2019-2020年人教A版高中數(shù)學選修2-2 1-1 變化率與導數(shù)(1)教案.doc
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2019-2020年人教A版高中數(shù)學選修2-2 1-1 變化率與導數(shù)(1)教案 教學準備 1. 教學目標 (1)理解平均變化率的概念. (2)了解瞬時速度、瞬時變化率、的概念. (3)理解導數(shù)的概念 (4)會求函數(shù)在某點的導數(shù)或瞬時變化率. 2. 教學重點/難點 教學重點:瞬時速度、瞬時變化率的概念及導數(shù)概念的形成和理解 教學難點:會求簡單函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù) 3. 教學用具 多媒體、板書 4. 標簽 教學過程 一、創(chuàng)設情景、引入課題 【師】十七世紀,在歐洲資本主義發(fā)展初期,由于工場的手工業(yè)向機器生產(chǎn)過渡,提高了生產(chǎn)力,促進了科學技術的快速發(fā)展,其中突出的成就就是數(shù)學研究中取得了豐碩的成果―――微積分的產(chǎn)生。 【板演/PPT】 【師】人們發(fā)現(xiàn)在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位:米)與起跳后的時間t(單位:秒)存在函數(shù)關系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態(tài)? 【板演/PPT】 讓學生自由發(fā)言,教師不急于下結論,而是繼續(xù)引導學生:欲知結論怎樣,讓我們一起來觀察、研探。 【設計意圖】自然進入課題內容。 二、新知探究 [1]變化率問題 【合作探究】 探究1 氣球膨脹率 【師】很多人都吹過氣球,回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學角度,如何描述這種現(xiàn)象呢? 氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關系是 如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么 【板演/PPT】 【活動】 【分析】 當V從0增加到1時,氣球半徑增加了 氣球的平均膨脹率為 (1)當V從1增加到2時,氣球半徑增加了 氣球的平均膨脹率為 0.62>0.16 可以看出,隨著氣球體積逐漸增大,它的平均膨脹率逐漸變小了. 【思考】當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少? 解析: 探究2 高臺跳水 【師】在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位:米)與起跳后的時間t(單位:秒)存在函數(shù)關系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態(tài)? (請計算) 【板演/PPT】 【生】學生舉手回答 【活動】學生覺得問題有價值,具有挑戰(zhàn)性,迫切想知道解決問題的方法。 【師】解析:h(t)=-4.9t2+6.5t+10 【設計意圖】兩個問題由易到難,讓學生一步一個臺階。為引入變化率的概念以及加深對變化率概念的理解服務。 探究3 計算運動員在這段時間里的平均速度,并思考下面的問題: (1)運動員在這段時間里是靜止的嗎? (2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎? 【板演/PPT】 【生】學生舉手回答 【師】在高臺跳水運動中,平均速度不能準確反映他在這段時間里運動狀態(tài). 【活動】師生共同歸納出結論 平均變化率: 上述兩個問題中的函數(shù)關系用y=f(x)表示,那么問題中的變化率可用式子 我們把這個式子稱為函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率. 習慣上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1) 這里Δx看作是對于x1的一個“增量”可用x1+Δx代替x2 同樣Δy=f(x2)-f(x1),于是,平均變化率可以表示為: 【幾何意義】觀察函數(shù)f(x)的圖象,平均變化率的幾何意義是什么? 【提示】:直線AB的斜率 【生】學生結合圖象思考問題 【設計意圖】問題的目的是: ①讓學生加深對平均變化率的理解; ②為下節(jié)課學習導數(shù)的幾何意義作輔墊; ③③培養(yǎng)學生數(shù)形結合的能力。 [2]導數(shù)的概念 探究1 何為瞬時速度 【板演/PPT】 在高臺跳水運動中,平均速度不能反映他在這段時間里運動狀態(tài),需要用瞬時速度描述運動狀態(tài)。我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度. 平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢. 【師】如何精確地刻畫曲線在一點處的變化趨勢呢? 求:從2s到(2+△t)s這段時間內平均速度 解: 探究2 當Δt趨近于0時,平均速度有什么變化趨勢? 從2s到(2+△t)s這段時間內平均速度 當△ t 趨近于0時, 即無論 t 從小于2的一邊, 還是從大于2的一邊趨近于2時, 平均速度都趨近與一個確定的值 –13.1. 從物理的角度看, 時間間隔 |△t |無限變小時, 平均速度就無限趨近于 t = 2時的瞬時速度. 因此, 運動員在 t = 2 時的瞬時速度是 –13.1 m/s. 為了表述方便,我們用 表示“當t =2, △t趨近于0時, 平均速度 趨近于確定值– 13.1”. 【瞬時速度】 我們用 表示 “當t=2, Δt趨近于0時,平均速度趨于確定值-13.1”. 局部以勻速代替變速,以平均速度代替瞬時速度,然后通過取極限,從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。那么,運動員在某一時刻的瞬時速度? 【設計意圖】讓學生體會由平均速度到瞬時速度的逼近思想:△t越小,V越接近于t=2秒時的瞬時速度。 探究3: (1).運動員在某一時刻 t0 的瞬時速度怎樣表示? (2).函數(shù)f(x)在 x = x0處的瞬時變化率怎樣表示? 導數(shù)的概念: 一般地,函數(shù) y = f (x)在 x = x0 處的瞬時變化率是 稱為函數(shù) y = f(x) 在 x = x0 處的導數(shù), 記作或, 【總結提升】 由導數(shù)的定義可知, 求函數(shù) y = f (x)的導數(shù)的一般方法: [3]例題講解 例題1 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品, 需要對原油進行冷卻和加熱. 如果第 x h時, 原油的溫度(單位:)為 y=f (x) = x2–7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 計算第2h與第6h時, 原油溫度的瞬時變化率, 并說明它們的意義. 解: 在第2h和第6h時, 原油溫度的瞬時變化率就是 在第2h和第6h時, 原油溫度的瞬時變化率分別為–3和5. 它說明在第2h附近, 原油溫度大約以3 /h的速率下降; 在第6h附近,原油溫度大約以5 /h的速率上升. [4]本節(jié)課知識總結 1.函數(shù)的平均變化率 2.求函數(shù)的平均變化率的步驟: (1)求函數(shù)的增量Δy=f(x2)-f(x1) (2)計算平均變化率 3、求物體運動的瞬時速度: (1)求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t) (2)求平均速度 (3)求極限 4、由導數(shù)的定義可得求導數(shù)的一般步驟: (1)求函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0) (2))平均變化率 (3)求極限 三、復習總結和作業(yè)布置 [1] 課堂練習 1.函數(shù)y=f(x)的自變量x由x0改變到x0+Δx時,函數(shù)值的改變量Δy為 ( ) A.f(x0+Δx)B.f(x0)+Δx C.f(x0)Δx D.f(x0+Δx)-f(x0) 2.若一質點按規(guī)律s=8+t2運動,則在時間段2~2.1中,平均速度是 ( ) A.4 B.4.1 C.0.41 D.-1.1 3.求y=x2在x=x0附近的平均速度。 4.過曲線y=f(x)=x3上兩點P(1,1)和Q (1+Δx,1+Δy)作曲線的割線,求出當Δx=0.1時割線的斜率. 課堂練習【參考答案】 1. D 解析:分別寫出x=x0和x=x0+Δx對應的函數(shù)值f(x0)和f(x0+Δx),兩式相減,就得到了函數(shù)值的改變量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),故應選D. 2. B 解析: 3.解析: 4.解析: 課后習題 1、復習本節(jié)課所講內容 2、預習下一節(jié)課內容 3、課本 P.10習題1.1A組1,2,3,4.- 配套講稿:
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