誤差理論與數(shù)據(jù)處理第五章[共57頁]

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1、 1BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 1、最小二乘法原理是一種在多學(xué)科領(lǐng)域中獲得廣泛應(yīng)用的數(shù)據(jù)處理方法。該方法可解決2、最小二乘法按處理方法不同分第五章 線性參數(shù)的最小二乘法處理回歸分析擬合經(jīng)驗(yàn)公式組合測量數(shù)據(jù)處理參數(shù)最可信賴估計矩陣最小二乘法法）經(jīng)典最小二乘法（代數(shù) 2BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器5-1 最小二乘法原理一、最小二乘法基本思路1、引例利用最小二乘法求標(biāo)準(zhǔn)米尺溫度膨脹系數(shù)的例子米尺長度 的米尺長度 米尺溫度膨脹系數(shù)測定方法：在不同溫度 條件下測出一系列值 ，

2、在據(jù)以求 )1(20ttLL0L,itiL,Ct00 3BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器令 ，于是或式中：L,a,b,c為可測量和經(jīng)簡單計算即可知的量(已知量)x，y為待求量2、設(shè)L和t各測取幾個值，當(dāng) 已知可得相應(yīng)的條件方程組(或稱測量方程組)yx,)1 (20yttxLL),(cbayxfLcbyaxL0200,LctLbtLa0L 4BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 3、方程組特點(diǎn)分析 方程組有2個(x,y)未知數(shù)(一般可為m個)a) n=m，方程有唯一解； b) nm

3、，則任選其中m個方程式，即可求m個未知量。),(),(),(22221111nnnncbayxfLcbayxfLcbayxfL 5BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 分析：對c)種情況，若取值絕對精確(不論測多少組，結(jié)果不變)，則所求解也將唯一，即代入其余n-m方程式中均可滿足。 然而,由于測量誤差存在，把解代入n-m個式中，并不滿足 只是當(dāng)nm的情況下，可以找出一組最佳或最恰當(dāng)解。將其代入個方程式后，雖不能使但卻是與零相差很微小的 v 值(可稱殘差)。從方程組整體上看，這一組解可以是誤差組最小的唯一解。0),(cbayxfL0),(c

4、bayxfL條件 6BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器4) 考慮測量誤差后： 直接測量值的估計量 測量數(shù)據(jù)),(111111111cbayxflLlV),(222222222cbayxflLlV),(nnnnnnnnncbayxflLlVnLL ,.1nll ,.,1 7BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 如得到一組最佳解，條件為：方程式殘余誤差的平方和為最小。即 即是說，另取一組解， 其 這就是最小二乘法思想。2. 基本表示方法： 設(shè)直接量 的估計量分別為有：最小2iV22ii

5、VVnY,.,Y ,Y21nyyy,.,21 8BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 測量數(shù)據(jù)的殘余誤差為：111ylV222ylVnnnylV),.,(),.,(),.,(2121222111tnnttxxxfyxxxfyxxxfy 9BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 即： 誤差方程，或殘余誤差方程式（簡稱殘差方程式）根據(jù)最大或然原理可推出一組最佳取值的條件為： 最小二乘法原理(保證概率密度P最大),.,(21111txxxflV),.,(21222txxxflV),.,(21

6、tnnnxxxflV最大同時出現(xiàn)概率為nip.ppppV321最小2iV 10BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 說明：1) 對于不等精度測量時： 將不等精度問題化為等精度時，引入權(quán) 有： 則上式為2) 應(yīng)用最小二乘法時，誤差數(shù)據(jù)必須是a) 無偏的，即無系統(tǒng)誤差 消除系統(tǒng)b) 相互獨(dú)立的，即服從正態(tài)分布 前提條件最小22ii/Vip22iip最小2iivp 11BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 二、最小二乘法的基本運(yùn)算(殘差的代數(shù)與矩陣表示法) 最小二乘法用于1、線性函數(shù)的最小

7、二乘法(介紹等精度)-代數(shù)法 線性參數(shù)測量方法的一般形式：線性形式借助級數(shù)展開近似化為非線性參數(shù)常用，也是最基本內(nèi)容線性參數(shù)ttXaXaXaY12121111.ttXaXaXaY22221212.tntnnnXaXaXaY.2211 12BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 相應(yīng)估計量為：對應(yīng)誤差方程為：直接測量未知量直接測量量，iiXYttxaxaxay12121111.ttxaxaxay22221212.tntnnnxaxaxay.2211).(121211111ttxaxaxalV).(222212112ttxaxaxalV).(2

8、2111tntnnnxaxaxalV 13BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器2、借助矩陣形式求解或表示清晰(矩陣形式) 設(shè)列向量nlll.21Ltxxx.21Xnvvv.21Vtntn 階矩陣( )為 14BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 式中各矩陣元素： 為 n 個直接測量結(jié)果(已獲測量數(shù)據(jù)) 為 t 個待求的被測量的估計量 為 n 個直接測量結(jié)果的殘余誤差 為 n 個誤差方程的nt個系數(shù)。ntnnttaaaaaaaaa.212222111211Anlll,.,21txxx,

9、.,21nVVV,.,21ntaaa,.,1211 15BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器則線性參數(shù)的誤差方程可表示為：即：等精度測量時，殘余誤差平方和最小這一條件的矩陣形式為：或：tntnnttnnxxxaaaaaaaaalllVVV.212122221112112121XALV最小VVT最小)()XALXA(LT 16BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 3、不等精度的線性函數(shù)最小二乘法： 式中 P 為nn 階權(quán)矩陣這里： 表示測量數(shù)據(jù) 的權(quán)最小PVVT最小XALPXALT22

10、22221221/0000.0000/00.0/.000.000.00.0nnpppp22ii/pil 17BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 測量數(shù)據(jù) 的方差 等精度測量標(biāo)準(zhǔn)方差說明： 線性參數(shù)不等精度測量可化為等精度形式方法：將誤差方法化為等權(quán)的形式。設(shè)的權(quán)為 ，將不等精度誤差方程兩端同乘以相應(yīng)權(quán)的平方根 2iil2nlll,.,21nppp,.,21 18BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器令：i=1,2,n則誤差方程化為等精度形式上式中已具有相同權(quán)，與等精度誤差方程形式一致

11、，即用等精度形式處理化成等精度問題求解。設(shè)n1階矩陣2/12/1222/1112/12/12/122/1212/112/12/1,.,.,).(iititiiiiiiiiiiiitiiiiiiiiiipaapaapaapllpVVxpapaxpaplpV)(2211titiiiixaxaxalv 19BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 不等精度誤差方程的矩陣為： 此時最小二乘法條件用矩陣表達(dá)為： 最小 或 最小 21*nlllL21*nvvvV212222111211*ntnnttaaaaaaaaaAXALV* XALXALT*VVT*

12、 20BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 5-2正規(guī)方程 nt 時，一般方程難于求解 t 個參數(shù)，最小二乘法則可將誤差方程轉(zhuǎn)化為有確定解的代數(shù)方程組(方程組數(shù)等于 t )。該具有確定解的代數(shù)方程組稱為最小二乘法估計的正規(guī)方程或法方程。一、正規(guī)方程確定參數(shù)步驟1) 根據(jù)具體問題列誤差方程2) 按最小二乘法，利用求極值方法化為正規(guī)方程3) 求正規(guī)方程及待求估計量，最后給出精度估計 21BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 1、等精度測量線性參數(shù)最小二乘法處理正規(guī)方程 線性參數(shù)的差分方程

13、為： 滿足最小二乘條件即為： 為求估計量 ，可用求極值方法滿足上式條件。為此：對 求導(dǎo)并令其為零，有nixaxaxalvtitiiii, 2 , 12211最小222212nvvvvtxxx,21 2v 22BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器令： 0222221112222121121121211111112tntnnnnttttxaxaxalaxaxaxalaxaxaxalaxvnnntntttnnnnlalalalaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa12211111122111112122211211211121211

14、111111x 23BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器則上式可簡寫為： 0202022211222221122221221111112tttttttttttxaaxaaxaalaxvxaaxaaxaalaxvxaaxaaxaalaxv 24BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 用i 來表示為：上式二階偏導(dǎo)數(shù)： 判定上式的極值為極小值，滿足最小二乘條件。因而,用上式得到估計量即為所求。為方便可寫成t個方程組： tjxaaxaaxaalaxvttjjjji, 2 , 10222112

15、02222jjiaaxvtjlaxaaxaaxaajttjjj, 2 , 12211 25BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器等精度組量的線性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)方程說明：1、方程為 t 元線性方程組2、當(dāng)系數(shù)行列式不為零時，有唯一解，由此得。3、正規(guī)方程的特點(diǎn)：a) 沿主對角線分布的平方項(xiàng)系數(shù)都為正數(shù)b) 以主對角線為對稱線，對稱分布的各系數(shù)彼此兩兩相等。即 jjaaaa11ix 26BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 4 用矩陣表示便于程序?qū)崿F(xiàn) 將前述線性代數(shù)的正規(guī)方程表示

16、成矩陣形式，先將其改寫成如下形式： tjvavavaxaxaxalaxaxaxalaxaxaxalaxaaxaaxaaxaaxaaxaaxaaxaaxaalalalannjjjtntnnnnjttjttjtntnjttjttjnnjjjnnjjjnnjjj, 2 , 10221122112222121221212111112211222222212111121211112211 27BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 可將此正規(guī)方程組寫成： 即： 等精度測量情況下的矩陣形式表示的正規(guī)方程又 代入后： 或令 ，則正規(guī)方程形式為 00022

17、1122221121221111nntttnnnnvavavavavavavavava00021212221212111nntttnnvvvaaaaaaaaa0VATXALV0XAALATTLAXAATTLAXCTCAAT 28BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 分析： 若 A 的秩等于 t ，則矩陣 C 是滿秩的，即 ，那么 必定有唯一解 的數(shù)學(xué)期望為： 可見 是X的無偏估計。例：為研究20mm軸的幾何形狀誤差，在40mm長度內(nèi)選5個斷面測得直徑偏差d，試確定長度方向形狀誤差的規(guī)律。 0CXLACXT1X XAXACYACLEACLA

18、CEXETTTT1111X2102030403581518)(mmLi)( md 29BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 解：1) 可先將( )以坐標(biāo)形式畫在圖上，直觀上是一條直線。 dLi 15200 md/5 10010203040Li/mm 30BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器2)設(shè)線性規(guī)律為：或具體方程為： x+2y-3=0 x+10y-5=0 x+20y-8=0 x+30y-15=0 x+40y-18=0其中 n=5,t=2正規(guī)方程為：yLxdi0)(yLxdi 31

19、BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器各元素為：則正規(guī)方程為：layaaxaalayaaxaa2221212111 1386184015308205103249181151815131300440302010210240130120110121511111552222112255122111112222252522222121222525122211211212222251512121111111lalalalalalalalaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 32BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLO

20、GY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器5x+102y=49102x+3004y=1386解之：x=1.281.3 y=0.4180.42d=(1.3+0.42Li)m 1) 用矩陣方法求解：181585340130120110121LA 33BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器則： 300410210254013012011012140302010211111AACT51021023004461611222112111AAAACC 34BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器418028113

21、86495102102304461611386491815853403020102111111.LACXLATT 35BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器說明：1) 待定參數(shù)多的情況下，矩陣求解可通過程序較方便。2) 用代數(shù)法求解，為避免差錯和醒目可列表計算。3) 關(guān)于不等精度及非線性最小二乘法不介紹。二、最小二乘原理與算術(shù)平均值原理的關(guān)系 為確定一個量X的估計值 x，對其進(jìn)行n次直接測量，得n個數(shù)據(jù)為： ，相應(yīng)權(quán)為：誤差方程為： nppp,21nlll,21 36BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)

22、大學(xué)測控技術(shù)與儀器 最小二乘法處理的正規(guī)方程為：由誤差方程知： a=1 xlvxlvxlvnn2211lpaxapaxapaxaparttrrr2211palxpaa plpalppaa 37BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器所以： 此即為不等精度計算加權(quán)算術(shù)平均值原理結(jié)果。2、等精度時：則：可見：最小二乘法與算術(shù)平均值原理是一致的，算術(shù) 平均值原理可以視為最小二乘原理的特例。 plxp nnnppplplplppplx212211ppp 21innlnp)l.ll (px121 38BEIJING UNIVERSITY OF TECH

23、NOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器5-3 精度估計 最小二乘法原理處理的結(jié)果解決： 1) 待求估計量；2) 待求估計量的精度一、測量數(shù)據(jù)的精度估計等精度設(shè)對t個未知量的n個線性參數(shù)方程組進(jìn)行n次獨(dú)立的等精度測量 ，獲得了n個測量數(shù)據(jù)l1,l2,.ln。 ，相應(yīng)估計量用表示。 可以證明 ： 是自由度(nt)的 變量 相應(yīng)有：nv.,vv21，相應(yīng)殘差為，222v2 39BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 可?。核?，測量數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的估計量為：通常亦可寫成： 說明：t =1時，即前述Bessel公式2222222ntnnvEnvEtn

24、vEtnv22tnv2tnv2 40BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 例：求測直徑偏差 的標(biāo)準(zhǔn)偏差 上例中 y=0.42, x=1.3 代入誤差方程中即 v1=3-(1.3+0.422)=0.86 v12=0.74 v2=5-(1.3+0.4210)=-0.5 v22=0.25 v3=8-(1.3+0.4220)=-1.7 v23=2.89diiLd42. 03 . 1)0.421.3(iiiLdv 41BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器v4=15-(1.3+0.4230)=-

25、1.1 v24=1.21 v5=18-(1.3+0.4240)=-0.1 v25=0.01 vi2=5.10說明：對于非等精度測量時 mtnv3 . 12510. 52tnpv22 42BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 習(xí)慣上可寫成二、最小二乘估計量的精度估計設(shè)有估計量，x1,x2,.xt，其精度取決于： 測量數(shù)據(jù)Li的精度 線性方程組所給出的函數(shù)關(guān)系 tnpv2tnpv22 43BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 對于給定的線性方程組，若已知Li的精度，即可求最小二乘估計量的

26、精度。推導(dǎo)繁瑣，以下只給出具體求法精度表示為：與線性方程組有關(guān)系數(shù) 測量結(jié)果精度最小二乘法估計量之精度 ttxtiixixxdddd222111iidxi 44BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器的確定方法： 最小二乘法的正規(guī)方程可寫成：求dii時，將上述方程組做如下變動：以dii代替xi，如d11x1iidlaxaaxaaxaalaxaaxaaxaalaxaaxaaxaatttttttttt22112222211211221111 45BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器令ajL0

27、 (ji，aiL=1)第i式的右端由0改為1，其余不變；如求d11 為：由此可求出d11001221112222111212211111tttttttttxaaxaadaaxaaxaadaaxaaxaadaa 46BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 同樣：說明： 對于不等精度則用(pv2)最小,得到正規(guī)方程對應(yīng) 求解dii 亦可從矩陣條件求得，見書中介紹0100221122112222211211221111tttiiitttttiiiiiiittiiittiiixaadaaxaaxaaxaadaaxaaxaaxaadaaxaaxaax

28、aadaaxaaxaa 47BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 例：求上例待定參數(shù) x,y 的標(biāo)準(zhǔn)偏差解：正規(guī)方程可寫為：13863004y102x49122y5x 48BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器測量結(jié)果精度1.3um只須定d11，d22即可由：651. 0461630043004102102530040102111 d03004102110251111ydyd 49BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 由：故估計量

29、x,y的精度分別為13004d102x0102d5x2222001. 04616543004102102511020522 dmdmdyx03. 003. 03 . 1001. 03 . 10 . 18 . 03 . 1651. 03 . 12211 50BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 5-4 組合測量的最小二乘法處理一、組合測量定義： 組合測量是通過直接測量(或間接)待測參數(shù)的各種組合量。然后對相應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，從而求得待測參數(shù)的估計量，并給出其精度估計。 組合測量數(shù)據(jù)用正規(guī)方程組進(jìn)行是最小二乘法在精密測試中的一種主要應(yīng)用。二、做

30、法 將t個(t1)測值，按n 個(nt)不同的組合形式進(jìn)行測量，得出幾個測量方程，再據(jù)最小二乘法求解測量值。 51BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 三、特點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：數(shù)據(jù)處理用到了最小二乘法，可以求得的結(jié)果，是在該測量條件下的最佳值，即測量精度較高。一般組合形式越多(n越大)，測量精度亦越高。缺點(diǎn)：操作煩，工用量(包括處理)較大。四、應(yīng)用常用于紋尺、度盤、多面棱體、砝碼標(biāo)準(zhǔn)件檢測高精度齒輪、絲杠高精度零件高精密零件的測量中 52BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器五、舉例檢定刻線A、

31、B、C、D間的距離x1，x2，x3 解： 直接測量刻線間距的組合形式，由上圖表示 數(shù)據(jù)為： 相應(yīng)的誤差方程為：ABCDx1x2x3032. 3,981. 1,016. 2020. 1,985. 0,015. 1654321llllll 53BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 可寫出正規(guī)方程)()()(3216632552144333222111xxxlvxxlvxxlvxlvxlvxlvlaxaaxaaxaalaxaaxaaxaalaxaaxaaxaa333322311323322221121331221111 54BEIJING UN

32、IVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 解：x1=1.028 x2=0.983 x3=1.013此即為刻線間距AB, BC, CD的最佳估計值0336320148242063623321321321.xxx.xxx.xxx具體為 55BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 測量值結(jié)果精度mmtnv013. 036000536. 02008. 0)(015. 0)(005. 0)(007. 0013. 1020. 1002. 0983. 0985. 0013. 0028. 1015. 132166325521

33、44333222111xxxlvxxlvxxlvxlvxlvxlv 56BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器 估計量的精度3d11+2x2+x3=12d11+4x2+2x3=0d11+2x2+3x3=0 同理：d22=0.5 d33=0.5估計量的精度的5016832124212332024012111.d329009. 05 . 0013. 0111xxxmmmd 57BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 北京工業(yè)大學(xué)測控技術(shù)與儀器說明：1、書中以矩形2陣式求解，與代數(shù)方程一樣2、計算中注意測量結(jié)果Li的精度及各估計量(參數(shù))精度的關(guān)系3、dii求解方法作業(yè)：P116，5-1，5-2