2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 三 排序不等式優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修4-5.doc
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三 排序不等式 [課時(shí)作業(yè)] [A組 基礎(chǔ)鞏固] 1.若A=x+x+…+x,B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1其中x1x2,…,xn都是正數(shù),則A與B的大小關(guān)系為( ) A.A>B B.A>,>>,>>,…,>>>0, 所以A>B>C>0.所以A3>ABC. 由題意知3n-2=61,所以n=21. 又因?yàn)锳BC=3n+1=64.所以A>4. 答案:C 5.已知a1=2,a2=7,a3=8,a4=9,a5=12,b1=3,b2=4,b3=6,b4=10,b5=11,將bi(i=1,2,3,4,5)重新排列記為c1,c2,c3,c4,c5,則a1c1+a2c2+…+a5c5的最大值是( ) A.324 B.314 C.304 D.212 解析:兩組數(shù)據(jù)的順序和為a1b1+a2b2+…+a5b5=23+74+86+910+1211=304. 而a1c1+a2c2+…+a5c5為這兩組數(shù)的亂序和, ∴由排序不等式可知,a1c1+a2c2+…+a5c5≤304, 當(dāng)且僅當(dāng)ci=bi(i=1,2,3,4,5)時(shí),a1c1+a2c2+…+a5c5有最大值,最大值為304. 答案:C 6.已知兩組數(shù)1,2,3和4,5,6,若c1,c2,c3是4,5,6的一個(gè)排列,則c1+2c2+3c3的最大值是________,最小值是________. 解析:由反序和≤亂序和≤順序和知,順序和最大,反序和最小,故最大值為32,最小值為28. 答案:32 28 7.兒子過(guò)生日要老爸買價(jià)格不同的禮品1件、2件及3件,現(xiàn)在選擇商店中單價(jià)為13元、20元和10元的禮品,至少要花________錢. 解析:設(shè)a1=1(件),a2=2(件),a3=3(件),b1=10(元),b2=13(元),b3=20(元),則由排序原理反序和最小知至少要花a1b3+a2b2+a3b1=120+213+310=76(元). 答案:76元 8.在Rt△ABC中,∠C為直角,A,B所對(duì)的邊分別為a,b, 則aA+bB與(a+b)的大小關(guān)系為________. 解析:不妨設(shè)a≥b>0, 則A≥B>0,由排序不等式 ?2(aA+bB)≥a(A+B)+b(A+B)=(a+b) ∴aA+bB≥(a+b). 答案:aA+bB≥(a+b) 9.設(shè)a,b,c都是正實(shí)數(shù),求證:++≤. 證明:設(shè)a≥b≥c>0, 則≥≥,則≥≥. 由不等式的性質(zhì),知a5≥b5≥c5. 根據(jù)排序不等式,知 ++≥++=++. 又由不等式的性質(zhì),知a2≥b2≥c2,≥≥. 由排序不等式,得 ++≥++=++. 由不等式的傳遞性,知 ++≤++=. ∴原不等式成立. 10.設(shè)00, 則0<≤≤,00,a+b+c>0, 于是≥abc,即P≥Q. 答案:B 2.已知a,b,c∈R+,則a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正負(fù)情況是( ) A.大于零 B.大于等于零 C.小于零 D.小于等于零 解析:不妨設(shè)a≥b≥c>0,所以a3≥b3≥c3,根據(jù)排序原理, 得a3a+b3b+c3c≥a3b+b3c+c3a. 又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab. ∴a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab. 即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0. 答案:B 3.設(shè)a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一個(gè)排序,則a1+2a2+3a3+4a4的取值范圍是________. 解析:a1+2a2+3a3+4a4的最大值為12+22+32+42=30. 最小值為14+23+32+41=20. ∴a1+2a2+3a3+4a4的取值范圍是[20,30]. 答案:[20,30] 4.已知:a+b+c=1,a、b、c為正數(shù),則++的最小值是________. 解析:不妨設(shè)a≥b≥c, ∴≥≥. ∴++≥++ ① ++≥++ ② ①+②得:++≥, ∴++≥. 答案: 5.設(shè)a1,a2,a3,a4∈R+且a1+a2+a3+a4=6, 求+++的最小值. 解析:不妨設(shè)a1≥a2≥a3≥a4>0,則≥≥≥,a≥a≥a≥a, ∴+++是數(shù)組“,,,”和“a,a,a,a”的亂序和,而它們的反序和為a+a+a+a=a1+a2+a3+a4=6. ∴由排序不等式知當(dāng)a1=a2=a3=a4=時(shí),+++有最小值, 最小值為6. 6.設(shè)a,b,c為某一個(gè)三角形的三條邊,a≥b≥c,求證: (1)c(a+b-c)≥b(c+a-b)≥a(b+c-a); (2)a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc. 證明:(1)用比較法: c(a+b-c)-b(c+a-b) =ac+bc-c2-bc-ab+b2 =b2-c2+ac-ab =(b+c)(b-c)-a(b-c) =(b+c-a)(b-c). 因?yàn)閎≥c,b+c-a>0, 于是c(a+b-c)-b(c+a-b)≥0, 即c(a+b-c)≥b(c+a-b). ① 同理可證b(c+a-b)≥a(b+c-a). ② 綜合①②,證畢. (2)由題設(shè)及(1)知, a≥b≥c,a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c), 于是由排序不等式:反序和≤亂序和,得 a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤ab(b+c-a)+bc(c+a-b)+ca(a+b-c) =3abc+ab(b-a)+bc(c-b)+ca(a-c). ① 再一次由反序和≤亂序和,得 a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤ac(b+c-a)+ba(c+a-b)+cb(a+b-c) =3abc+ac(c-a)+ab(a-b)+bc(b-c). ② 將①和②相加再除以2,得 a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.
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