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1、
課時(shí)規(guī)范練21 平面向量的概念及其線性運(yùn)算
一、選擇題
1.如圖,e1,e2為互相垂直的單位向量,則向量a-b可表示為( )
A.3e2-e1 B.-2e1-4e2
C.e1-3e2 D.3e1-e2
答案:C
解析:如圖所示,a-b==e1-3e2.
2.如圖,D,E,F分別是△ABC的邊AB,BC,CA的中點(diǎn),則( )
A.=0
B.=0
C.=0
D.=0
答案:A
解析:∵,∴,
∴=0.
3.在四邊形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,則四邊形ABCD的形狀是( )
A.矩形 B.平行四邊形
2、
C.梯形 D.以上都不對(duì)
答案:C
解析:∵=-8a-2b=2(-4a-b)=2.
∴,又不平行,∴四邊形ABCD是梯形.
4.非零向量不共線,且2=x+y,若=λ(λ∈R),則點(diǎn)Q(x,y)的軌跡方程是( )
A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0
C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0
答案:A
解析:由=λ,得=λ(),
即=(1+λ)-λ.
又∵2=x+y,∴消去λ得x+y=2.
5.在△ABC所在平面上有一點(diǎn)P,滿足,則△PAB與△ABC的面積之比是( )
A. B. C. D.
答案:A
解析:∵,
∴=2,∴A,P,C三點(diǎn)共線,且P為
3、AC的三等分點(diǎn),∴.
[來(lái)源:]
6.設(shè)D,E,F分別是△ABC的三邊BC,CA,AB上的點(diǎn),且=2=2=2,則向量( )
A.反向平行 B.同向平行
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
答案:A
解析:由題意,得.
又=2,所以=2().
所以.
同理,得.
將以上三式相加,得=-.
二、填空題
7.若||=8,||=5,則||的取值范圍為 .?
答案:[3,13]
解析:∵||=||,
∴|||-|||≤||≤||+||.∴3≤||≤13.
8.已知=a,=b,=λ,則= .?
答案:a+b
解析:)=a+(b-a)=a+b.
9.在
4、平行四邊形ABCD中,=a,=b,=3,M為BC的中點(diǎn),則= .(用a,b表示)?
答案:(b-a)
解析:如圖所示,連接BD,設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O.
由=3可知N為OC的中點(diǎn).
又∵M(jìn)是BC的中點(diǎn),∴,
∴)=(b-a).
10.若點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且滿足||=|-2|,則△ABC的形狀為 .?
答案:直角三角形
解析:-2,∴||=||,
故A,B,C為矩形的三個(gè)頂點(diǎn),△ABC為直角三角形.
11.
如圖,在△ABC中,點(diǎn)O是BC的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點(diǎn)M,N,若=m=n,則m+n的值為 .?
5、
答案:2
解析:∵O是BC的中點(diǎn),∴).
又∵=m=n,
∴.∵M(jìn),O,N三點(diǎn)共線,
∴=1.則m+n=2.
三、解答題
12.如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是DC的中點(diǎn),點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn),求(用向量表示).
解:在△CEF中,有,因?yàn)辄c(diǎn)E為DC的中點(diǎn),所以.
因?yàn)辄c(diǎn)F為BC的一個(gè)三等分點(diǎn),所以.
所以.[來(lái)源:]
13.已知△ABC中,=a,=b,對(duì)于平面ABC上任意一點(diǎn)O,動(dòng)點(diǎn)P滿足+λa+λb,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是什么?其軌跡是否過(guò)定點(diǎn),并說(shuō)明理由.[來(lái)源:]
解:依題意,由+λa+λb,得=λ(a+b),
即=λ().
如圖,以AB,AC為鄰邊
6、作平行四邊形ABDC,對(duì)角線交于O,
則=λ,
∴A,P,D三點(diǎn)共線,
即P點(diǎn)的軌跡是AD所在的直線,由圖可知P點(diǎn)軌跡必過(guò)△ABC邊BC的中點(diǎn).
14.已知點(diǎn)O為△ABC外接圓的圓心,且=0,求△ABC的內(nèi)角A.
解:由=0得,由O為△ABC外接圓的圓心,結(jié)合向量加法的幾何意義知四邊形OACB為菱形,且∠CAO=60°.故∠BAC=∠CAO=30°.[來(lái)源:]
15.在△ABC中,E,F分別為AC,AB的中點(diǎn),BE與CF相交于G點(diǎn),設(shè)=a,=b,試用a,b表示.
解:
=+λ)
=)
=(1-λ)=(1-λ)a+b.
又+m)
=(1-m)a+(1-m)b,
∴解
7、得λ=m=,
∴a+b.
四、選做題
1.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是BC邊上靠近B的三等分點(diǎn),則=( )
A.
B.
C.
D.
答案:C
解析:由平面向量的三角形法則,可得.又因?yàn)辄c(diǎn)D是BC邊上靠近B的三等分點(diǎn),所以,)=.
2.已知兩個(gè)不共線的向量的夾角為θ,且||=3.若點(diǎn)M在直線OB上,且||的最小值為,則θ的值為 .?
答案:
解析:
如圖,作向量,則,其中點(diǎn)N在直線AC上變化,顯然當(dāng)ON⊥AC時(shí),即點(diǎn)N到達(dá)H時(shí),||有最小值,且∠OAH=θ,
從而sin θ=,故θ=或θ=(根據(jù)對(duì)稱性可知鈍角也可以).[來(lái)源:]
3.
如圖,已知點(diǎn)G是△ABC的重心,過(guò)G作直線與AB,AC兩邊分別交于M,N兩點(diǎn),且=x=y,求證:=3.
證明:因?yàn)辄c(diǎn)G是△ABC的重心,知=0,
得-+()+()=0,有).
又M,N,G三點(diǎn)共線(A不在直線MN上),
于是存在λ,μ,使得=λ+μ(且λ+μ=1),
有=λx+μy),
得于是得=3.