（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第二層級(jí) 重點(diǎn)增分 專題十一 圓錐曲線的方程與性質(zhì)講義 理（普通生含解析）.doc

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重點(diǎn)增分專題十一　圓錐曲線的方程與性質(zhì) [全國(guó)卷3年考情分析] 年份 全國(guó)卷Ⅰ 全國(guó)卷Ⅱ 全國(guó)卷Ⅲ 2018 直線與拋物線的位置關(guān)系、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算T8 雙曲線的幾何性質(zhì)T5 雙曲線的幾何性質(zhì)T11 雙曲線的幾何性質(zhì)T11 直線的方程及橢圓的幾何性質(zhì)T12 直線與拋物線的位置關(guān)系T16 2017 直線與拋物線的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、基本不等式的應(yīng)用T10 雙曲線的幾何性質(zhì)T9 雙曲線的漸近線及標(biāo)準(zhǔn)方程T5 雙曲線的幾何性質(zhì)T15 2016 雙曲線的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程T5 雙曲線的定義、離心率問(wèn)題T11 直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的離心率T11 拋物線與圓的綜合問(wèn)題T10 (1)圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)是每年高考必考的內(nèi)容．以選擇題、填空題的形式考查，常出現(xiàn)在第4～12或15～16題的位置，著重考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，難度中等． (2)圓錐曲線的綜合問(wèn)題多以解答題的形式考查，常作為壓軸題出現(xiàn)在第19～20題的位置，一般難度較大． 保分考點(diǎn)練后講評(píng) 1.設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，則的值為(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選D　如圖，設(shè)線段PF1的中點(diǎn)為M，因?yàn)镺是F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥PF2，可得PF2⊥x軸，|PF2|＝＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，所以＝. 2.已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，離心率e＝，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若過(guò)F1的直線與雙曲線的左支交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|是|AF2|與|BF2|的等差中項(xiàng)，則|AB|等于(　　) A．8 B．4 C．2 D．8 解析：選A　由題意可知2b＝4，e＝＝，于是a＝2.∵2|AB|＝|AF2|＋|BF2|， ∴|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝4a＝8. 3.過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AF|＝2|BF|＝6，則p＝________. 解析：設(shè)直線AB的方程為x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＞x2，將直線AB的方程代入拋物線方程得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2，4x1x2＝p2.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過(guò)A作AC⊥l，垂足為C，過(guò)B作BD⊥l，垂足為D，因?yàn)閨AF|＝2|BF|＝6，根據(jù)拋物線的定義知，|AF|＝|AC|＝x1＋＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋＝3，所以x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以(x1＋x2)2－(x1－x2)2＝4x1x2＝p2，即18p－72＝0，解得p＝4. 答案：4 [解題方略]　圓錐曲線的定義 (1)橢圓：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)雙曲線：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)拋物線：|MF|＝d(d為M點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)． [注意]　應(yīng)用圓錐曲線定義解題時(shí)，易忽視定義中隱含條件導(dǎo)致錯(cuò)誤. 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 保分考點(diǎn)練后講評(píng) [大穩(wěn)定] 1.已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦距為4，漸近線方程為2xy＝0，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1　　　　　 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：選A　易知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)在x軸上，所以由漸近線方程為2xy＝0，得＝2，因?yàn)殡p曲線的焦距為4，所以c＝2.結(jié)合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以雙曲線的方程為－＝1. 2.若橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，且焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的距離的最小值為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． 解析：設(shè)長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b，半焦距為c， 由已知得又a2＝b2＋c2，∴ ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1或＋＝1. 答案：＋＝1或＋＝1 3.若拋物線y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)到焦點(diǎn)和到拋物線對(duì)稱軸的距離分別為10和6，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________________． 解析：因?yàn)閽佄锞€y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)到拋物線對(duì)稱軸的距離為6， 若設(shè)該點(diǎn)為P，則P(x0，6)． 因?yàn)镻到拋物線焦點(diǎn)F的距離為10， 根據(jù)拋物線的定義得x0＋＝10.① 因?yàn)镻在拋物線上，所以36＝2px0.② 由①②解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1， 所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x或y2＝36x. 答案：y2＝4x或y2＝36x [解題方略]　求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的思路 定型 就是指定類型，也就是確定圓錐曲線的焦點(diǎn)位置，從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程 計(jì)算 即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2或p.另外，當(dāng)焦點(diǎn)位置無(wú)法確定時(shí)，拋物線常設(shè)為y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，橢圓常設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，雙曲線常設(shè)為mx2－ny2＝1(mn>0) [小創(chuàng)新] 1.已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)B是虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF與雙曲線C的右支交于點(diǎn)A，若＝2，且||＝4，則雙曲線C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：選D　不妨設(shè)B(0，b)，由＝2，F(xiàn)(c,0)，可得A，代入雙曲線C的方程可得－＝1， ∴＝.① 又||＝＝4，c2＝a2＋b2， ∴a2＋2b2＝16.② 由①②可得，a2＝4，b2＝6， ∴雙曲線C的方程為－＝1. 2.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．若拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，一平行于x軸的光線從點(diǎn)M(3，1)射出，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)B射出，則直線AB的斜率為(　　) A. B．－ C． D．－ 解析：選B　將y＝1代入y2＝4x，可得x＝，即A.由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線AB過(guò)焦點(diǎn)F(1,0)，所以直線AB的斜率k＝＝－. 3.如圖，記橢圓＋＝1，＋＝1內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界為曲線C，P是曲線C上的任意一點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題： ①P到F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四點(diǎn)的距離之和為定值； ②曲線C關(guān)于直線y＝x，y＝－x均對(duì)稱； ③曲線C所圍區(qū)域的面積必小于36； ④曲線C的總長(zhǎng)度不大于6π. 其中正確命題的序號(hào)為________． 解析：對(duì)于①，若點(diǎn)P在橢圓＋＝1上，則P到F1(－4，0)，F(xiàn)2(4,0)兩點(diǎn)的距離之和為定值，到E1(0，－4)，E2(0,4)兩點(diǎn)的距離之和不為定值，故①錯(cuò)；對(duì)于②，聯(lián)立兩個(gè)橢圓的方程得y2＝x2，結(jié)合橢圓的對(duì)稱性知，曲線C關(guān)于直線y＝x，y＝－x均對(duì)稱，故②正確；對(duì)于③，曲線C所圍區(qū)域在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)部，所以其面積必小于36，故③正確；對(duì)于④，曲線C所圍區(qū)域的內(nèi)切圓為半徑為3的圓，所以曲線C的總長(zhǎng)度必大于圓的周長(zhǎng)6π，故④錯(cuò)．所以正確命題的序號(hào)為②③. 答案：②③ 增分考點(diǎn)深度精研 [析母題] [典例]　(1)(2018全國(guó)卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120，則C的離心率為(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. (2)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為，△AOB的面積為2，則p＝(　　) A．2 B．1 C．2 D．3 (3)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，若△F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則e2(e為雙曲線離心率)的值為________． [解析]　(1)如圖，作PB⊥x軸于點(diǎn)B.由題意可設(shè)|F1F2|＝|PF2|＝2，則c＝1.由∠F1F2P＝120，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan ∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝. (2)不妨設(shè)A點(diǎn)在B點(diǎn)上方，由雙曲線的離心率為，得1＋＝e2＝5，解得＝2，所以雙曲線的兩條漸近線方程為y＝x＝2x.又拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，則交點(diǎn)的坐標(biāo)為A，B，所以|AB|＝2p.由△AOB的面積為2，得|AB|＝2，即2p＝2，解得p＝2，故選A. (3)如圖所示，因?yàn)閨AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，|AF1|＝|AF2|＋|BF2|， 所以|BF2|＝2a，|BF1|＝4a. 所以|AF1|＝2a， |AF2|＝2a－2a. 因?yàn)閨F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2， 所以(2c)2＝(2a)2＋(2a－2a)2， 所以e2＝5－2. [答案]　(1)D　(2)A　(3)5－2 [練子題] 1．本例(3)若變?yōu)椋阂阎獧E圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若△F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則e2＝________. 解析：設(shè)|F1F2|＝2c，|AF1|＝m， 因?yàn)椤鱂1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形， 所以|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝m. 由橢圓的定義可知△F1AB的周長(zhǎng)為4a， 所以4a＝2m＋m，即m＝2(2－)a. 所以|AF2|＝2a－m＝(2－2)a. 因?yàn)閨AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2， 所以4(2－)2a2＋4(－1)2a2＝4c2， 所以e2＝9－6. 答案：9－6 2．本例(3)若變?yōu)椋篎1，F(xiàn)2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線上，且△AF2F1為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為______． 解析：注意到|F2A|≠|(zhì)F1A|， 不妨設(shè)|F2A|＞|F1A|. 因?yàn)椤鰽F2F1為等腰直角三角形， 則|F2A|∶|F1F2|∶|F1A|＝∶1∶1. 所以e＝＝＝＝＋1. 答案：＋1 3．本例(3)中，若雙曲線上存在一點(diǎn)P，使得＝，求雙曲線離心率的取值 范圍． 解：如圖所示， 由 得|PF1|＝， 且|PF2|＝. 又由|PF1|≥a＋c，可得≥a＋c，即e2－2e－1≤0， 解得1－≤e≤＋1，又因?yàn)閑>1，所以雙曲線離心率的取值范圍為(1，＋1]． [解題方略] 1．橢圓、雙曲線的離心率(或范圍)的求法 求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值． 2．雙曲線的漸近線的求法及用法 (1)求法：把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號(hào)右邊的1改為零，分解因式可得． (2)用法：①可得或的值． ②利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程． [多練強(qiáng)化] 1．(2018全國(guó)卷Ⅱ)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 解析：選A　∵e＝＝＝， ∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a. ∴漸近線方程為y＝x. 2．(2018阜陽(yáng)模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P使得PF1⊥PF2，則該橢圓的離心率的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選B　∵F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a＞0，b＞0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)， ∴F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，c2＝a2－b2. 設(shè)點(diǎn)P(x，y)，由PF1⊥PF2，得(x＋c，y)(x－c，y)＝0，化簡(jiǎn)得x2＋y2＝c2. 聯(lián)立方程組整理得，x2＝(2c2－a2)≥0，解得e≥. 又0＜e＜1，∴≤e＜1. 3．以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：選B　設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，圓的方程為x2＋y2＝r2. ∵|AB|＝4，|DE|＝2， 拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－， ∴不妨設(shè)A，D. ∵點(diǎn)A，D在圓x2＋y2＝r2上， ∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(負(fù)值舍去)． ∴C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4. 4．(2018惠州調(diào)研)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)其中一個(gè)焦點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)M，若點(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線離心率的取值范圍是________． 解析：如圖，不妨設(shè)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，－c)，則過(guò)點(diǎn)F1與漸近線y＝x平行的直線為y＝x＋c，聯(lián)立 解得即M.因?yàn)辄c(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓x2＋y2＝c2內(nèi)，故2＋20；另一方法就是數(shù)形結(jié)合，如直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，可通過(guò)判定直線的斜率與雙曲線漸近線的斜率的大小得到． 2．直線與圓錐曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的結(jié)論 直線與圓錐曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線與雙曲線的一條漸近線平行，或直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，或直線與圓錐曲線相切． 題型二　直線與圓錐曲線的弦長(zhǎng) [例2]　已知橢圓C：＋y2＝1(a＞1)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是其左、右焦點(diǎn)，以F1F2為直徑的圓與橢圓C有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)． (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)P，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是，求線段AB長(zhǎng)度的取值范圍． [解]　(1)因?yàn)橐訤1F2為直徑的圓與橢圓C有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)， 所以b＝c＝1，即a＝＝， 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)過(guò)點(diǎn)F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，即直線AB的斜率存在且不為0.設(shè)直線AB的方程為y＝k(x＋1)，與＋y2＝1聯(lián)立，得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)為M， 則x1＋x2＝－，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋1)＋k(x2＋1)＝， 即M. 所以線段AB的垂直平分線的方程為 y－＝－， 設(shè)點(diǎn)P(xP，yP)，令y＝0，得xP＝－. 因?yàn)閤P∈，所以0＜k2＜. |AB|＝ ＝ ＝＝. 因?yàn)?＜k2＜，所以＜1＋＜2，即＜|AB|＜2. 故線段AB長(zhǎng)度的取值范圍是. [解題方略]　直線與圓錐曲線的相交弦弦長(zhǎng)的求法 解決直線與圓錐曲線的相交弦問(wèn)題的通法是將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y或x后得到一元二次方程，當(dāng)Δ＞0時(shí)，直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系求出x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2，則弦長(zhǎng)|AB|＝＝＝|y1－y2|＝(k為直線的斜率且k≠0)，當(dāng)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)也可以直接用|AB|＝ 求之． [多練強(qiáng)化] 已知點(diǎn)M在橢圓G：＋＝1(a>b>0)上，且點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和為4. (1)求橢圓G的方程； (2)若斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點(diǎn)，以AB為底作等腰三角形，頂點(diǎn)為P(－3,2)，求△PAB的面積． 解：(1)∵2a＝4，∴a＝2. 又點(diǎn)M在橢圓上， ∴＋＝1，解得b2＝4， ∴橢圓G的方程為＋＝1. (2)設(shè)直線l的方程為y＝x＋m. 由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.　① 設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)(x10，b>0)的離心率為，則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為(　　) A. B．2 C. D．2 解析：選D　∵e＝＝＝，∴＝1. ∴雙曲線的漸近線方程為xy＝0. ∴點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離d＝＝2. 5．已知雙曲線x2－＝1 的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，且|AF1|＝|BF1|，則|AB|＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．2＋1 解析：選C　設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為a，依題意可得a＝1，由雙曲線的定義可得|AF2|－|AF1|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，又|AF1|＝|BF1|，故|AF2|－|BF2|＝4，又|AB|＝|AF2|－|BF2|，故|AB|＝4. 6．(2018全國(guó)卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60，則C的離心率為(　　) A．1－ B．2－ C. D.－1 解析：選D　在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60， 不妨設(shè)橢圓焦點(diǎn)在x軸上，且焦距|F1F2|＝2， 則|PF2|＝1，|PF1|＝， 由橢圓的定義可知，方程＋＝1中， 2a＝1＋，2c＝2，得a＝，c＝1， 所以離心率e＝＝＝－1. 二、填空題 7．已知雙曲線－y2＝1(a>0)的漸近線方程為y＝x，則其焦距為________． 解析：由漸近線方程y＝x，可得＝，解得a＝， 故c＝＝2，故焦距為4. 答案：4 8．設(shè)直線l過(guò)雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則C的離心率為________． 解析：設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)， 由題意可知，直線l過(guò)焦點(diǎn)，且垂直于x軸，將x＝c代入雙曲線方程，解得y＝， 則|AB|＝，由|AB|＝22a， 則b2＝2a2，所以雙曲線的離心率e＝＝＝. 答案： 9．已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線為x＝－1，直線l與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，若線段MN的中點(diǎn)為(1,1)，則直線l的方程為________． 解析：依題意易得拋物線的方程為y2＝4x，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，因?yàn)榫€段MN的中點(diǎn)為(1,1)，故x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，則x1≠x2，由兩式相減得y－y＝4(x1－x2)，所以＝＝2，故直線l的方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 答案：2x－y－1＝0 三、解答題 10．(2018石家莊模擬)設(shè)A，B為曲線C：y＝上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為2. (1)求直線AB的斜率； (2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程． 解：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝2， 故直線AB的斜率k＝＝＝1. (2)由y＝，得y′＝x. 設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知x3＝1，于是M. 設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m，故線段AB的中點(diǎn)為N(1,1＋m)，|MN|＝. 將y＝x＋m代入y＝，得x2－2x－2m＝0. 由Δ＝4＋8m>0，得m>－，x1,2＝1. 從而|AB|＝|x1－x2|＝2. 由題設(shè)知|AB|＝2|MN|，即＝，解得m＝， 所以直線AB的方程為y＝x＋. 11．(2018全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8. (1)求l的方程； (2)求過(guò)點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程． 解：(1)由題意得F(1,0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝. 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝. 由題設(shè)知＝8，解得k＝1或k＝－1(舍去)． 因此l的方程為y＝x－1. (2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)， 所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)， 即y＝－x＋5. 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)， 則 解得或 因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. 12．已知直線x＋ky－3＝0所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)F恰好是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)已知圓O：x2＋y2＝1，直線l：mx＋ny＝1，試證：當(dāng)點(diǎn)P(m，n)在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l與圓O恒相交，并求直線l被圓O所截得的弦長(zhǎng)l的取值范圍． 解：(1)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)， 直線x＋ky－3＝0所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)是(3,0)， 即點(diǎn)F(3,0)． 因?yàn)闄E圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8， 所以a＋3＝8，a＝5，所以b2＝52－32＝16， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)因?yàn)辄c(diǎn)P(m，n)在橢圓C上， 所以＋＝1，即n2＝16－. 又原點(diǎn)到直線l：mx＋ny＝1的距離d＝＝<1， 所以直線l：mx＋ny＝1與圓O：x2＋y2＝1恒相交． 則l2＝4(12－d2)＝4， 因?yàn)椋?≤m≤5，所以≤l≤. 故直線l被圓O所截得的弦長(zhǎng)l的取值范圍為. B組——大題專攻補(bǔ)短練 1．已知拋物線C：x2＝2py(p>0)，過(guò)焦點(diǎn)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，D是拋物線的準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)． (1)若AB∥l，且△ABD的面積為1，求拋物線的方程； (2)設(shè)M為AB的中點(diǎn)，過(guò)M作l的垂線，垂足為N. 證明：直線AN與拋物線相切． 解：(1)∵AB∥l，∴|AB|＝2p. 又|FD|＝p，∴S△ABD＝p2＝1. ∴p＝1，故拋物線C的方程為x2＝2y. (2)證明：設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋， 由消去y得，x2－2kpx－p2＝0. ∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2. 其中A，B. ∴M，N. ∴kAN＝＝＝＝＝. 又x2＝2py，即y＝，∴y′＝. ∴拋物線x2＝2py在點(diǎn)A處的切線斜率k＝. ∴直線AN與拋物線相切． 2．(2018貴陽(yáng)適應(yīng)性考試)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M為短軸的上端點(diǎn)，＝0，過(guò)F2垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，－1)且不經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的直線l與C相交于G，H兩點(diǎn)．若k1，k2分別為直線MH，MG的斜率，求k1＋k2的值． 解：(1)由＝0，得b＝c.① 因?yàn)檫^(guò)F2垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)， 且|AB|＝，所以＝.② 又a2＝b2＋c2，③ 聯(lián)立①②③，解得a2＝2，b2＝1， 故橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)設(shè)直線l的方程為y＋1＝k(x－2)， 即y＝kx－2k－1， 將y＝kx－2k－1代入＋y2＝1， 得(1＋2k2)x2－4k(2k＋1)x＋8k2＋8k＝0， 由題設(shè)可知Δ＝－16k(k＋2)>0， 設(shè)G(x1，y1)，H(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝， k1＋k2＝＋＝＋＝2k－＝2k－(2k＋1)＝－1， 所以k1＋k2＝－1. 3．(2019屆高三唐山五校聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，長(zhǎng)為＋1的線段的兩端點(diǎn)C，D分別在x軸，y軸上滑動(dòng)，＝ .記點(diǎn)P的軌跡為曲線E. (1)求曲線E的方程； (2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)作直線l與曲線E相交于A，B兩點(diǎn)，＝＋，當(dāng)點(diǎn)M在曲線E上時(shí)，求直線l的方程． 解：(1)設(shè) C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)． 由＝ ，得(x－m，y)＝(－x，n－y)， 所以得 由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2， 所以(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2， 整理，得曲線E的方程為x2＋＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝＋， 知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x1＋x2，y1＋y2)． 易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1，代入曲線E的方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0， 則x1＋x2＝－， 所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝. 由點(diǎn)M在曲線E上，知(x1＋x2)2＋＝1， 即＋＝1，解得k2＝2. 此時(shí)直線l的方程為y＝x＋1. 4.如圖，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，且|AB|＝|BF|. (1)求橢圓C的離心率； (2)若點(diǎn)M在橢圓C的內(nèi)部，過(guò)點(diǎn)M的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn)，且OP⊥OQ，求直線l的方程及橢圓C的方程． 解：(1)由已知|AB|＝|BF|， 得 ＝a， 即4a2＋4b2＝5a2,4a2＋4(a2－c2)＝5a2， 所以e＝＝. (2)由(1)知a2＝4b2， 所以橢圓C的方程可化為＋＝1. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由＋＝1，＋＝1， 可得＋＝0， 即＋＝0， 即＋(y1－y2)＝0，從而kPQ＝＝2， 所以直線l的方程為y－＝2， 即2x－y＋2＝0. 聯(lián)立消去y，得17x2＋32x＋16－4b2＝0. 則Δ＝322＋1617(b2－4)>0?b>， x1＋x2＝－，x1x2＝. 因?yàn)镺P⊥OQ，＝0，即x1x2＋y1y2＝0， x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0， 5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0， 從而－＋4＝0，解得b＝1， 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. 綜上，直線l的方程為2x－y＋2＝0， 橢圓C的方程為＋y2＝1.