2018-2019年高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 1.2.2 第一課時 組合與組合數(shù)公式學案 新人教A版選修2-3.doc

第一課時組合與組合數(shù)公式教材研讀預習教材P2124，思考以下問題1組合的概念是什么？2什么是組合數(shù)？組合數(shù)公式是怎樣的？3組合數(shù)有怎樣的性質？要點梳理1組合的定義從n個不同元素中取出m(nm)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合2組合數(shù)的概念、公式、性質自我診斷判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)1從a，b，c三個不同的元素中任取兩個元素的一個組合是C.()2從1,3,5,7中任取兩個數(shù)相乘可得C個積()31,2,3與3,2,1是同一個組合()4C54360.()答案1.2.3.4.思考：區(qū)分一個問題是排列問題還是組合問題的關鍵是什么？提示：關鍵是看它有無順序，有順序的是排列問題，無順序的是組合問題 (1)判斷下列問題是組合問題還是排列問題：設集合Aa，b，c，d，e，則集合A的子集中含有3個元素的有多少個？某鐵路線上有5個車站，則這條線上共需準備多少種車票？多少種票價？3人去干5種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法？把3本相同的書分給5個學生，每人最多得1本，有幾種分配方法？(2)從5個不同元素a，b，c，d，e中任取2個，寫出所有不同的組合思路導引對于(1)關鍵是看有無順序，有順序的是排列問題，無順序的即為組合問題；對于(2)每次取出兩個元素即可，無順序，但注意不重不漏解(1)因為本問題與元素順序無關，故是組合問題因為甲站到乙站，與乙站到甲站車票是不同的，故是排列問題，但票價與順序無關，甲站到乙站，與乙站到甲站是同一種票價，故是組合問題因為分工方法是從5種不同的工作中取出3種，按一定次序分給3個人去干，故是排列問題因為3本書是相同的，無論把3本書分給哪三人，都不需考慮他們的順序，故是組合問題(2)要寫出所有的組合，首先要把元素按一定順序排好，然后按順序用圖示的方法將各個組合逐個標出如圖所示：因此可得所有組合為ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.區(qū)分排列與組合的方法區(qū)分排列與組合的辦法是首先弄清楚事件是什么，區(qū)分的標志是有無順序，而區(qū)分有無順序的方法是：把問題的一個選擇結果寫出來，然后交換這個結果中任意兩個元素的位置，看是否會產生新的變化，若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若無新變化，即說明無順序，是組合問題【溫馨提示】排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別聯(lián)系：二者都是從n個不同的元素中取m(nm)個元素區(qū)別：排列與元素的順序有關，組合與元素的順序無關，只有元素相同且順序也相同的兩個排列才是相同的排列只要兩個組合的元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的組合跟蹤訓練判斷下列問題是組合問題還是排列問題(1)從a，b，c，d四名學生中選兩名學生完成一件工作，有多少種不同的選法？(2)從a，b，c，d四名學生中選兩名學生完成兩件不同的工作，有多少種不同的選法？(3)a，b，c，d四支足球隊之間進行單循環(huán)比賽，共需比賽多少場？(4)a，b，c，d四支足球隊爭奪冠、亞軍，有多少種不同的結果？(5)某人射擊8槍，命中4槍，且命中的4槍均為2槍連中，不同的結果有多少種？(6)某人射擊8槍，命中4槍，且命中的4槍中恰有3槍連中，不同的結果有多少種？解(1)兩名學生完成的是同一件工作，沒有順序，是組合問題(2)兩名學生完成兩件不同的工作，有順序，是排列問題(3)單循環(huán)比賽要求每兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題(4)冠、亞軍是有順序的，是排列問題(5)命中的4槍均為2槍連中，為相同的元素，沒有順序，是組合問題(6)命中的4槍中恰有3槍連中，即連中3槍和單中1槍，有順序，是排列問題題型二組合數(shù)的計算與證明思考：我們知道，“排列”與“排列數(shù)”是兩個不同的概念，那么，“組合”與“組合數(shù)”是同一個概念嗎？為什么？提示：“組合”與“組合數(shù)”是兩個不同的概念，“組合”是指“從n個不同元素中取出m(mn)個元素合成一組”，它不是一個數(shù)，而是具體的一件事；“組合數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同組合的個數(shù)”，它是一個數(shù) (1)計算：CCA；C2CC；CCCCCC.(2)證明：mCnC.思路導引利用組合數(shù)公式及性質求解解(1)CCACA7652102100.原式(CC)(CC)CCCC161700.原式(CC)CCCC(CC)CCCCCCC462.(2)證明：左邊mnnC右邊，mCnC.(1)有關組合數(shù)的兩個公式的應用范疇是有所區(qū)別的，C常用于n，m為具體自然數(shù)的題目，一般偏向于具體組合數(shù)的計算；公式C常用于n，m為字母或含有字母的式子的題目，一般偏向于方程的求解或有關組合數(shù)的恒等式的證明(2)關于組合數(shù)的性質1(CC)該性質反映了組合數(shù)的對稱性，即從n個不同的元素中取出m個元素的每一個組合，都對應著剩下的nm個元素的一個組合，反過來也一樣，這是一一對應的關系當m>時，通常不直接計算C，而改為計算C.(3)關于組合數(shù)的性質2(CCC)形式特點：公式的左端下標為n1，右端下標為n，相差1，上標左端與右端的一個相同，右端的另一個比它們少1；作用：常用于有關組合數(shù)式子的化簡或組合數(shù)恒等式的證明應用時要注意公式的正用、逆用和變形用正用是將一個組合數(shù)拆成兩個，逆用則是“合二為一”，使用變形CCC，為某些項前后抵消提供了方便，在解題中要注意靈活應用跟蹤訓練1計算：CC的值解9.5n10.5.nN*，n10.CCCCCC31466.2求使3C5A成立的x值解根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)公式，原方程可化為35，即，即為(x3)(x6)40.x29x220，解得x11或x2.經檢驗知x11時原式成立3證明下列各等式(1)CC；(2)CCCCC.證明(1)右邊C左邊，原式成立(2)左邊(CC)CCC(CC)CC(CC)C(CC)CCCC右邊，原式成立 現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名(1)從中選2名去參加會議，有多少種不同的選法？(2)從中選出2名男教師或2名女教師去外地學習，有多少種不同的選法？(3)從中選出男、女教師各2名去參加會議，有多少種不同的選法？思路導引利用組合數(shù)C求解時，確定好m、n的值，結合兩個計數(shù)原理解題解(1)從10名教師中選2名去參加會議的選法種數(shù)，就是從10個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)，即有C45種不同的選法(2)可把問題分兩類：第1類，選出2名男教師，有C種方法；第2類，選出2名女教師，有C種方法，即共有CC21種不同的選法(3)從6名男教師中選2名的選法有C種，從4名女教師中選2名的選法有C種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有CC90種不同的選法解答簡單的組合問題的思路(1)弄清楚做的這件事是什么；(2)分析這件事是否需分類或分步完成；(3)結合兩計數(shù)原理利用組合數(shù)公式求出結果跟蹤訓練一個口袋內裝有大小相同的7個白球和1個黑球(1)從口袋內取出3個球，共有多少種取法？(2)從口袋內取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？(3)從口袋內取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？解(1)從口袋內的8個球中取出3個球，取法種數(shù)是C56.(2)從口袋內取出3個球有1個是黑球，于是還要從7個白球中再取出2個，取法種數(shù)是C21.(3)由于所取出的3個球中不含黑球，也就是要從7個白球中取出3個球，取法種數(shù)是C35.1.本節(jié)課的重點是組合的概念、組合數(shù)公式及其性質、簡單的組合應用問題，難點是組合數(shù)的性質及應用2本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法(1)組合概念的理解，見典例1；(2)組合數(shù)的計算與證明，見典例2；(3)會解決簡單的組合應用題，見典例3.3.本節(jié)課的易錯點是利用組合數(shù)性質CC解題時，易誤認為一定有xy，從而導致解題錯誤事實上，CC