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課時25 橢圓
模擬訓(xùn)練(分值:60分 建議用時:30分鐘)
1. 設(shè)P是橢圓+=1上一點,M、N分別是兩圓:(x+2)2+y2=1和(x-2)2+y2=1上的點,則|PM|+|PN|的最小值、最大值分別為( )
A.4,8 B.2,6
C.6,8 D.8,12
【答案】A
【解析】設(shè)橢圓的左,右焦點分別為F1,F(xiàn)2,兩圓的半徑為R,則由題意可知|PM|+|PN|的最大值為|PF1|+|PF2|+2R,最小值為|PF1|+|PF2|-2R,又因為|PF1|+|PF2|=2a=6,R=1,所以|PM|+|PN|的最大值為8,最小值為4.故選A.
2.經(jīng)過橢圓+=1的右焦點任意作弦AB,過A作橢圓右準(zhǔn)線的垂線AM,垂足為M,則直線BM必經(jīng)過點( )
A.(2,0) B.
C.(3,0) D.
【答案】B
3.已知F1、F2分別為橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點,過F1且垂直于x軸的直線交橢圓C于A,B兩點,若△ABF2為鈍角三角形,則橢圓C的離心率e的取值范圍為( )
A.(0,-1) B.(0,-1)
C.(-1,1) D.(-1,1)
【答案】A
【解析】由△ABF2為鈍角三角形,得AF1>F1F2,∴>2c,化簡得c2+2ac-a2<0,∴e2+2e-1<0,又0
b>0)的離心率為e=,右焦點為F(c,0),方程ax2+bx-c=0的兩個實根分別為x1和x2,則點P(x1,x2)( )
A.必在圓x2+y2=2內(nèi)
B.必在圓x2+y2=2上
C.必在圓x2+y2=2外
D.以上三種情形都有可能
【答案】A
5.橢圓+=1(a>b>0)的中心、右焦點、右頂點及右準(zhǔn)線與x軸的交點依次為O、F、G、H,則的最大值為( )
A. B.
C. D.不確定
【答案】C
【解析】由題意得==-2+=-e2+e=-2+≤,因此選C.
6.方程為+=1(a>b>0)的橢圓的左頂點為A,左、右焦點分別為F1、F2,D是它短軸上的一個端點,若3=+2,則該橢圓的離心率為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)點D(0,b),則=(-c,-b),=(-a,-b),=(c,-b),由3=+2得-3c=-a+2c,即a=5c,故e=.
7.已知橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(-c,0)、F2(c,0),若橢圓上存在點P使=,則該橢圓的離心率的取值范圍為________.
【答案】(-1,1)
【規(guī)律總結(jié)】(1)橢圓上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形,稱為橢圓的焦點三角形,與焦點三角形有關(guān)的
計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a,得到a、c的關(guān)系.
(2)對△F1PF2的處理方法
8.已知A、B為橢圓C:+=1的長軸的兩個端點,P是橢圓C上的動點,且∠APB的最大值是,則實數(shù)m的值是________.
【答案】
【解析】由橢圓知識知,當(dāng)點P位于短軸的端點時,∠APB取得最大值,根據(jù)題意則有tan=?m=.
9.若F1、F2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點,P是該橢圓上的一個動點,且|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=2.
(1)求出這個橢圓的方程;
(2)是否存在過定點N(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B,使⊥(其中O為坐標(biāo)原點)?若存在,求出直線l的斜率k;若不存在,說明理由.
【失分點分析】(1)直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元后 得到一元二次方程,然后通過判別式Δ來判斷直線和橢圓相交、相切或相離.
(2)消元后得到的一元二次方程的根是直線和橢圓交點的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo),通常是寫成兩根之和與兩根之積的形式,這是進一步解題的基礎(chǔ).
(3)若已知圓錐曲線的弦的中點坐標(biāo),可設(shè)出弦的端點坐標(biāo),代入方程,用點差法求弦的斜率.注意求出方程后,通常要檢驗.
10. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓+=1的左、右頂點為A、B,右焦點為F.設(shè)過點T(t,m)的直線TA、TB與此橢圓分別交于點M(x1,y1)、N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2<0.
(1)設(shè)動點P滿足PF2-PB2=4,求點P的軌跡;
(2)設(shè)x1=2,x2=,求點T的坐標(biāo).
[新題訓(xùn)練] (分值:10分 建議用時:10分鐘)
11.(5分)橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì):從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線,經(jīng)橢圓反射后,反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.今有一個水平放置的橢圓形臺球盤,點A、B是它的焦點,長軸長為2a,焦距為2c,靜放在點A的小球(小球的半徑忽略不計)從點A沿直線出發(fā),經(jīng)橢圓壁反射后第一次回到點A時,小球經(jīng)過的路程是________.
【答案】4a或2(a-c)或2(a+c)
【解析】設(shè)靠近A的長軸端點為M,另一長軸的端點為N.若小球沿AM方向運動,則路程應(yīng)為2(a-c);若小球沿AN方向運動,則路程為2(a+c);若小球不沿AM與AN方向運動,則路程應(yīng)為4a.
12.(5分)定義:離心率e=的橢圓為“黃金橢圓”,已知橢圓E:+=1(a>b>0)的一個焦點為F(c,0)(c>0),P為橢圓E上的任意一點,若a,b,c不是等比數(shù)列,則( )
A.E是“黃金橢圓”
B. E一定不是“黃金橢圓”
C. E不一定是“黃金橢圓”
D. 可能不是“黃金橢圓”
【答案】B
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