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1、
微專題94 極坐標與參數(shù)方程
極坐標與參數(shù)方程在高考中常以填空或選擇的形式出現(xiàn),在知識上結(jié)合解析幾何,考查學(xué)生曲線方程的轉(zhuǎn)化能力,以及解析幾何的初步技能。題目難度不大,但需要學(xué)生能夠快速熟練的解決問題
一、基礎(chǔ)知識:
(一)極坐標:
1、極坐標系的建立:以平面上一點為中心(作為極點),由此點引出一條射線,稱為極軸,這樣就建立了一個極坐標系
2、點坐標的刻畫:用一組有序?qū)崝?shù)對確定平面上點的位置,其中代表該點到極點的距離,而表示極軸繞極點逆時針旋轉(zhuǎn)至過該點時轉(zhuǎn)過的角度,通常:
3、直角坐標系與極坐標系坐標的互化:如果將極坐標系的原點與直角坐標系的原點重合,極軸與軸重合,則
2、同一個點可具備極坐標和直角坐標,那么兩種坐標間的轉(zhuǎn)化公式為:,由點組成的直角坐標方程與極坐標方程也可按照此法則進行轉(zhuǎn)化,例如:極坐標方程(在轉(zhuǎn)化成時要設(shè)法構(gòu)造 ,然后進行整體代換即可)
(二)參數(shù)方程:
1、如果曲線中的變量均可以寫成關(guān)于參數(shù)的函數(shù),那么就稱為該曲線的參數(shù)方程,其中稱為參數(shù)
2、參數(shù)方程與一般方程的轉(zhuǎn)化:消參法
(1)代入消參:
(2)整體消參:,由可得:
(3)平方消參:利用消去參數(shù)
例如:
3、常見圖形的參數(shù)方程:
(1)圓:的參數(shù)方程為:,其中為參數(shù),其幾何含義為該圓的圓心角
(2)橢圓:的參數(shù)方程為,其中為參數(shù),其幾何含義為橢圓的離心角
(3
3、)雙曲線:的參數(shù)方程為,其中為參數(shù),其幾何含義為雙曲線的離心角
(4)拋物線:的參數(shù)方程為,其中為參數(shù)
(5)直線:過,傾斜角為的直線參數(shù)方程為,其中代表該點與的距離
注:對于極坐標與參數(shù)方程等問題,通常的處理手段是將方程均轉(zhuǎn)化為直角坐標系下的一般方程,然后利用傳統(tǒng)的解析幾何知識求解
二、典型例題:
例1:已知直線參數(shù)方程為,圓的參數(shù)方程為,則圓心到直線的距離為____________
思路:將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程:
所以圓心為,到直線的距離為:
答案:
例2:以直角坐標系的原點為極點,軸非負半軸為極軸,建立極坐標系,在兩種坐標系中取相同的單位長度,點的極坐標為,曲線
4、的參數(shù)方程為,則曲線上的點到點距離的最大值為___________
思路:,故曲線上距離最遠的距離為到圓心的距離加上半徑,故
答案:
例3:已知在平面直角坐標系中圓的參數(shù)方程為:,以為極軸建立極坐標系,直線極坐標方程為,則圓截直線所得弦長為__________
思路:圓的方程為:,對于直線方程,無法直接替換為,需構(gòu)造再進行轉(zhuǎn)換:
再求出弦長即可:
答案:
例4:已知兩曲線參數(shù)方程分別為和,它們的交點坐標為_____________
思路:曲線方程為,
聯(lián)立方程可解得:或(舍)
由可得: 所以,坐標為
答案:
例5:在極坐標系中,直線與曲線相交于兩點,
5、且,則實數(shù)的值為_____________
思路:先將直線與曲線轉(zhuǎn)化為直角坐標方程:,曲線,所以問題轉(zhuǎn)化為直線與圓相交于,且,利用圓與直線關(guān)系可求得圓心到直線距離即,解得或
答案:或
例6:以直角坐標系的原點為極點,軸的正半軸為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位,已知直線的極坐標方程為,它與曲線(為參數(shù))相交于兩點,則_________
思路:先將兩個方程轉(zhuǎn)化為直角坐標系下的普通方程。對于,這種特殊的極坐標方程可以考慮數(shù)形結(jié)合來確定直線:即,曲線消參后可得:即圓心是,半徑為的圓,所以,
答案:
小煉有話說:對于形如的極坐標方程,可以作出圖像并根據(jù)圖像得到直角坐標方程,或者
6、可以考慮對賦予三角函數(shù),然后向直角坐標進行轉(zhuǎn)化:
例7:在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程是,則兩曲線交點間的距離是______________
思路:將轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯亲鴺讼档钠胀ǚ匠?。,則為直線與雙曲線位置關(guān)系,聯(lián)立方程,利用韋達定理求得弦長即可
解:
的方程為
聯(lián)立方程可得: 代入消去可得:
設(shè)交點 則
答案:
例8:已知曲線的極坐標方程分別為,其中,則曲線交點的極坐標為_______
思路一:按照傳統(tǒng)思路,將轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯亲鴺讼档钠胀ǚ匠?,求出交點坐標后再轉(zhuǎn)換為極坐標
解
7、:
或
將兩個點轉(zhuǎn)化為極坐標分別為,因為,所以只有符合條件
思路二:觀察到所給方程形式簡單,且所求也為極坐標,所以考慮直接進行極坐標方程聯(lián)立求解
解:代入消去可得:
交點坐標為
小煉有話說:(1)思路一中規(guī)中矩,但解題過程中要注意原極坐標方程對的限制條件
(2)思路二有些學(xué)生會對聯(lián)立方程不很適應(yīng),要了解到極坐標中的本身是實數(shù),所以關(guān)于它們的方程與方程一樣,都是實數(shù)方程,所以可以用實數(shù)方程的方法去解根,只是由于其具備幾何含義(尤其)導(dǎo)致方程形式有些特殊(數(shù)與三角函數(shù))。但在本題中,通過代入消元還是容易解出的
例9:已知在極坐標系中,為極點,圓的極坐
8、標方程為,點的極坐標為,則的面積為___________
思路一:將轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯亲鴺讼捣匠蹋?
,所以,再求出的直角坐標為,則,因為,所以,且,所以
思路二:本題求出后,發(fā)現(xiàn)其極坐標為,而,所以可結(jié)合圖像利用極坐標的幾何含義求解,可得,,所以
答案:
小煉有話說:(1)在思路一中面積的求法用向量求解還可以更為簡單:
,所以,代入即可
(2)思路二體現(xiàn)了極坐標本身具備幾何特點,即長度()與角,在解決一些與幾何相關(guān)的問題時,靈活運用極坐標的幾何含義往往能達到出奇制勝的效果
例10:在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為,(其中為參數(shù)),以原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線
9、的極坐標方程為,設(shè)點,曲線交于,求的值
思路一:將轉(zhuǎn)化為直角坐標系下普通方程: ,,聯(lián)立方程,解出坐標,再求出即可
解:
設(shè)
,
思路二:本題在思路一的基礎(chǔ)上通過作圖可發(fā)現(xiàn)三點共線,則可以考慮將轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄康臄?shù)量積,即,進而向量坐標化后整體代入即可
解:(前面轉(zhuǎn)化方程,聯(lián)立方程同思路一)設(shè),
由得
思路三:觀察到恰好是直線參數(shù)方程的定點,且所求恰好是到的距離,所以聯(lián)系到直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何含義。只需求得對應(yīng)參數(shù)的乘積即可
解:設(shè),則有,,則有
代入到中可得:
10、
所以是方程的兩根,整理可得:
答案:
小煉有話說:(1)思路二體現(xiàn)了處理線段模長乘積時,可觀察涉及線段是否具備共線特點,如果具備可以將其轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積,從而簡化運算,但要注意與圖像結(jié)合,看好向量是同向還是反向
(2)思路三體現(xiàn)了對直線參數(shù)方程中參數(shù)幾何含義的巧用。在處理兩條曲線(其中一條為參數(shù)方程)的交點問題時,可以將參數(shù)代換掉另一曲線中的得到關(guān)于參數(shù)的方程。另外在使用直線參數(shù)方程時,要注意參數(shù)前面的系數(shù)應(yīng)該是該直線傾斜角的正余弦值。否則參數(shù)不具備幾何含義。例如本題中如果參數(shù)方程為,則并不代表點到的距離。
三、歷年好題精選
1、已知直角坐標系中,直線的參數(shù)方程
11、為(為參數(shù)),以直角坐標系中的原點為極點,軸的非負半軸為極軸,圓的極坐標方程為,則圓心到直線的距離為________
2、(2015,北京)在極坐標系中,點到直線的距離為______
3、(2015,廣東)已知直線的極坐標方程為,點的極坐標為,則點 到直線的距離為_______
4、(2015,新課標II)在直角坐標系中,曲線(為參數(shù),),其中,在以為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線
(1)求交點的直角坐標
(2)若相交于點,相交于點,求的最大值
5、(2015,陜西)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,的極坐標方程為
12、
(1)寫出的直角坐標方程
(2)為直線上一動點,當?shù)綀A心的距離最小時,求的直角坐標
習題答案:
1、答案:
解析:可知直線的方程為:,圓的直角坐標方程為,所以圓心到直線的距離為
2、答案:1
解析:點化為直角坐標系坐標為,直線方程為,從而該點到直線的距離為
3、答案:
解析:直線,轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為,點的直角坐標為,則到直線的距離為
4、解析:(1)曲線的直角坐標方程分別為:
聯(lián)立方程:解得:或
交點的直角坐標為
(2)曲線的極坐標方程為 在極坐標系下
,當時取到
5、解析:(1)
直角坐標方程為整理可得:
(2)設(shè),由(1)可得
等號成立條件為,此時
6、答案:
解析:圓的直角坐標方程為:,設(shè)直線方程為:,因為,可知,所以為直徑,即過圓心,計算可得:,直線方程為,再轉(zhuǎn)化為極坐標方程為