學(xué)考傳奇(濟(jì)南專版)中考數(shù)學(xué) 第6章 圓 第1節(jié) 圓的有關(guān)性質(zhì)
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1、知識點(diǎn)知識點(diǎn)1 1 圓及圓的有關(guān)概念圓及圓的有關(guān)概念1.1.圓:平面上到定點(diǎn)的距離等于圓:平面上到定點(diǎn)的距離等于_的所有點(diǎn)組成的圖形叫的所有點(diǎn)組成的圖形叫作圓作圓. .其中,定點(diǎn)稱為其中,定點(diǎn)稱為_,_稱為半徑稱為半徑. .定長定長圓心圓心定長定長2.2.與圓有關(guān)的概念與圓有關(guān)的概念: :(1 1)?。簣A上任意)?。簣A上任意_的部分叫作圓弧,簡稱弧的部分叫作圓弧,簡稱弧. .其中,大于半圓的弧叫優(yōu)弧,小于半圓的弧叫劣弧其中,大于半圓的弧叫優(yōu)弧,小于半圓的弧叫劣弧. .(2 2)弦:連接圓上任意兩點(diǎn)的)弦:連接圓上任意兩點(diǎn)的_叫作弦叫作弦. .(3 3)直徑:經(jīng)過)直徑:經(jīng)過_的弦叫作直徑的弦叫
2、作直徑. .(4 4)弦心距:圓心到弦的距離叫作弦心距)弦心距:圓心到弦的距離叫作弦心距. .兩點(diǎn)間兩點(diǎn)間線段線段圓心圓心知識點(diǎn)知識點(diǎn)2 2 圓的有關(guān)性質(zhì)圓的有關(guān)性質(zhì)1.1.圓的對稱性圓的對稱性: :(1 1)圓是軸對稱圖形,其對稱軸是)圓是軸對稱圖形,其對稱軸是_的直線,的直線,有有_條對稱軸條對稱軸. .(2 2)圓是中心對稱圖形,對稱中心為)圓是中心對稱圖形,對稱中心為_._.(3 3)圓具有旋轉(zhuǎn)不變性,即圓圍繞著它的圓心旋轉(zhuǎn))圓具有旋轉(zhuǎn)不變性,即圓圍繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)_,都能與原來的圖形重合,都能與原來的圖形重合. .過圓心過圓心無數(shù)無數(shù)圓心圓心任意角度任意角度2.2.垂徑定理及推論垂徑
3、定理及推論: :(1 1)垂徑定理:垂直于弦的直徑)垂徑定理:垂直于弦的直徑_這條弦,并且這條弦,并且_弦所對的兩條弧弦所對的兩條弧. .(2 2)推論:平分弦的直徑)推論:平分弦的直徑_于弦,并且于弦,并且_弦所對的兩條弧;弦所對的兩條弧;平分平分平分平分垂直垂直平分平分弦的垂直平分線經(jīng)過弦的垂直平分線經(jīng)過_,并且平分弦所對,并且平分弦所對的兩條?。坏膬蓷l?。黄椒窒宜鶎Φ囊粭l弧的直徑垂直平分弦,并且平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦,并且_另一條弧另一條弧; ;圓的兩條平行弦所夾的弧圓的兩條平行弦所夾的弧_._.圓心圓心平分平分相等相等3.3.圓心角、弧、弦之間的關(guān)系圓心角、弧、弦之間的關(guān)系
4、: :(1 1)定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的?。┒ɡ恚涸谕瑘A或等圓中,相等的圓心角所對的弧_,所對的弦,所對的弦_._.(2 2)推論:在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條)推論:在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,那么它們所對應(yīng)的其余各組弧、兩條弦中有一組量相等,那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別量都分別_;弧的度數(shù)等于它所對的圓心角的度數(shù)弧的度數(shù)等于它所對的圓心角的度數(shù). .相等相等相等相等相等相等4.4.圓周角定理及推論圓周角定理及推論: :(1 1)定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角)定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角_,都等于這
5、條弧所對的圓心角的,都等于這條弧所對的圓心角的_._.(2 2)推論:在同圓或等圓中,相等的圓周角所對的?。┩普摚涸谕瑘A或等圓中,相等的圓周角所對的弧_;半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;9090的圓周角所的圓周角所對的弦是對的弦是_._.相等相等一半一半相等相等直徑直徑5.5.圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì): :(1 1)圓內(nèi)接三角形:三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)叫外)圓內(nèi)接三角形:三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)叫外心,也是圓心;外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等心,也是圓心;外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等. .(2 2)圓內(nèi)接四邊形:圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ);任意一
6、)圓內(nèi)接四邊形:圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ);任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對角個(gè)外角等于它的內(nèi)對角. .【名師指點(diǎn)】本考點(diǎn)主要考查圓中弦所對的圓周角與圓心名師指點(diǎn)】本考點(diǎn)主要考查圓中弦所對的圓周角與圓心角之間的大小關(guān)系,即同弧或等弧所對的圓周角的度數(shù)是角之間的大小關(guān)系,即同弧或等弧所對的圓周角的度數(shù)是圓心角的一半圓心角的一半. .在同一個(gè)圓中,一條弧可能對應(yīng)幾個(gè)角,利在同一個(gè)圓中,一條弧可能對應(yīng)幾個(gè)角,利用圓周角定理把這些角聯(lián)系在一起,相互轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)用圓周角定理把這些角聯(lián)系在一起,相互轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵鍵. .考點(diǎn)考點(diǎn)1 1 圓周角、圓心角定理圓周角、圓心角定理 (20152015四川巴中)如圖,在四川
7、巴中)如圖,在O O中,弦中,弦ACOBACOB,BOC=50BOC=50,則,則OABOAB的度數(shù)為的度數(shù)為( )( )A.25A.25 B.50 B.50 C.60 C.60 D.30 D.30【解答解答】BOC=50BOC=50,BAC= BOC=25BAC= BOC=25. .ACOBACOB,OBA=BAC=25OBA=BAC=25. .OA=OBOA=OB,OAB=OBA =25OAB=OBA =25. .【答案答案】A A12 (20142014貴州安順)如圖貴州安順)如圖,MN,MN是半徑為是半徑為1 1的的O O的直徑的直徑, ,點(diǎn)點(diǎn)A A在在O O上上,AMN=30,AMN
8、=30, ,點(diǎn)點(diǎn)B B為劣弧為劣弧ANAN的中點(diǎn)的中點(diǎn),P,P是直徑是直徑MNMN上上一動點(diǎn)一動點(diǎn), ,則則PA+PBPA+PB的最小值為的最小值為( )( )A. 2B.1C.2D.2 2【解答解答】作點(diǎn)作點(diǎn)A A關(guān)于關(guān)于MNMN的對稱點(diǎn)的對稱點(diǎn)A,A,連接連接AB,AB,交交MNMN于點(diǎn)于點(diǎn)P,P,連接連接OA,OA,OAOA,OB,OB,如下圖:如下圖:AMN=30AMN=30, ,點(diǎn)點(diǎn)B B為劣弧為劣弧 的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,BON=30BON=30. .AN又又點(diǎn)點(diǎn)A A關(guān)于關(guān)于MNMN的對稱點(diǎn)為的對稱點(diǎn)為A,A,AON=AON=2AMN=60AON=AON=2AMN=60, ,AOB=
9、90AOB=90,又又半徑為半徑為1,1,即即PA+PBPA+PB的最小值為的最小值為【答案答案】A AAB2, 2.1.(20151.(2015歷下一模歷下一模) )如圖,如圖,ABAB是是O O的直徑,點(diǎn)的直徑,點(diǎn)C C,D D在在O O上,若上,若CAB=40CAB=40,則,則ADCADC的度數(shù)為的度數(shù)為( )( )A.25A.25 B.30 B.30 C.45 C.45 D.50 D.502.(20152.(2015市中二模市中二模) )如圖,如圖,ABAB是是OO的直徑,弦的直徑,弦CDABCDAB,垂,垂足為足為M M,下列結(jié)論不成立的是,下列結(jié)論不成立的是( )( )A.CM=
10、DM B.A.CM=DM B.C.ACD=ADC D.OM=MDC.ACD=ADC D.OM=MDCB BD3.3.(20152015煙臺)如圖,以煙臺)如圖,以ABCABC的一邊的一邊ABAB為直徑的半圓與為直徑的半圓與其他兩邊其他兩邊ACAC,BCBC的交點(diǎn)分別為的交點(diǎn)分別為D D,E E,且,且(1 1)試判斷)試判斷ABCABC的形狀,并說明理由的形狀,并說明理由. .(2 2)已知半圓的半徑為)已知半圓的半徑為5 5,BC=12BC=12,求,求sinABDsinABD的值的值. .DE BE.(1 1)ABCABC為等腰三角形為等腰三角形. .理由如下理由如下連接連接AEAE,如圖
11、,如圖, , ,DAE=BAEDAE=BAE,即,即AEAE平分平分BAC.BAC. AB AB為直徑,為直徑,AEB=90AEB=90,AEBCAEBC,ABCABC為等腰三角形為等腰三角形. .DE BE(2)A(2)A,B B,E E,D D四點(diǎn)共圓,四點(diǎn)共圓,CDE=CBACDE=CBA,C=CC=C,CDECDECBACBA, . .BC=12BC=12,半徑為,半徑為5 5,由(由(1 1)得)得AC=AB=10AC=AB=10,CE=6CE=6,即即 ,解得,解得CD=7.2CD=7.2,AD=AC-CD=2.8,AD=AC-CD=2.8,sinABDsinABD= .= .CD
12、CECBACCD61210AD2.87AB1025【名師指點(diǎn)名師指點(diǎn)】垂徑定理是圓的重要定理之一,是證明圓中垂徑定理是圓的重要定理之一,是證明圓中線段、角相等以及垂直關(guān)系的重要依據(jù)線段、角相等以及垂直關(guān)系的重要依據(jù). .在解決與弦、弧有在解決與弦、弧有關(guān)的問題時(shí),常常過圓心向弦引垂線,以利用垂徑定理構(gòu)關(guān)的問題時(shí),常常過圓心向弦引垂線,以利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形,利用三角形全等、勾股定理及解直角三角造直角三角形,利用三角形全等、勾股定理及解直角三角形的知識解題形的知識解題. .考點(diǎn)考點(diǎn)2 2 垂徑定理垂徑定理 (20142014浙江麗水)如圖浙江麗水)如圖, ,半徑為半徑為5 5的的A A中中
13、, ,弦弦BC,EDBC,ED所對的圓心角分別是所對的圓心角分別是BAC,EAD.BAC,EAD.已知已知DE=6,BACDE=6,BACEAD=180EAD=180, ,則弦則弦BCBC的弦心距等于的弦心距等于( )( )4134A.B.C.4D.322【解答解答】作作AGBCAGBC于點(diǎn)于點(diǎn)G,G,延長延長CACA交交A A于點(diǎn)于點(diǎn)F,F,連接連接BF,BF,如圖如圖所示所示, ,BAC+EAD=180BAC+EAD=180, ,又又BAC+BAF=180BAC+BAF=180, ,DAE=BAF.DAE=BAF.又又AD=AB,AE=AF,AD=AB,AE=AF,ADEADEABF,AB
14、F,DE=BF=6.DE=BF=6.AGBC,AGBC,CG=BG.CG=BG.CA=AF,CA=AF,AGAG為為CBFCBF的中位線的中位線, ,【答案答案】D D1AGBF 3.21.1.(20152015泰安)如圖,泰安)如圖,O O是是ABCABC的外接圓,的外接圓,B=60B=60,O O的半徑為的半徑為4 4,則,則ACAC的長等于的長等于( )( )A.4 3B.6 3C.2 3D.82.2.(20152015臺灣)如圖,臺灣)如圖,ABAB為為O O的直徑,的直徑,BCBC為為O O的一條的一條弦,自弦,自O(shè) O點(diǎn)作點(diǎn)作BCBC的垂線,且交的垂線,且交BCBC于于D D點(diǎn),若
15、點(diǎn),若AB=16AB=16,BC=12BC=12,則則OBDOBD的面積為的面積為( )( )A.6 7B.12 7C.15D.303.3.(20152015東營)如圖,水平放置的圓柱形排水管道的截東營)如圖,水平放置的圓柱形排水管道的截面直徑是面直徑是1 m1 m,其中水面的寬,其中水面的寬ABAB為為0.8 m0.8 m,則排水管內(nèi)水的,則排水管內(nèi)水的深度為深度為_m._m.0.80.8【名師指點(diǎn)名師指點(diǎn)】本考點(diǎn)主要考查圓內(nèi)接四邊形的角之間的關(guān)本考點(diǎn)主要考查圓內(nèi)接四邊形的角之間的關(guān)系,常利用它將圓外的角向圓內(nèi)進(jìn)行轉(zhuǎn)移,解決問題的關(guān)系,常利用它將圓外的角向圓內(nèi)進(jìn)行轉(zhuǎn)移,解決問題的關(guān)鍵是熟練地
16、掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)鍵是熟練地掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì). .考點(diǎn)考點(diǎn)3 3 圓內(nèi)接四邊形圓內(nèi)接四邊形 (2015(2015江蘇南京江蘇南京) )如圖,四邊形如圖,四邊形ABCDABCD是是O O的內(nèi)接四的內(nèi)接四邊形,邊形,BCBC的延長線與的延長線與ADAD的延長線交于點(diǎn)的延長線交于點(diǎn)E E,且,且DC=DE.DC=DE.(1)(1)求證:求證:A=AEBA=AEB;(2)(2)連接連接OEOE,交,交CDCD于點(diǎn)于點(diǎn)F F,OECDOECD,求證:,求證:ABEABE是等邊三角是等邊三角形形. .【分析分析】(1)(1)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得A+BCDA+BCD
17、=180=180,根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得,根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得DCE+BCD=180DCE+BCD=180,進(jìn)而,進(jìn)而得到得到A=DCEA=DCE,然后利用等邊對等角可得,然后利用等邊對等角可得DCE=AEBDCE=AEB,進(jìn)而可得進(jìn)而可得A=AEB.A=AEB.(2)(2)首先證明首先證明DCEDCE是等邊三角形,進(jìn)而可得是等邊三角形,進(jìn)而可得AEB=60AEB=60,再根據(jù)再根據(jù)A=AEBA=AEB,可得,可得ABEABE是等腰三角形,進(jìn)而可得是等腰三角形,進(jìn)而可得ABEABE是等邊三角形是等邊三角形. .【解答解答】(1)(1)四邊形四邊形ABCDABCD是是O O的內(nèi)接四邊形,的內(nèi)接四邊形,
18、A+BCD=180A+BCD=180. .DCE+BCD=180DCE+BCD=180,A=DCE.A=DCE.DC=DEDC=DE,DCE=AEBDCE=AEB,A=AEB.A=AEB.(2)A=AEB(2)A=AEB,ABEABE是等腰三角形是等腰三角形. .EOCDEOCD,CF=DFCF=DF,EOEO是是CDCD的垂直平分線,的垂直平分線,ED=EC.ED=EC.DC=DEDC=DE,DC=DE=ECDC=DE=EC,DCEDCE是等邊三角形,是等邊三角形,AEB=60AEB=60,ABEABE是等邊三角形是等邊三角形. .【易錯(cuò)點(diǎn)津易錯(cuò)點(diǎn)津】不能利用圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角不
19、能利用圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角的性質(zhì)找出角與角的關(guān)系,無法將各個(gè)條件集中到特殊的的性質(zhì)找出角與角的關(guān)系,無法將各個(gè)條件集中到特殊的三角形中三角形中( (如直角三角形或等邊三角形如直角三角形或等邊三角形).). 如圖,已知在如圖,已知在ABCABC中,中,ADBCADBC,D D點(diǎn)為垂足,點(diǎn)為垂足,ACBEACBE,E E點(diǎn)為垂足,點(diǎn)為垂足,M M點(diǎn)為點(diǎn)為ABAB邊的中點(diǎn),連接邊的中點(diǎn),連接MEME,MDMD,EDED求證:求證:EMDEMD2DAC.2DAC.【解答解答】MM為為ABAB的中點(diǎn),的中點(diǎn),ADBCADBC,BEACBEAC,ME= =MA=MBME= =MA=MB,MD=
20、=MA=MBMD= =MA=MB,ME=MD=MA=MB,ME=MD=MA=MB,AA,B B,D D,E E四點(diǎn)在四點(diǎn)在M M上,上,EMDEMD2DAC.2DAC.1AB21AB21.1.(20152015江蘇淮安)如圖,四邊形江蘇淮安)如圖,四邊形ABCDABCD是是O O的內(nèi)接四邊的內(nèi)接四邊形,若形,若A=70A=70, ,則則C C的度數(shù)是的度數(shù)是( )( )A.100A.100 B.110 B.110 C.120 C.120 D.130 D.1302.2.(20152015四川涼山)如圖,四川涼山)如圖,ABCABC內(nèi)接于內(nèi)接于O O,OBC=40OBC=40,則則A A的度數(shù)為的
21、度數(shù)為( )( )A.80A.80 B.100 B.100 C.110 C.110 D.130 D.1303.(20153.(2015浙江臺州浙江臺州) )如圖,四邊形如圖,四邊形ABCDABCD內(nèi)接于內(nèi)接于O O,點(diǎn),點(diǎn)E E在在對角線對角線ACAC上,上,EC=BC=DC.EC=BC=DC.(1 1)若)若CBD=39CBD=39,求,求BADBAD的度數(shù);的度數(shù);(2 2)求證:)求證:1=2.1=2.解:解:(1)BC=CD,(1)BC=CD,BCD=180BCD=180-2-23939=102=102. .又又四邊形四邊形ABCDABCD為圓內(nèi)接四邊形為圓內(nèi)接四邊形, ,BAD=180BAD=180-102-102=78=78. .(2 2)BC=CD,CBD=CDB.BC=CD,CBD=CDB.又又BAC=BDC,BAC=BDC,CBD=BAE.CBD=BAE.又又CB=CE,CB=CE,CBE=CEB.CBE=CEB.CEB=BAE+2,CEB=BAE+2,BAE+2=CBD+1,BAE+2=CBD+1,1=2.1=2.
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