2019年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題27 向量的數(shù)量積——數(shù)量積的投影定義.doc

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專題27 向量的數(shù)量積——數(shù)量積的投影定義 【熱點聚焦與擴展】 平面向量的數(shù)量積是高考考查的重點、熱點，往往以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).常常以平面圖形為載體，借助于向量的坐標形式等考查數(shù)量積、夾角、垂直的條件等問題；也易同三角函數(shù)、解析幾何等知識相結合，以工具的形式出現(xiàn)． 1、向量的投影： （1）有向線段的值：設有一軸，是軸上的有向線段，如果實數(shù)滿足，且當與軸同向時，，當與軸反向時，，則稱為軸上有向線段的值. （2）點在直線上的投影：若點在直線外，則過作于，則稱為在直線上的投影；若點在直線上，則在在直線上的投影與重合.所以說，投影往往伴隨著垂直. （3）向量的投影：已知向量，若的起點在所在軸（與同向）上的投影分別為，則向量在軸上的值稱為在上的投影，向量稱為在上的投影向量. 2、向量的投影與向量夾角的關系：通過作圖可以觀察到，向量的夾角將決定投影的符號，記為向量的夾角 （1）為銳角：則投影（無論是在上的投影還是在上的投影）均為正 （2）為直角：則投影為零 （3）為鈍角：則投影為負 3、投影的計算公式：以在上的投影為例，通過構造直角三角形可以發(fā)現(xiàn) （1）當為銳角時，，因為，所以 （2）當為銳角時，，因為，所以即 （3）當為直角時，，而，所以也符合 綜上可得：在上的投影，即被投影向量的模乘以兩向量的夾角 4、數(shù)量積與投影的關系（數(shù)量積的幾何定義）： 向量數(shù)量積公式為，可變形為或，進而與向量投影找到聯(lián)系 （1）數(shù)量積的投影定義：向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模長乘以另一個向量在該向量上的投影，即（記為在上的投影） （2）投影的計算公式：由數(shù)量積的投影定義出發(fā)可知投影也可利用數(shù)量積和模長進行求解： 即數(shù)量積除以被投影向量的模長 5、數(shù)量積投影定義的適用范圍：作為數(shù)量積的幾何定義，通常適用于處理幾何圖形中的向量問題 （1）圖形中出現(xiàn)與所求數(shù)量積相關的垂直條件，尤其是垂足確定的情況下（此時便于確定投影），例如：直角三角形，菱形對角線，三角形的外心（外心到三邊投影為三邊中點） （2）從模長角度出發(fā)，在求數(shù)量積的范圍中，如果所求數(shù)量積中的向量中有一個模長是定值，則可以考慮利用投影，從而將問題轉化為尋找投影最大最小的問題 【經典例題】 例1.【2018屆江西省重點中學協(xié)作體高三下學期第一次聯(lián)考】設向量， 滿足， ，且，則向量在向量方向上的投影為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 設向量和向量的夾角為， 則向量在向量方向上的投影為．選D． 例2.【2018屆福建省閩侯縣第八中學高三上期末】已知的外接圓的圓心為，半徑為2，且，則向量在向量方向上的投影為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 例3.【2018屆云南省曲靖市第一中學高三上監(jiān)測卷（四）】已知單位向量與的夾角為，則向量在向量方向上的投影為（ ）x.kw A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵單位向量與的夾角為 ∴ ∴， ∴ 向量在向量方向上的投影為： ，故選A. 例4.設， ， ，且，則在上的投影的取值范圍( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由題意可知 當 故當時， 取得最小值為，即 當時， ，即 綜上所述 故答案選 點睛：由已知求得及，代入投影公式，對分類后利用二次函數(shù)求最值，在分類討論時需要討論完整，不要漏掉哪種情況，討論完可以檢查下是否把整個實數(shù)全部取完. 例5.如圖，菱形的邊長為為中點，若為菱形內任意一點（含邊界），則的最大值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 答案D. 【名師點睛】（1）從本例也可以看出投影計算數(shù)量積的一個妙用，即在求數(shù)量積最值時，如果其中一個向量位置確定，那么只需看另一向量在該向量處的投影即可，這種方法往往能夠迅速找到取得最值的情況 （2）在找到取到最值的點位置后，發(fā)現(xiàn)利用投影計算數(shù)量積并不方便（投影，不便于計算），則要靈活利用其他方法把數(shù)量積計算出來（尋求基底，建系等）.正所謂：尋找最值用投影，而計算時卻有更多方法供選擇. 例6.【2018屆衡水金卷四】已知平面向量a,b，a=7,b=4，且a+b=6，則a在b方向上的投影是__________． 【答案】138 點睛：本題的核心問題是計算數(shù)量積，求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標運算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應用． 例7．【2018屆河南省南陽市第一中學高三第十四次考】若非零向量a，b滿足|a+b|=|a-b|=2|b|=2，則a-b在b方向上的投影為__________． 【答案】-1 【解析】分析：先求出|a|、|b|和a與b的夾角，然后根據(jù)投影的定義求解． 詳解：將a+b=a-b兩邊平方整理得a?b=0， ∴a⊥b． 將|a-b|=2|b|兩邊平方整理得|a|=3． 又2b=2，故|b|=1． 設向量a-b與b的夾角為θ， 則a-b在b方向上的投影為|a-b|cosθ=|a-b|?(a-b)?b|a-b|?|b|=(a-b)?b|b| =a?b-b2|b|=-1． 點睛：解答本題的關鍵是正確掌握一個向量在另一個向量方向上的投影的定義，利用定義可將問題轉化為數(shù)量積的運算．另外，數(shù)量積的幾何意義是計算數(shù)量積的一種重要方法． 例8．已知點在橢圓上，點滿足（）（是坐標原點），且，則線段在軸上的設影長度的最大值為__________． 【答案】15 【解析】∵， 則線段OP在x軸上的投影長度為 ，當且僅當，即時等號成立． ∴線段OP在x軸上的投影長度的最大值為15. 答案：15 例9.【2018屆河北省衡水中學高三第十次模擬】若平面向量， 滿足，則在方向上投影的最大值是________． 【答案】 【解析】由可得： ∴ 在方向上投影為 故最大值為： 例10.【2018屆河南省中原名校高三上第一次考評】已知P是邊長為2的正△ABC邊BC上的動點，則AP （AB＋AC）＝_________． 【答案】6 【解析】設BC的中點為D，則AD⊥BC， 【精選精練】 1．【2018屆山東省淄博市部分學校高三12月摸底】已知向量，則向量在向量上的投影是 A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 【答案】D 【解析】向量在向量上的投影是 ,選D. 2.【2018屆河南省商丘市高三第二次模擬】已知平面向量，且，則在上的投影為（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】因為，所以所以 所以所以在上的投影為 故選A. 3．【2018屆河北省武邑中學高三上學期期末】已知點，則向量在方向上的投影為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】， ，向量在方向上的投影為，故選A． 4．【2018屆貴州省遵義市高三上學期第二次聯(lián)考】已知向量的夾角為60，且，則向量在向量方向上的投影為（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 5．【2018屆江西省南昌市高三第一輪復習訓練】已知向量， 滿足，且，則向量 在方向上的投影為(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由=（1，2），可得||=， ?（+）=2，可得?+=2， ∴=﹣3，∴向量在方向上的投影為. 故答案為：D. 6.已知的外接圓的圓心為，半徑為2，且，則向量在向量方向上的投影為( ) A. 3 B. C. -3 D. 【答案】B 【解析】△ABC的外接圓的圓心為O,半徑為2,且， 本題選擇B選項. 7．【2018屆河南省鄭州市第一中學高三上學期入學】的外接圓的圓心為，半徑為1， ，且，則向量在向量方向上的投影為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由題意可得： ，即： , 即外接圓的圓心為邊的中點，則是以為斜邊的直角三角形， 結合有： ， 則向量在向量方向上的投影為. 本題選擇D選項. 8.【2018屆湖南?。ㄩL郡中學、衡陽八中）、江西省（南昌二中）等十四校高三第二次聯(lián)考】已知向量， 滿足， ， ，則向量在向量上的投影為__________． 【答案】 9．【2018屆廣西桂林、賀州、崇左三市高三第二次聯(lián)合調研】已知向量， 的夾角為，且， ，則向量在向量方向上的投影為__________． 【答案】 【解析】投影為. 10．【2018屆衡水金卷一】已知向量，若向量與共線，則向量在向量放向上的投影為__________． 【答案】0 【解析】向量， ，向量，∵向量與共線，∴，即，∴向量，∴向量在向量方向上的投影為，故答案為0. 11．已知向量a=-1,2，b=m,1，若向量a在b方向上的投影為1，則m=__________． 【答案】34 【解析】∵向量a=-1,2，b=m,1,向量a在b方向上的投影長為1 ∴a?bb=|-m+2|m2+1=1,解得m=34. 故答案為：34. 12．已知為直角三角形的外接圓，是斜邊上的高，且，，點為線段的中點，若是中繞圓心運動的一條直徑，則_________ 【答案】-5 ，所以解得，再由為的中點可得，所以，進而 答案： .