高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 三角函數(shù)教學(xué)案

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1、2011年高考第二輪專題復(fù)習(xí)（教學(xué)案）：三角函數(shù) 第1課時(shí) 三角函數(shù)與三角變換 考綱指要： 主要考察三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值及三角恒等式的證明等三角變換的基本問題。 考點(diǎn)掃描： 1．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)； 2．函數(shù)y＝sinx的圖象變換出y＝sin(ωx＋)的圖象； 3．兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式。 考題先知： 例1.不查表求sin220°+cos280°+cos20°cos80°的值 分析：解法一利用三角公式進(jìn)行等價(jià)變形；解法二轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，使解法更簡(jiǎn)單更精妙，需認(rèn)真體會(huì) 解法一 sin220°+cos

2、280°+sin220°cos80° = (1－cos40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80° =1－cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°) =1－cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°) +sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°) =1－cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin220° =1－cos40°－(1－cos40°)= 解法二 設(shè)x=sin220°+cos280°+sin20°cos80° y=cos220°+sin280°－cos

3、20°sin80°，則 x+y=1+1－sin60°=， x－y=－cos40°+cos160°+sin100° =－2sin100°sin60°+sin100°=0 ∴x=y=， 即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°= 點(diǎn)評(píng)：題主要考查兩角和、二倍角公式及降冪求值的方法，對(duì)計(jì)算能力的要求較高 例2．某市環(huán)保部門對(duì)該市每天環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，得出一天中環(huán)境污染指數(shù)與時(shí)間x（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為，其中a為與氣象有關(guān)的參數(shù)，且。若函數(shù)的最大值為當(dāng)天的綜合污染指數(shù)，并記作。（1）求函數(shù)的表達(dá)式； （2）市政府規(guī)定，每天的綜合污染指

4、數(shù)不得超過2，試問該市目前的綜合污染指數(shù)是否超標(biāo)？ 解：（1）設(shè)，則原函數(shù)可化為，當(dāng)時(shí)， ，，由于的圖象為線段或折線，故的最大值在端點(diǎn)或折點(diǎn)處取得，又當(dāng)?shù)膱D象為折線時(shí)，在折點(diǎn)處的t值為，而 ，所以的最大值為 =，而, ,由方程組得， 從而 （2）由（1）知：在上是增函數(shù)，故，因此該市目前的綜合污染指數(shù)沒有超標(biāo)。 復(fù)習(xí)智略： 例3.設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值為f(a)，試確定滿足f(a)=的a值，并對(duì)此時(shí)的a值求y的最大值 分析：利用等價(jià)轉(zhuǎn)化把問題化歸為二次函數(shù)問題，還要用到配方法、數(shù)形結(jié)合、分類講座等 解 由y

5、=2(cosx－)2－及cosx∈［－1，1］得 f(a)＝ ∵f(a)=, ∴1－4a=a=［2,+∞ 或?。?a－1=，解得a=－1， 此時(shí)，y=2(cosx+)2+， 當(dāng)cosx=1時(shí)，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查最值問題、三角函數(shù)的有界性、計(jì)算能力以及較強(qiáng)的邏輯思維能力 學(xué)生不易考查三角函數(shù)的有界性，對(duì)區(qū)間的分類易出錯(cuò) 檢測(cè)評(píng)估： 1 已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的兩根均tanα、tanβ，且α，β∈ (－)，則tan的值是( ) A B －2 C

6、 D 或－2 2．給出函數(shù)封閉的定義：若對(duì)于定義域D內(nèi)的任一個(gè)自變量x0，都有函數(shù)值f(x0)，則稱函數(shù)y=f(x)在D上封閉。若定義域D1=（0，1），則下列函數(shù)：f1(x)=2x-1，f2(x)=，f3(x)=2x-1，f4(x)=cosx.；其中在D1上封閉的有（ ）個(gè)。 A．1 B．2 C．3 D．4 3 函數(shù)y=－x·cosx的部分圖像是( ) 4 函數(shù)f(x)=cos2x+sin(+x)是( ) A 非奇非偶函數(shù) B 僅有最小值的奇函數(shù) C 僅有最大值的偶函數(shù) D 既有最大值又有最小值的偶函數(shù) 5、函

7、數(shù)的最大值為M，最小值為N，則（ ） A、； B、； C、； D、 6．函數(shù)y=sin（2x+）的圖象通過如下變換： 得到y(tǒng)=sinx的圖象。 7 函數(shù)f(x)=()｜c(diǎn)osx｜在［－π，π］上的單調(diào)減區(qū)間為_________ 8 設(shè)ω＞0，若函數(shù)f(x)=2sinωx在［－，］上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是_________ 9．已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+)－sin2x+sinxcosx，則函數(shù)f(x)的最小正周期是

8、 。 當(dāng)x = 時(shí)，f(x)取得最小值 ； 10．已知＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值_________ 為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列{an}的首項(xiàng). ⑴ 求函數(shù)的表達(dá)式； ⑵ 求證：； ⑶ 求證： ，，已知函數(shù) （1）求函數(shù)的最值與最小正周期；（2）求使不等式 成立的 的取值范圍。 點(diǎn)撥與全解： 1 解析 ∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0 tanα+tanβ=3a+1＞0, 又α、β∈(－,)∴α、β∈(－,θ),則∈(－,0), 又tan(α+β)=, 整

9、理得2tan2=0 解得tan=－2 答案 B 2．解：（1）∵f1()=0?(0,1)，∴f(x)在D1上不封閉； ∵f2(x)=-(x+)2+在(0,1)上是減函數(shù)，∴0＜f2(1)＜f2(x)＜f2(0)=1， ∴f2(x)?(0,1)Tf2(x)在D1上封閉； ∵f3(x)=2x-1在(0,1)上是增函數(shù)，∴0=f3(0)＜f3(x)＜f3(1)=1， ∴f3(x)?(0,1)Tf3(x)在D1上封閉； ∵f4(x)=cosx在(0,1)上是減函數(shù)，∴cos1=f4(1)＜f4(x)＜

10、f4(0)=1， ∴f4(x)?(cos1,1)ì(0,1)Tf4(x)在D1上封閉； 綜上所述，選C。 3 解 函數(shù)y=－xcosx是奇函數(shù)，圖像不可能是A和C，又當(dāng)x∈(0, )時(shí)，y＜0 答案 D 4 解 f(x)=cos2x+sin(+x)=2cos2x－1+cosx=2［(cosx+］－1 答案 D 5．解：，其中是奇函數(shù)，所以M+N=2，故選D。 =sin（2x+） 7 解 在［－π,π］上，y=｜c(diǎn)osx｜的單調(diào)遞增區(qū)間是［－,0］及［,π］ 而f(x)依｜c(diǎn)osx｜取值的遞增而遞減,故［－,0］及［,π

11、］為f(x)的遞減區(qū)間 8 解 由－≤ωx≤，得f(x)的遞增區(qū)間為［－,］，由題設(shè)得 9．解：f(x)=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)，∴f(x)的最小正周期T=π 且當(dāng)2x+=2kπ－，即x=kπ－ (k∈Z)時(shí)，f(x)取得最小值－2 10．解 ∵＜β＜α＜,∴0＜α－β＜ π＜α+β＜, ∴ ∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］ =sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β) 11．解：⑴ 又∵為銳角 ∴ ∴ ⑵

12、 ∵ ∴都大于0 ∴ ∴ ⑶ ∴ ∴ ∵, , 又∵ ∴ ∴ ∴ 12、解： (1)∴的最大值是,的最小值是, 的最小正周期是 (2) 由解知

13、 又∵ ∴的取值范圍是 第2課時(shí) 解三角形 考綱指要： （1）通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題； （2）能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題。 考點(diǎn)掃描： 1．直角三角形中各元素間的關(guān)系：（1）三邊之間的關(guān)系；（2）銳角之間的關(guān)系；（3）邊角之間的關(guān)系。 2．斜三角形中各元素間的關(guān)系：（1）三角形內(nèi)角和；（2）正弦定理；（3）余弦定理； 3．三角形的面積公式。 考題先知： 例1。在海

14、島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個(gè)觀察站P，上午11時(shí)，測(cè)得一輪船在島北30°東，俯角為30°的B處，到11時(shí)10分又測(cè)得該船在島北60°西、俯角為60°的C處。 (1)求船的航行速度是每小時(shí)多少千米； (2)又經(jīng)過一段時(shí)間后，船到達(dá)海島的正西方向的D處，問此時(shí)船距島A有多遠(yuǎn)？ 分析： 主要依據(jù)三角形中的邊角關(guān)系并且運(yùn)用正弦定理來解決問題 解 (1)在Rt△PAB中，∠APB=60° PA=1，∴AB= (千米) 在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC= (千米) 在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90° (2)∠DAC=90°－60°=30° sin

15、DCA=sin(180°－∠ACB)=sinACB= sinCDA=sin(∠ACB－30°)=sinACB·cos30°－cosACB·sin30° 在△ACD中，據(jù)正弦定理得， ∴ 答 此時(shí)船距島A為千米 點(diǎn)評(píng)： 主要利用三角形的三角關(guān)系，關(guān)鍵找準(zhǔn)方位角，合理利用邊角關(guān)系 例2已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B，設(shè)x=cos，f(x)=cosB() (1)試求函數(shù)f(x)的解析式及其定義域； (2)判斷其單調(diào)性，并加以證明； (3)求這個(gè)函數(shù)的值域 分析： 本題的關(guān)鍵是運(yùn)用三角函數(shù)的有關(guān)公式求出f(x)的解析式，公式主要

16、是和差化積和積化和差公式 在求定義域時(shí)要注意||的范圍 解 (1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120° ∵0°≤||＜60°，∴x=cos∈(，1 又4x2－3≠0，∴x≠，∴定義域?yàn)?，)∪(，1］ (2)設(shè)x1＜x2， ∴f(x2)－f(x1)==， 若x1，x2∈()，則4x12－3＜0，4x22－3＜0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0 即f(x2)＜f(x1)，若x1，x2∈(，1］，則4x12－3＞0 4x22－3＞0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0 即f(x2)＜

17、f(x1)，∴f(x)在(,)和(，1上都是減函數(shù) (3)由(2)知，f(x)＜f()=－或f(x)≥f(1)=2 故f(x)的值域?yàn)?－∞，－)∪［2，+∞ 點(diǎn)評(píng)：學(xué)生對(duì)三角函數(shù)中有關(guān)公式的靈活運(yùn)用是難點(diǎn)，并且不易想到運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性去求函數(shù)的值域問題 復(fù)習(xí)智略： 例3．已知△ABC中滿足()2＝·＋·＋·，a、b、c分別是△ABC的三邊． （Ⅰ）試判斷△ABC的形狀并求sinA＋sinB的取值范圍； （Ⅱ）若不等式a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)≥kabc，對(duì)任意的a、b、c都成立，求k的取值范圍． 7解：（Ⅰ）∵()2＝·＋·＋·，

18、 ()2＝·(＋)＋· 即()2＝·＋·， 即·＝0，△ABC 是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形， ∴sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝sin(A＋)，A∈(0，) ， ∴sinA＋sinB的取值范圍為． （Ⅱ）在直角△ABC中， a＝csinA，b＝ccosA． 若a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)≥kabc，對(duì)任意的a、b、c都成立， 則有≥k，對(duì)任意的a、b、c都成立， ∵ ＝[c2sin2A(ccosA＋c)＋c2cos2A(csinA＋c)＋c2(csinA＋ccosA)] ＝[ sin2AcosA＋cos2A sinA＋1＋cosA＋sinA

19、] ＝cosA＋sinA＋ 令t＝sinA＋cosA，t∈， 設(shè)f(t)＝＝t＋＝t＋＝t－1＋＋1． f(t)＝t－1＋＋1，當(dāng)t－1∈ 上時(shí) f(t)為單調(diào)遞減函數(shù)， ∴當(dāng)t＝時(shí)取得最小值，最小值為2＋3，即k≤2＋3， 所以k的取值范圍為（－∞，2＋3）． 點(diǎn)評(píng)：本題是平面向量與三角函數(shù)相結(jié)合的問題，運(yùn)用平面向量的運(yùn)算的意義轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的邊角關(guān)系，進(jìn)而運(yùn)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求值域．第Ⅱ小題將不等式恒成立的問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值，其中運(yùn)用了換元法． 檢測(cè)評(píng)估： 1 給出四個(gè)命題 (1)若sin2A=

20、sin2B，則△ABC為等腰三角形；(2)若sinA=cosB，則△ABC為直角三角形；(3)若sin2A+sin2B+sin2C＜2，則△ABC為鈍角三角形；(4)若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，則△ABC為正三角形 以上正確命題的個(gè)數(shù)是( ) A 1 B 2 C 3 D 4 2．△ABC中，則△ABC的周長(zhǎng)為（ ） A． B． C． D． 3．如果的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則（ ） A．和都是銳角三角形 B．和都是鈍角三角形 C．是鈍角三角形，是銳

21、角三角形 D．是銳角三角形，是鈍角三角形 4．在中，則滿足條件的三角形有（ ） （A）一解 （B）兩解 （C）無解 （D）不能確定 5．已知兩個(gè)向量集合M={︱＝（cos，），∈R}，N＝{︱＝（cos，＋sin）∈R}，若M∩N≠，則的取值范圍是（ ） A.（－3，5） B.[,5] C.[2，5] D.[5，＋∞] 解：由條件得：，故選B。 6 在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，則的值為__________ 7 在△ABC中，A為最小角，C為最大角，已知cos(2A+C)=－，sinB=，則cos

22、2(B+C)=__________ 8. 如右圖，在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點(diǎn)處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角θ的正弦成正比，角和這一點(diǎn)到光源的距離 r的平方成反比，即I=k·，其中 k是一個(gè)和燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)，那么電燈懸掛的高度h= ，才能使桌子邊緣處最亮. 9 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且a、b、3c成等比數(shù)列，又∠A－∠C=，則∠A、∠B、∠C的值分別為 10.．給出問題：已知中，滿足，試判定的形狀．某學(xué)生 的解答如下：

23、由條件可得，去分母整理可得 ，．故是直角三角形．該學(xué)生的解答是 否正確？若正確，請(qǐng)將他的解題主要依據(jù)填在下面橫線上；若不正確，將正確的結(jié)果填在 下面橫線上．_______________________________________________________________ 11．在一很大的湖岸邊（可視湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開，小船被風(fēng) 刮跑，其方向與湖岸成15°角，速度為2.5km/h，同時(shí)岸邊有一人，從同一地點(diǎn)開始追趕小 船，已知他在岸上跑的速度為4km/h，在水中游的速度為2km/h.問此人能否追上小船.若小 船速度改變，則小船能被人追上

24、的最大速度是多少？ △ABC的面積S滿足 , 且 , 與的夾角為. (I) 求的取值范圍; (II)求函數(shù)的最小值. 點(diǎn)撥與全解： 1 解析 其中(3)(4)正確 答案 B 2．解：在中，由正弦定理得：化簡(jiǎn)得AC= ，化簡(jiǎn)得AB=， 所以三角形的周長(zhǎng)為：3+AC+AB=3++ =3+。故選D。 3．解：的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0，則是銳角三角形， 若是銳角三角形，由，得， 那么，，所以是鈍角三角形。故選D。 4．由得，故選C。 6 解析 ∵A+B+C=π，A+C=2B， 答案 7 解析 ∵A為最小

25、角∴2A+C=A+A+C＜A+B+C=180° ∵cos(2A+C)=－，∴sin(2A+C)= ∵C為最大角，∴B為銳角，又sinB= 故cosB= 即sin(A+C)=，cos(A+C)=－ ∵cos(B+C)=－cosA=－cos［(2A+C)－(A+C)］=－， ∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)－1= 答案 8 解 R=rcosθ，由此得 ， 9． 解 由a、b、3c成等比數(shù)列，得 b2=3ac ∴sin2B=3sinC·sinA=3(－)［cos(A+C)－cos(A－C)］ ∵B=π－(A+C) ∴sin2

26、(A+C)=－［cos(A+C)－cos］ 即1－cos2(A+C)=－cos(A+C)，解得cos(A+C)=－ ∵0＜A+C＜π，∴A+C=π 又A－C=∴A=π，B=，C= 10．不正確，失掉這一情形，故是等腰三角形或直角三角形。 O A B vt 2(1－k)t 4kt 15° 11． 設(shè)船速為v，顯然時(shí)人是不可能追上小船，當(dāng)km/h時(shí)，人不必在岸上跑，而只要立即從同一地點(diǎn)直接下水就可以追上小船，因此只要考慮v，人追上船所用時(shí)間為t，人在岸上跑的時(shí)間為，則人在水中游的時(shí)間為,人要追上小船,則人船運(yùn)動(dòng)的路線滿足如圖所示的三角形. 由余弦是理得 , 即, 整理得, 要使上式在（0，1）范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)解， 則有且, 解得, 故當(dāng)船速在內(nèi)時(shí)，人船運(yùn)動(dòng)路線可構(gòu)成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度為，由此可見當(dāng)船速為2.5km/h時(shí)人可以追上小船. 12.解:(1)由題意知,, ………………① ,…………② 由②÷①, 得, 即 由得, 即. 又為與的夾角, ∴, ∴. (2) ∵, ∴. ∴, 即時(shí), 的最小值為3.