2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 解三角形 專題1.1.1 正弦定理試題 新人教A版必修5.doc

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1.1.1 正弦定理 1．正弦定理 在中，若角A，B，C對應的三邊分別是a，b，c，則各邊和它所對角的正弦的比相等，即____________．正弦定理對任意三角形都成立． 2．解三角形 一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的____________．已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做____________． K知識參考答案： 1． 2．元素 解三角形 K—重點 正弦定理的變形和推廣、正弦定理在解三角形中的應用 K—難點 三角形解的個數(shù)的探究、三角形形狀的判斷 K—易錯 解三角形時要明確角的取值范圍，同時注意對角的討論 正弦定理的常見變形及推廣 （1）． （2）． （3）． （4）正弦定理的推廣：，其中為外接圓的半徑． （1）已知ABC中，，則=_____________； （2）已知ABC中，A，，則=_____________． 【答案】（1）；（2）2． 【解析】（1）根據(jù)正弦定理的變形，可得． （2）方法1：設，則有 從而，又，所以=2． 方法2：根據(jù)正弦定理的變形，可得． 【名師點睛】熟記正弦定理的變形，可使解題過程更加簡捷，從而達到事半功倍的效果． 在中，求證：． 【答案】證明見解析． 【解析】設外接圓的半徑為R，則 于是 所以． 【解題技巧】的兩種變形的應用： （1）（邊化角）； （2）（角化邊）． 正弦定理在解三角形中的應用、三角形解的個數(shù)的探究 1．正弦定理可以用來解決下列兩類解三角形的問題： （1）已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角； （2）已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角． 2．三角形解的個數(shù)的探究（以已知和解三角形為例） （1）從代數(shù)角度來看 ①若，則滿足條件的三角形的個數(shù)為0，即無解； ②若，則滿足條件的三角形的個數(shù)為1； ③若，則滿足條件的三角形的個數(shù)為1或2． 注：對于（3），由可知B可能為銳角，也可能為鈍角，此時應由“大邊對大角”、“三角形內(nèi)角和等于180”等進行討論． （2）從幾何角度來看 ①當A為銳角時： 一解 一解 兩解 無解 ②當A為鈍角或直角時： 一解 一解 無解 無解 （1）已知在中，，則_______，_______，_______； （2）已知在中，，則_______，_______，_______； （3）已知在中，，求和． 【答案】（1），，；（2），，；（3）見解析． 【解析】（1）， 由得 由得． （2）∵， ，為銳角，，∴． （3）， 或， 當時，， 當時，． 或． 【解題技巧】（1）已知三角形的兩角與一邊解三角形時，由三角形內(nèi)角和定理可以計算出三角形的另一角，由正弦定理可計算出三角形的另兩邊． （2）已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，先用正弦定理求出另一邊所對的角的正弦值，若這個角不是直角，則利用三角形中“大邊對大角”看能否判斷所求這個角是銳角，①當已知的角為大邊所對的角時，則能判斷另一邊所對的角為銳角；②當已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷，此時就有兩解，再分別求解即可；③然后由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角；④最后根據(jù)正弦定理求出第三條邊． 三角形形狀的判斷 判斷三角形形狀的常用方法——邊化角，已知條件中同時包含邊角關系，判斷三角形形狀時，將邊化為角，從三角變換的角度來研究角的關系和特征，進而判斷三角形的形狀．一般來說，這種方法能夠判斷的三角形都是特殊的三角形，如直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形． 在中，已知，且，則是 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】設的外接圓半徑為，由正弦定理的推廣，得，， 代入，可得，即． 因為，所以， 即． 由正弦定理的推廣可得，所以， 由及可得，所以是直角三角形． 故選B． 【名師點睛】注意到a，b，c在條件式中是齊次線性關系，因此可以考慮利用正弦定理將邊化為角．通過角的特征或者關系來判斷三角形的形狀． 忽略角的取值范圍而出錯 在中，若，求的取值范圍． 【錯解】由正弦定理，可得 ， ， 由，可得． 故的取值范圍為． 【錯因分析】錯解中沒有考慮角的取值范圍，誤認為角的取值范圍為． 【正解】由正弦定理可得 ， ， ，即， 故的取值范圍為． 【名師點睛】解三角形時要注意三角形的內(nèi)角為正角且必須滿足三角形內(nèi)角和定理，這是解題中的隱含條件，應特別注意． 忽略對角的討論而出錯 已知在中， 求角和邊． 【錯解】由正弦定理可得 ， ，，． 【錯因分析】錯解中由正弦定理求出角A的正弦值后誤認為角A是銳角，從而導致錯誤． 【正解】由正弦定理得 或． 當時，， 當時，， ． 綜上，或． 【名師點睛】在中，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可先用正弦定理求出另一邊的對角，此時解的個數(shù)可能不確定，應注意討論，避免漏解導致錯誤． 1．在中，角，，的對邊分別為，，，，則 A． B． C． D． 2．在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則 A．或 B． C． D． 3．在中，若∠A＝60，∠B＝45，BC＝，則AC＝ A． B． C． D． 4．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A:B:C＝1:2:3，則a:b:c＝ A．1:2:3 B．1:2: C．1::2 D．2::1 5．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，，則 A． B． C． D． 6．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的形狀為 A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定 7．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則此三角形解的個數(shù)為 A． B． C． D．不能確定 8．已知中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cosA:cosB＝b:a，則是 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 9．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則______________． 10．在中，角A，C的對邊分別為a，c，其中，，則角______________． 11．在中，若B＝30，AB＝2，AC＝2，則的周長為______________． 12．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，己知?=90，+=，求． 13．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝b，A＝2B，則cosB= A． B． C． D． 14．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則 A． B． C． D． 15．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則角B等于 A． B． C．或 D．以上都不正確 16．在中，角A，B，C的對邊為a，b，c，若，則是 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 17．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則是 A．有一內(nèi)角是30的三角形 B．等邊三角形 C．等腰直角三角形 D．有一內(nèi)角是30的等腰三角形 18．在中，已知，則邊長 A．或 B． C．2 D． 19．在中，已知，，則______________． 20．如圖所示，在一個坡度一定的山坡的頂上有一高度為25的建筑物．為了測量該山坡相對于水平地面的坡角，在山坡的處測得，沿山坡前進50到達處，又測得．根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算可得______________． 21．如圖，在中，點在邊上，． （1）求的值； （2）若，求的長． 22．（2017山東理）在中，角A，B，C的對邊分別為，，．若為銳角三角形，且滿足，則下列等式成立的是 A． B． C． D． 23．（2017新課標全國Ⅰ文）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，a=2，c=，則C= A． B． C． D． 24．（2017新課標全國Ⅱ文）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則______________． 25．（2017新課標全國Ⅲ文）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知C=60，b=，c=3，則A=______________． 26．（2018北京理）在中，，，． （1）求； （2）求邊上的高．  1．【答案】D 【解析】∵，由得故選D． 2．【答案】B 【解析】在中，由得，由于，所以，所以，故選B． 3．【答案】B 【解析】由正弦定理得，所以AC＝故選B． 4．【答案】C 【解析】因為在中，A＋B＋C＝π，且A:B:C＝1:2:3，所以A＝，B=，C=，由正弦定理的變形，得a:b:c＝sinA:sinB:sinC1::2．故選C． 6．【答案】B 【解析】由已知可得，∴，∴，∴，三角形為直角三角形．故選B． 7．【答案】C 【解析】由正弦定理可得，因為，所以，所以角可能是銳角，也可能是鈍角，所以此三角形有兩解，故選C． 8．【答案】D 【解析】由正弦定理可得，即sinAcosA＝sinBcosB，所以sin2A＝sin2B，即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，故是等腰或直角三角形．故選D． 9．【答案】 【解析】∵，，∴，∵，∴，∴． 10．【答案】 【解析】由正弦定理可得，即，所以或，又，所以． 12．【答案】． 【解析】由正弦定理可得，又由于， 故， 即． 因為，所以，即． 13．【答案】B 【解析】由正弦定理，得，所以a＝b可化為＝． 又A＝2B，所以＝，所以cosB＝．故選B． 14．【答案】D 【解析】在中，由正弦定理可得，又，所以，故選D． 15．【答案】A 【解析】在中，∵，∴，又，∴，∴，故選A． 16．【答案】D 【解析】由正弦定理和已知條件可得， 所以 即， 所以或，即或．故是等腰三角形或直角三角形． 故選D． 18．【答案】A 【解析】由正弦定理可得，， 在中，，或． 當時，，； 當時，，此時． 綜上，可得或．故選A． 19．【答案】或 【解析】由正弦定理得，得， 由，得，所以或，從而或． 21．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因為，所以． 又，所以， 所以． （2）在中，由，可得． 22．【答案】A 【解析】由題意知， 所以，故選A． 23．【答案】B 【解析】由可得，即，所以． 由正弦定理可得，即，因為，所以， 所以，故選B． 24．【答案】 【解析】由正弦定理可得． 25．【答案】 【解析】由正弦定理，可得，結合可得，則. 26．【答案】（1）；（2）AC邊上的高為． 【解析】（1）在中，因為，所以，所以． 由正弦定理，所以． 因為，所以，所以． （2）在中，． 如圖所示，在中，，所以， 所以邊上的高為．