（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題六 三角恒等變換與解三角形講義 理（重點(diǎn)生含解析）.doc

專題六 角恒等變換與解三角形卷卷卷2018正、余弦定理的應(yīng)用T17二倍角公式及余弦定理的應(yīng)用T6二倍角公式T4同角三角函數(shù)關(guān)系及兩角和的正弦公式T15三角形的面積公式及余弦定理T92017正、余弦定理、三角形的面積公式及兩角和的余弦公式T17余弦定理、三角恒等變換及三角形的面積公式T17余弦定理、三角形的面積公式T172016正、余弦定理、三角形面積公式、兩角和的正弦公式T17誘導(dǎo)公式、三角恒等變換、給值求值問(wèn)題T9同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式T5正弦定理的應(yīng)用、誘導(dǎo)公式T13利用正、余弦定理解三角形T8縱向把握趨勢(shì)卷3年3考且均出現(xiàn)在解答題中的第17題，涉及正、余弦定理、三角形的面積公式、兩角和與差的正、余弦公式，難度適中預(yù)計(jì)2019年會(huì)以選擇題或填空題的形式考查正、余弦定理的應(yīng)用及三角恒等變換，難度適中卷3年5考，既有選擇題、填空題，也有解答題，涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角恒等變換、正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式，難度適中預(yù)計(jì)2019年會(huì)以解答題的形式考查正、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用卷3年5考，既有選擇題，也有解答題，難度適中涉及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理、三角形面積公式等預(yù)計(jì)2019年會(huì)以解答題的形式考查正、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用橫向把握重點(diǎn)1.高考對(duì)此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命題形式出現(xiàn)2.若無(wú)解答題，一般在選擇題或填空題各有一題，主要考查三角恒等變換、解三角形，難度一般，一般出現(xiàn)在第49或第1315題位置上3.若以解答題命題形式出現(xiàn)，主要考查三角函數(shù)與解三角形的綜合問(wèn)題，一般出現(xiàn)在解答題第17題位置上，難度中等.三角恒等變換題組全練1(2018全國(guó)卷)若sin ，則cos 2()A.B.C D解析：選Bsin ，cos 212sin2122.故選B.2(2016全國(guó)卷)若cos，則sin 2()A. B.C D解析：選D因?yàn)閏os，所以sin 2cos2cos21.3已知sincos ，則cos()A B.C D.解析：選D由sincos ，得sin cos cos sin cos sin，所以cos12sin21.4已知sin ，且sin()cos ，則tan()()A2 B2C D.解析：選Asin ，且<<，cos ，tan .sin()sin cos cos sin sin cos cos ，tan ，tan()2.5已知A，B均為鈍角，sin2cos，且sin B，則AB()A. B.C. D.解析：選C因?yàn)閟in2cos，所以cos Asin A，即sin A，解得sin A.因?yàn)锳為鈍角，所以cos A.由sin B，且B為鈍角，可得cos B.所以cos(AB)cos Acos Bsin Asin B.又A，B都為鈍角，即A，B，所以AB(，2)，故AB，選C.系統(tǒng)方法1化簡(jiǎn)求值的方法與思路(1)方法：采用“切化弦”“弦化切”來(lái)減少函數(shù)的種類，做到三角函數(shù)名稱的統(tǒng)一；通過(guò)三角恒等變換，化繁為簡(jiǎn)，便于化簡(jiǎn)求值；(2)基本思路：找差異，化同名(同角)，化簡(jiǎn)求值2解決條件求值問(wèn)題的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)分析已知角和未知角之間的關(guān)系，正確地用已知角來(lái)表示未知角；(2)正確地運(yùn)用有關(guān)公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來(lái)表示；(3)求解三角函數(shù)中給值求角的問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)已知求這個(gè)角的某種三角函數(shù)值，然后結(jié)合角的取值范圍，求出角的大小正弦定理、余弦定理的應(yīng)用多維例析角度一利用正、余弦定理進(jìn)行邊、角計(jì)算(1)(2018全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若ABC的面積為，則C()A. B.C. D.(2)(2018長(zhǎng)春質(zhì)檢)已知在銳角ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c,2asin Bb，b2，c3，AD是角A的平分線，D在BC上，則BD_.解析(1)Sabsin Cabcos C，sin Ccos C，即tan C1.C(0，)，C.(2)由正弦定理可得，2sin Asin Bsin B，可得sin A，因?yàn)?<A<，所以A，由余弦定理得BC22232223cos，解得BC，在ABD和ADC中，分別應(yīng)用正弦定理得，.又sinADBsinADC，聯(lián)立，解得BD.答案(1)C(2)角度二與三角形面積、周長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題(2019屆高三武漢調(diào)研)在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且2bcos C2ac.(1)求角B的大?。?2)若b2，ac，求ABC的面積解(1)由正弦定理，知2sin Bcos C2sin Asin C，由ABC，得2sin Bcos C2sin(BC)sin C，即2sin Bcos C2(sin Bcos Ccos Bsin C)sin C，整理得2cos Bsin Csin C0.因?yàn)閟in C0，所以cos B.因?yàn)?B，所以B.(2)由余弦定理b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac2accos B，因?yàn)閎2，ac，所以22()22ac2accos，得ac1.所以SABCacsin B1.(2018廣州模擬)已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求tan的值；(2)若ABC的面積為1，求ABC的周長(zhǎng)的最小值解(1)由已知，得b(sin Bsin C)(ac)(sin Asin C)，由正弦定理，得b(bc)(ac)(ac)，即b2c2a2bc.再由余弦定理得cos A.又0A，所以A.故tantantan.(2)由(1)及已知得，ABC的面積為SABCbcsin1，所以bc4.于是a2b2c22bccos A2bc2bc84，當(dāng)且僅當(dāng)bc2時(shí)，a取得最小值，且最小值為，此時(shí)abc4.故ABC的周長(zhǎng)的最小值為4.類題通法利用正、余弦定理解三角形的常用策略(1)當(dāng)出現(xiàn)邊角混合的式子時(shí)，常常根據(jù)abcsin Asin Bsin C來(lái)統(tǒng)一成邊或統(tǒng)一成角；(2)當(dāng)式子中出現(xiàn)三邊的平方和或差時(shí)，常常要利用余弦定理解題；(3)當(dāng)三個(gè)內(nèi)角A，B，C都出現(xiàn)時(shí)，根據(jù)三角形內(nèi)角和ABC180，消掉一個(gè)角，留下兩個(gè)角，然后化簡(jiǎn)整理；若已知一個(gè)角，式子中含有兩個(gè)角時(shí)，結(jié)合已知消掉一個(gè)角，留下一個(gè)角，然后根據(jù)和角公式展開(kāi)，再進(jìn)一步化簡(jiǎn)綜合訓(xùn)練1(2018南寧模擬)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知c(1cos B)b(2cos C)(1)求證：2bac；(2)若B，ABC的面積為4，求b.解：(1)證明：c(1cos B)b(2cos C)，由正弦定理可得sin C(1cos B)sin B(2cos C)，即sin Ccos Bsin Bcos Csin C2sin B，sin(BC)sin C2sin B，sin Asin C2sin B，2bac.(2)B，ABC的面積Sacsin Bac4，ac16.由余弦定理可得b2a2c22accos Ba2c2ac(ac)23ac.ac2b，b24b2316，解得b4.2(2018合肥質(zhì)檢)已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，(a2b)cos Cccos A0.(1)求角C的大??；(2)若c2，求ABC周長(zhǎng)的最大值解：(1)根據(jù)正弦定理，由已知得(sin A2sin B)cos Csin Ccos A0，即sin Acos Csin Ccos A2sin Bcos C，sin(AC)2sin Bcos C，sin B2sin Bcos C，cos C.C(0，)，C.(2)由(1)及余弦定理得cos C，又c2，a2b212ab，(ab)2123ab32，即(ab)248(當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)等號(hào)成立)ABC周長(zhǎng)的最大值為6.3(2018武漢調(diào)研)在銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，滿足cos 2Acos 2B2coscos0.(1)求角A的大??；(2)若b且ba，求a的取值范圍解：(1)由cos 2Acos 2B2coscos0，得2sin2B2sin2A20，化簡(jiǎn)得sin A，又ABC為銳角三角形，故A.(2)ba，ca，C，B，sin B.由正弦定理，得，a，由sin B，得a，3)即a的取值范圍是，3)解三角形與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題 由題知法已知函數(shù)f (x)2sin xcos x2cos2x1，xR.(1)求函數(shù)f (x)的最小正周期和最小值；(2)在ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知c，f (C)0，sin B2sin A，求a，b的值解(1)因?yàn)閒 (x)2sin xcos x2cos2x1sin 2x(cos 2x1)1sin 2xcos 2x22sin2，所以函數(shù)f (x)的最小正周期T，最小值為4.(2)因?yàn)閒 (C)2sin20，所以sin1，又C(0，)，所以2C，所以2C，得C.因?yàn)閟in B2sin A，由正弦定理得b2a，由余弦定理得，c2a2b22abcos Ca24a22a23a2，又c，所以a1，b2.類題通法解三角形與三角函數(shù)綜合問(wèn)題求解策略(1)解三角形與三角函數(shù)的綜合題求解時(shí)，若解決與三角恒等變換有關(guān)的問(wèn)題，優(yōu)先考慮角與角之間的關(guān)系；若解決與三角形有關(guān)的問(wèn)題，優(yōu)先考慮正弦、余弦定理(2)求解該類問(wèn)題，易忽視題中的角為三角形內(nèi)角，未注明角的限制條件導(dǎo)致產(chǎn)生錯(cuò)解. 應(yīng)用通關(guān)已知函數(shù)f (x)4cos xsinm(mR)，當(dāng)x時(shí)，f (x)的最小值為1.(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)在ABC中，已知f (C)1，AC4，延長(zhǎng)AB至D，使BDBC，且AD5，求ACD的面積解：(1)f (x)4cos xsinm4cos xm2sin xcos x2cos2xmsin 2xcos 2x1m2sinm1.x，2x，min1，f (x)min11m1，解得m1.(2)由(1)知f (x)2sin，又f (C)1，2sin1，C(0，)，2C，2C，解得C.如圖，設(shè)BDBCx，則AB5x，在ACB中，由余弦定理，得cosACB，解得x.cos A，得sin A.SACDACADsin A54.解三角形實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題由題知法(1)從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為60，30，此時(shí)氣球的高是60 m，則河流的寬度BC等于()A30 m B30(1)mC40 m D40(1)m(2)為了豎一塊廣告牌，要制造一個(gè)三角形支架，如圖，要求ACB60，BC的長(zhǎng)度大于1 m，且AC比AB長(zhǎng)0.5 m為了穩(wěn)固廣告牌，要求AC越短越好，則AC最短為()A.m B2 mC(1)m D(2)m解析(1)如圖，設(shè)A在直線BC上的射影為H.由題意得，BAH30，CAH60.在RtAHB中，HBAHtan 30AH6020(m)在RtAHC中，HCAHtan 60AH6060(m)所以BCHCHB602040(m)(2)由題意設(shè)BCx(x>1)m，ACt(t>0)m，依題意得ABAC0.5(t0.5)(m)在ABC中，由余弦定理得，AB2AC2BC22ACBCcos 60，即(t0.5)2t2x2tx，化簡(jiǎn)并整理得tx12(x>1)因?yàn)閤>1，所以tx122當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào)，故AC最短為(2)m，應(yīng)選D.答案(1)C(2)D類題通法1解三角形實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的解題步驟2解三角形實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的注意事項(xiàng)(1)要注意仰角、俯角、方位角以及方向角等名詞，并能準(zhǔn)確作出這些角；(2)要注意將平面幾何的性質(zhì)、定理與正、余弦定理結(jié)合起來(lái)使用，這樣可以優(yōu)化解題過(guò)程；(3)要注意題目中的隱含條件及解的實(shí)際意義應(yīng)用通關(guān)1某位居民站在離地面20 m高的陽(yáng)臺(tái)上觀測(cè)到對(duì)面小高層房頂?shù)难鼋菫?0，小高層底部的俯角為45，那么這棟小高層的高度為()A20mB20(1)mC10()mD20()m解析：選B如圖，設(shè)AB為陽(yáng)臺(tái)的高度，CD為小高層的高度，AE為水平線由題意知AB20 m，DAE45，CAE60，故DEAE20 m，CE20 m，所以CD20(1)m.2.(2018河北保定模擬)如圖，某游輪在A處看燈塔B在A的北偏東75方向上，距離為12海里，燈塔C在A的北偏西30方向上，距離為8海里，游輪由A處向正北方向航行到D處時(shí)再看燈塔B，B在南偏東60方向上，則C與D的距離為()A20海里 B8海里C23海里 D24海里解析：選B在ABD中，因?yàn)闊羲﨎在A的北偏東75方向上，距離為12海里，貨輪由A處向正北方向航行到D處時(shí)，再看燈塔B，B在南偏東60方向上，所以B180756045，由正弦定理，可得AD24海里在ACD中，AD24海里，AC8海里，CAD30，由余弦定理得CD2AD2AC22ADACcos 30242(8)22248192.所以CD8海里3如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處至景點(diǎn)C處有兩條線路線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點(diǎn)B處，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處同時(shí)出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時(shí)到達(dá)C處經(jīng)測(cè)量，AB1 040 m，BC500 m，則sinBAC等于_解析：依題意，設(shè)乙的速度為x m/s，則甲的速度為x m/s，因?yàn)锳B1 040 m，BC500 m，所以，解得AC1 260 m.在ABC中，由余弦定理得，cosBAC，所以sinBAC .答案：重難增分與平面幾何有關(guān)的解三角形綜合問(wèn)題 考法全析一、曾經(jīng)這樣考1(2015全國(guó)卷)與平面四邊形有關(guān)的邊長(zhǎng)范圍問(wèn)題在平面四邊形ABCD中，ABC75，BC2，則AB的取值范圍是_學(xué)解題法一：分割法(學(xué)生用書(shū)不提供解題過(guò)程)易知ADC135.如圖，連接BD，設(shè)BDC，ADB，則135.在ABD和BCD中，由正弦定理得，則AB，由得30<<105，所以2<<.則<AB<.法二：極限法(學(xué)生用書(shū)提供解題過(guò)程)如圖，動(dòng)態(tài)地審視平面四邊形ABCD，邊BC2固定，BC75固定，延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)P.雖然BAD75，但AB邊并不固定，平行移動(dòng)AD邊，則容易看出BQ<AB<BP.在BCQ中，易求得BQ；在BCP中，易求得BP，則AB的取值范圍是(，)答案：(，)啟思維本題考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，將四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題是解決該題的關(guān)鍵可利用正弦定理建立函數(shù)關(guān)系式求解，也可利用數(shù)形結(jié)合思想，作出圖形，分析圖形的特點(diǎn)找出解題思路二、還可能這樣考2與三角形的中線、角平分線相關(guān)的問(wèn)題在ABC中，AB3AC，BAC的平分線交BC于D，且ADmAC，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：法一：設(shè)ACx，則AB3x.由三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)可知，BDBC，CDBC.在ABD中，由余弦定理可得29x2m2x223mx2cos.在ACD中，由余弦定理可得2x2m2x22mx2cos.由兩式消去BC并化簡(jiǎn)得cos.因?yàn)?<<，所以cos(0,1)，所以0<<1，解得m，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.法二：設(shè)BADCAD，ACb，則AB3b，ADmb，由SABCSABDSACD，得b2sin 2mb2sin mb2sin ，化簡(jiǎn)得mcos .因?yàn)?，所以?shí)數(shù)m的取值范圍是.答案：?jiǎn)⑺季S本題考查了余弦定理的應(yīng)用、三角形角平分線的性質(zhì)及三角形面積公式列出有關(guān)m的關(guān)系式是解決該題的關(guān)鍵3.四邊形面積的最值問(wèn)題已知ABC的內(nèi)角CAB，B，ACB所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acosACBccosCABbsin B，CAB，如圖所示，若D是ABC外一點(diǎn)，DC2，DA3，則當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí)，sin D_.解析：由acosACBccosCABbsin B及余弦定理得acbsin B，即bbsin Bsin B1B，又CAB，所以ACB.由BCa，得ABa，AC2a，則SABCaaa2.在ACD中，cos D，所以a2.又SACDADCDsin D3sin D，所以S四邊形ABCDSABCSACDa23sin D3sin D3sin Dcos D sin(D) ，所以當(dāng)D，即D時(shí)，S四邊形ABCD最大，此時(shí)sin Dsincos .答案：?jiǎn)⑺季S本題考查余弦定理、三角形面積公式及輔助角公式的應(yīng)用題中四邊形的面積很容易求出，關(guān)鍵是計(jì)算面積的最大值，要注意邊角互化的應(yīng)用，否則解題非常困難增分集訓(xùn)1在ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，CDBC，AC5，CD5，BD2AD，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)解析：在ABC中，BD2AD，設(shè)ADx(x>0)，則BD2x.在BCD中，因?yàn)镃DBC，CD5，BD2x，所以cosCDB.在ACD中，ADx，CD5，AC5，由余弦定理得cosADC.因?yàn)镃DBADC，所以cosADCcosCDB，即，解得x5，所以AD的長(zhǎng)為5.答案：52.如圖，在直角梯形ABDE中，已知ABDEDB90，C是BD上一點(diǎn)，AB3，ACB15，ECD60，EAC45，則線段DE的長(zhǎng)為_(kāi)解析：易知ACE105，AEC30，在RtABC中，AC，在AEC中，CE，在RtCED中，DECEsin 606.答案：63.(2018四川成都模擬)如圖，在ABC中，AB4，BC2，ABCD，若ADC是銳角三角形，則DADC的取值范圍為_(kāi)解析：設(shè)ACD，則CAD，根據(jù)條件及余弦定理計(jì)算得AC2.在ACD中，由正弦定理得4，AD4sin ，CD4sin，DADC44444sin.ACD是銳角三角形，和均為銳角，sin.DADC4sin.答案：(6,4 高考大題通法點(diǎn)撥三角函數(shù)問(wèn)題重在“變”變角、變式思維流程策略指導(dǎo) 1常用的變角技巧(1)已知角與特殊角的變換；(2)已知角與目標(biāo)角的變換；(3)角與其倍角的變換；(4)兩角與其和差角的變換以及三角形內(nèi)角和定理的變換運(yùn)用如：()()，2()()，2()()，2，.2常用的變式技巧主要從函數(shù)名、次數(shù)、系數(shù)方面入手，常見(jiàn)的有：(1)討論三角函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，常常將它化為一次的單角的三角函數(shù)來(lái)討論；(2)涉及sin xcos x、sin xcos x的問(wèn)題，常做換元處理，如令tsin xcos x，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)來(lái)處理；(3)在解決三角形的問(wèn)題時(shí)，常利用正、余弦定理化邊為角或化角為邊等已知函數(shù)f (x)4tan xsincos.(1)求f (x)的定義域與最小正周期；(2)討論f (x)在區(qū)間上的單調(diào)性破題思路第(1)問(wèn)求什么想什么求f (x)的定義域與最小正周期，想到建立關(guān)于x的不等式以及化函數(shù)f (x)的解析式為f (x)Asin(x)或f (x)Acos(x)的形式給什么用什么題干中給出的解析式中既有正切函數(shù)也有正弦、余弦函數(shù)，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再分別利用各種三角函數(shù)的定義域即可求出函數(shù)f (x)的定義域，利用周期公式可求周期第(2)問(wèn)求什么想什么討論f (x)在區(qū)間上的單調(diào)性，想到正弦函數(shù)ysin x的單調(diào)性給什么用什么第(1)問(wèn)中已經(jīng)將函數(shù)f (x)化為f (x)Asin(x)的形式，用整體代換求單調(diào)區(qū)間，并與區(qū)間求交集規(guī)范解答(1)f (x)的定義域?yàn)?f (x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(2sin2x1)sin 2xcos 2x2sin.所以f (x)的最小正周期T.(2)令z2x，則函數(shù)y2sin z的單調(diào)遞增區(qū)間是，kZ. 由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.設(shè)A，B，kZ，易知AB.所以當(dāng)x時(shí)，f (x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減關(guān)鍵點(diǎn)撥解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于“變”，其思路為“一角二名三結(jié)構(gòu)”升冪(降冪)公式口訣：“冪降一次，角翻倍，冪升一次，角減半”ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面積為，求ABC的周長(zhǎng)破題思路第(1)問(wèn)求什么想什么求角C，想到求C的某一個(gè)三角函數(shù)值給什么用什么題目條件中給出關(guān)系式2cos C(acos Bbcos A)c.用正弦定理或余弦定理統(tǒng)一角或邊，可求角C的一個(gè)三角函數(shù)值，進(jìn)而求出C的值第(2)問(wèn)求什么想什么求ABC的周長(zhǎng)，想到求ABC各邊的長(zhǎng)或直接求abc的值給什么用什么已知c，ABC的面積為，用SABCabsin C可建立ab的關(guān)系式差什么找什么求周長(zhǎng)，還需ab的值通過(guò)以上步驟可知ABC中C，c及ab的值，利用余弦定理即可求出ab的值規(guī)范解答(1)法一：由2cos C(acos Bbcos A)c，得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C.因?yàn)锳BC，A，B，C(0，)，所以sin(AB)sin C>0，所以2cos C1，cos C.因?yàn)镃(0，)，所以C.法二：由2cos C(acos Bbcos A)c，得2cos Cc，整理得2cos C1，即cos C.因?yàn)镃(0，)，所以C.(2)因?yàn)镾absin Cab，所以ab6，由余弦定理，c2a2b22abcos C，得7a2b22ab，即(ab)23ab7，所以(ab)2187，即ab5，所以ABC的周長(zhǎng)為abc5.關(guān)鍵點(diǎn)撥利用正、余弦定理求解問(wèn)題的策略角化邊利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系，通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而求解邊化角利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過(guò)三角函數(shù)恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，進(jìn)而求解對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2018全國(guó)卷)在平面四邊形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cos ADB；(2)若DC2，求BC.解：(1)在ABD中，由正弦定理得，即，所以sin ADB.由題設(shè)知，ADB<90，所以cos ADB .(2)由題設(shè)及(1)知，cos BDCsin ADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcos BDC25825225，所以BC5.2已知函數(shù)f (x)sin xcos xsin2x1(0)的圖象中相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.(1)求的值及函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)已知a，b，c分別為ABC中角A，B，C的對(duì)邊，且滿足a，f (A)1，求ABC面積S的最大值解：(1)f (x)sin 2x1sin.因?yàn)楹瘮?shù)f (x)的圖象中相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，所以T，即，所以1.所以f (x)sin.令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)所以函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)(2)由f (A)1，得sin.因?yàn)?A，所以2A，得A.由余弦定理得a2b2c22bccos A，即()2b2c22bccos ，所以bc3b2c22bc，解得bc3，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)等號(hào)成立所以SABCbcsin A3，所以ABC面積S的最大值為.總結(jié)升華 高考試題中的三角函數(shù)解答題相對(duì)比較傳統(tǒng)，難度較低，大家在復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)“明確思維起點(diǎn)，把握變換方向，抓住內(nèi)在聯(lián)系，合理選擇公式”是解答此類題的關(guān)鍵在解題時(shí)，要緊緊抓住“變”這一核心，靈活運(yùn)用公式與性質(zhì)， 仔細(xì)審題，快速運(yùn)算專題跟蹤檢測(cè)(對(duì)應(yīng)配套卷P177)一、全練保分考法保大分1已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a，c2，cos A，則b()A.B.C2 D3解析：選D由余弦定理得522b222bcos A，cos A，3b28b30，b3.2在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知a6，b4，C120，則sin B()A.B.C. D解析：選B在ABC中，由余弦定理得c2a2b22abcos C76，所以c.由正弦定理得，所以sin B.3已知ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a2b2c2bc，bc4，則ABC的面積為()A. B1C. D2解析：選Ca2b2c2bc，bcb2c2a2，cos A.A為ABC的內(nèi)角，A60，SABCbcsin A4.4(2019屆高三洛陽(yáng)第一次統(tǒng)考)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，且a2c2acbc，則()A. B.C. D.解析：選B由a，b，c成等比數(shù)列得b2ac，則有a2c2b2bc，由余弦定理得cos A，因?yàn)锳為ABC的內(nèi)角，所以A，對(duì)于b2ac，由正弦定理得，sin2Bsin Asin Csin C，由正弦定理得，.5ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，則C()A. B.C. D.解析：選B在ABC中，sin Bsin(AC)，則sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin A(sin Ccos C)0，即sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，cos Asin Csin Asin C0，sin C0，cos Asin A0，即tan A1，所以A.由得，sin C，又0<C<，C.6在ABC中，已知AB，AC，tanBAC3，則BC邊上的高等于()A1 B.C. D2解析：選A在ABC中，tanBAC3，sinBAC，cosBAC，由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcosBAC5229，BC3.SABCABACsinBAC，BC邊上的高為1.7(2018開(kāi)封模擬)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，btan Bbtan A2ctan B，且a5，ABC的面積為2，則bc的值為_(kāi)解析：由正弦定理及btan Bbtan A2ctan B，得sin Bsin B2sin C，即cos Asin Bsin Acos B2sin Ccos A，亦即sin(AB)2sin Ccos A，故sin C2sin Ccos A.因?yàn)閟in C0，所以cos A，所以A.因?yàn)镾ABCbcsin A2，所以bc8.由余弦定理，知a2b2c22bccos A(bc)23bc，可得bc7.答案：78(2018福州模擬)如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀測(cè)到一輛汽車(chē)在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處測(cè)得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30，45，且BAC135.若山高AD100 m，汽車(chē)從B點(diǎn)到C點(diǎn)歷時(shí)14 s，則這輛汽車(chē)的速度約為_(kāi) m/s(精確到0.1)參考數(shù)據(jù)： 1.414, 2.236.解析：因?yàn)樾∶髟贏處測(cè)得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30，45，所以BAD60，CAD45.設(shè)這輛汽車(chē)的速度為v m/s，則BC14v，在RtADB中AB200.在RtADC中，AC100.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，所以(14v)2(100)220022100200cos 135，所以v22.6，所以這輛汽車(chē)的速度約為22.6 m/s.答案：22.69(2018長(zhǎng)春質(zhì)檢)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若其面積Sb2sin A，角A的平分線AD交BC于點(diǎn)D，AD，a，則b_.解析：由面積公式Sbcsin Ab2sin A，可得c2b，即2.由a，并結(jié)合角平分線定理可得，BD，CD，在ABC中，由余弦定理得cos B，在ABD中，cos B，即，化簡(jiǎn)得b21，解得b1.答案：110(2018昆明調(diào)研)已知ABC的面積為3，AC2，BC6，延長(zhǎng)BC至D，使ADC45.(1)求AB的長(zhǎng)；(2)求ACD的面積解：(1)因?yàn)镾ABC62sinACB3，所以sinACB，ACB30或150，又ADC45，所以ACB150，由余弦定理得AB21236226cos 15084，所以AB2.(2)在ACD中，因?yàn)锳CB150，ADC45，所以CAD105，由正弦定理得，即，解得CD3，又ACD18015030，所以SACDACCDsinACD2(3).11(2018沈陽(yáng)質(zhì)檢)在ABC中，已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且2ccos B2ab.(1)求角C的大?。?2)若ab6，ABC的面積為2，求c.解：(1)由正弦定理得2sin Ccos B2sin Asin B，又sin Asin(BC)，2sin Ccos B2sin(BC)sin B，2sin Ccos B2sin Bcos C2cos Bsin Csin B，2sin Bcos Csin B0，sin B0，cos C.又C(0，)，C.(2)SABCabsin C2，ab8，由余弦定理，得c2a2b22abcos Ca2abb2(ab)2ab28，c2.12(2018長(zhǎng)沙模擬)在銳角ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且4sin Acos2Acos(BC)sin 3A.(1)求角A的大小；(2)若b2，求ABC面積的取值范圍解：(1)ABC，cos(BC)cos A3A2AA，sin 3Asin(2AA)sin 2Acos Acos 2Asin A又sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1，將代入已知等式，得2sin 2Acos Acos Asin 2Acos Acos 2Asin A，整理得sin Acos A，即sin，又A，A，即A.(2)由(1)得BC，CB，ABC為銳角三角形，B且B，解得B，在ABC中，由正弦定理得，c1，又B，(0，)，c(1,4)，SABCbcsin Ac，SABC.故ABC面積的取值范圍為.二、強(qiáng)化壓軸考法拉開(kāi)分1(2018成都模擬)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2(sin2Asin2C)(ab)sin B，ABC的外接圓半徑為.則ABC面積的最大值為()A. B.C. D.解析：選D由正弦定理，得2，所以sin A，sin B，sin C，將其代入2(sin2Asin2C)(ab)sin B得，a2b2c2ab，由余弦定理，得cos C，又0<C<，所以C.于是SABCabsin C2sin A2sin Bsin3sin Asin Bcos(AB)cos(AB)cos(AB)cos Ccos(AB).當(dāng)AB時(shí)，SABC取得最大值，最大值為，故選D.2(2019屆高三南寧二中、柳州高中聯(lián)考)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bc1，b2ccos A0，則當(dāng)角B取得最大值時(shí)，ABC的周長(zhǎng)為()A2 B2C3 D3解析：選A法一：由題意可得，sin B2sin Ccos A0，即sin(AC)2sin Ccos A0，得sin Acos C3sin Ccos A，即tan A3tan C.又cos A<0，所以A為鈍角，于是tan C>0.從而tan Btan(AC)，由基本不等式，得3tan C2 2，當(dāng)且僅當(dāng)tan C時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)角B取得最大值，且tan Btan C，tan A，即bc，A120，又bc1，所以bc1，a，故ABC的周長(zhǎng)為2.法二：由已知b2ccos A0，得b2c0，整理得2b2a2c2.由余弦定理，得cos B，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)角B取得最大值，將ac代入2b2a2c2可得bc.又bc1，所以bc1，a，故ABC的周長(zhǎng)為2.3(2019屆高三惠州調(diào)研)已知a，b，c是ABC中角A，B，C的對(duì)邊，a4，b(4,6)，sin 2Asin C，則c的取值范圍為_(kāi)解析：在ABC中，由正弦定理得，即，c8cos A，由余弦定理得16b2c22bccos A，16b264cos2A16bcos2A，又b4，cos2A，c264cos2A64164B.b(4,6)，32<c2<40，4<c<2.答案：(4，2)4(2018濰坊模擬)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，外接圓的半徑為1，且，則ABC面積的最大值為_(kāi)解析：因?yàn)椋?2cb)，由正弦定理得sin Bsin Acos B(2sin Csin B)sin Bcos A，又sin B0，所以sin Acos B(2sin Csin B)cos A，所以sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos A，sin(AB)2sin Ccos A，即sin C2sin Ccos A，又sin C0，所以cos A，sin A.設(shè)外接圓的半徑為r，則r1，由余弦定理得a2b2c22bccos Ab2c2bc2bcbcbc.當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)閍2rsin A，所以bc3，所以SABCbcsin Abc.答案：5(2018陜西質(zhì)檢)已知ABC 的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且(a2b2c2)(acos Bbcos A)abc，若ab2，則c的取值范圍為_(kāi)解析：由sin Acos Bsin Bcos Asin(AB)sin C及正弦定理，可知acos Bbcos Ac，則由(a2b2c2)(acos Bbcos A)abc，得a2b2c2ab，由余弦定理可得cos C，則C，BA，由正弦定理，得，又ab2，所以2，即c.因?yàn)锳，所以A，所以sin，則c1,2)答案：1,2)6(2018南昌模擬)如圖，平面上有四個(gè)點(diǎn)A，B，P，Q，其中A，B為定點(diǎn)，且AB，P，Q為動(dòng)點(diǎn)，滿足關(guān)系A(chǔ)PPQQB1，若APB和PQB的面積分別為S，T，則S2T2的最大值為_(kāi)解析：設(shè)PB2x，則12x2，x1，T22x2(1x2)，cosPAB，sin2PAB12，S22(1x2)2，S2T2(1x2)2x2(1x2)，令1x2t，則x21t,0t，S2T2t2(1t)t2t2t，其對(duì)稱軸方程為t，且，當(dāng)t時(shí)，S2T2取得最大值，此時(shí)S2T22.答案：三、加練大題考法少失分1.(2019屆高三洛陽(yáng)聯(lián)考)如圖，在ABC中，點(diǎn)P在BC邊上，PAC60，PC2，APAC4.(1)求ACP；(2)若APB的面積是，求sinBAP.解：(1)在APC中，PAC60，PC2，APAC4，由余弦定理得PC2AP2AC22APACcosPAC，所以22AP2(4AP)22AP(4AP)cos 60，整理得AP24AP40，解得AP2，所以AC2，所以APC是等邊三角形，所以ACP60.(2)由于APB是APC的外角，所以APB120，因?yàn)锳PB的面積是，所以APPBsinAPB，所以PB3.在APB中，由余弦定理得AB2AP2PB22APPBcosAPB2232223cos 12019，所以AB.在APB中，由正弦定理得，所以sinBAP.2(2018開(kāi)封模擬)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為S，已知3a24S3b23c2.(1)求A；(2)若a3，求ABC周長(zhǎng)的取值范圍解：(1)Sbcsin A，由已知得，b2c2a2Sbcsin A，cos Asin A，tan A，又A(0，)，A.(2)在ABC中，由正弦定理得，2，b2sin B，c2sin C2sin，記ABC周長(zhǎng)為y，yabc2sin B2sin32sin B23sin B3cos B32sin3，B，sin，y(6,32，ABC周長(zhǎng)的取值范圍是(6,323. (2018淄博模擬)在ABC中，BAC，D為邊BC上一點(diǎn)，DAAB，且AD.(1)若AC2，求BD；(2)求的取值范圍解：(1)因?yàn)锽AC，BAD，所以CAD，在DAC中，由余弦定理知CD2AC2AD22ACADcos，得CD，從而cosADC.所以cosADB.在RtDAB中，BD，所以所求BD的長(zhǎng)為.(2)設(shè)ADB，則ACD，在RtDAB中，cos ，在DAC中，由正弦定理知2sin.于是cos 2sinsin .由題設(shè)知，故sin 1，因此所求的取值范圍為.4設(shè)函數(shù)f (x)sin x(cos xsin x).(1)求函數(shù)f (x)的最大值，并求此時(shí)的x值；(2)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若f (A)1，且2bsin B2csin Cbca，求a的值解：(1)由題意可得f (x)sin xcos xsin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin.當(dāng)2x2k(kZ)，即xk(kZ)時(shí)，函數(shù)f (x)取得最大值為1.(2)A(0，)，2A.又f (A)sin1，2A，A.根據(jù)正弦定理，得sin B，sin C.2bsin B2csin Cbca，2b2cbca，(b2c2a2)abc，2bccos abc，a.