若b≤－1，則x2－2bx＋b2＋b＝0有實(shí)數(shù)根”為真命題，∴其逆否命題也是真命題；
④∵當(dāng)α＝時(shí)，sin α＋cos α>1成立，∴此命題是假命題．
答案：①③
13．已知命題p：x2－x≥6，q：x∈Z，則使得x∈M時(shí)，“p且q”與“綈q”同時(shí)為假命題的x組成的集合M＝________.
解析：x∈M時(shí)，“p且q”與“綈q”同時(shí)為假命題，即x∈M時(shí)，p假且q真．故令x2－x<6，x∈Z，解得x＝－1,0,1,2，從而所求的集合M＝{－1,0,1,2}．
答案：{－1,0,1,2}
14．已知“關(guān)于x的不等式<3對(duì)于?x∈R恒成立”的充要條件是“a∈(a1，a2)”，則a1＋a2＝________.
解析：∵x2－x＋1>0，∴原不等式化為x2－ax＋2<3x2－3x＋3，即2x2＋(a－3)x＋1>0.
∵?x∈R時(shí)，2x2＋(a－3)x＋1>0恒成立，
∴Δ＝(a－3)2－8<0.
∴3－2m，s(x)：x2＋mx＋1>0.如果對(duì)?x∈R，r(x)與s(x)有且僅有一個(gè)是真命題．求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解：∵sin x＋cos x＝sin≥－，
∴當(dāng)r(x)是真命題時(shí)，m<－.
又∵對(duì)?x∈R，s(x)為真命題，即x2＋mx＋1>0恒成立，
有Δ＝m2－4<0，∴－20，即x>0，y>0或x<0，y<0，
當(dāng)x>0，y>0時(shí)，|x＋y|＝x＋y＝|x|＋|y|，
當(dāng)x<0，y<0時(shí)，|x＋y|＝－x－y＝(－x)＋(－y)＝|x|＋|y|，
總之，當(dāng)xy≥0時(shí)，|x＋y|＝|x|＋|y|.
必要性：
由|x＋y|＝|x|＋|y|及x，y∈R得(x＋y)2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋2|xy|＋y2，得|xy|＝xy，所以xy≥0，故必要性成立；
綜上，原命題成立．
20．(本小題滿分16分)(1)設(shè)集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，則“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的什么條件？
(2)求使不等式4mx2－2mx－1<0恒成立的充要條件．
解：(1)x∈M或x∈P?x∈R，x∈(M∩P)?x∈(2,3)，因?yàn)閤∈M或x∈P x∈(M∩P)，但x∈(M∩P)?x∈M或x∈P.故“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的必要不充分條件．
(2)當(dāng)m≠0時(shí)，不等式4mx2－2mx－1<0恒成立??－4
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