第九章 解析幾何 第一節(jié) 直線和圓

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1、第九章 解析幾何 第一節(jié) 直線和圓 第九章 解析幾何 第一節(jié) 直線和圓 第一部分 五年高考薈萃 2009年高考題 一、選擇題 1.（遼寧理，4）已知圓C與直線x－y=0 及x－y－4=0都相切，圓心在直線x+y=0上，則圓C的方程為 A. B. C. D. 【解析】圓心在x＋y＝0上,排除C、D,再結(jié)合圖象,或者驗(yàn)證A、B中圓心到兩直線的距離等于半徑即可. 【答案】B 2.（重慶理，1）直線與圓的位置關(guān)系為（ ） A．相切 B．相交但直線不過(guò)圓心 C．直線過(guò)圓心 D．相離 【解析

2、】圓心為到直線，即的距離，而，選B。 【答案】B 3.（重慶文，1）圓心在軸上，半徑為1，且過(guò)點(diǎn)（1，2）的圓的方程為（ ） A． B． C． D． 解法1（直接法）：設(shè)圓心坐標(biāo)為，則由題意知，解得，故圓的方程為。 解法2（數(shù)形結(jié)合法）：由作圖根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離為1易知圓心為（0，2），故圓的方程為 解法3（驗(yàn)證法）：將點(diǎn)（1，2）代入四個(gè)選擇支，排除B，D，又由于圓心在軸上，排除C。 【答案】A 4.（上海文，17）點(diǎn)P（4，－2）與圓上任一點(diǎn)連續(xù)的中點(diǎn)軌跡方程是　　　（ ） A.　　　　 　B. C.　　　　　　

3、D. 【解析】設(shè)圓上任一點(diǎn)為Q（s，t），PQ的中點(diǎn)為A（x，y），則，解得：，代入圓方程，得（2x－4）2＋（2y＋2）2＝4，整理，得： 【答案】A 5. （上海文，15）已知直線平行，則k得值是（ ） A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2 【解析】當(dāng)k＝3時(shí)，兩直線平行，當(dāng)k≠3時(shí)，由兩直線平行，斜率相等，得：＝k－3，解得：k＝5，故選C。 【答案】C 6. (上海文，18)過(guò)圓的圓心，作直線分 別交x、y正半軸于點(diǎn)A、B，被圓分成四部分（如圖）， 若這四部分圖形面積滿足則直線AB有（

4、 ） （A） 0條 （B） 1條 （C） 2條 （D） 3條 【解析】由已知，得：，第II，IV部分的面 積是定值，所以，為定值，即為定值，當(dāng)直線 AB繞著圓心C移動(dòng)時(shí)，只可能有一個(gè)位置符合題意，即直線 AB只有一條，故選B。 【答案】B 7.（陜西理，4）過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為 A. B.2 C. D.2 【答案】D 二、填空題 8. （廣東文，13）以點(diǎn)（2，）為圓心且與直線相切的圓的方程是 . 【解析】將直線化為,圓的半徑, 所以圓的方程

5、為 【答案】 9.（天津理，13）設(shè)直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線的方程為y=3x+4則與的距離為_______ 【解析】由題直線的普通方程為，故它與與的距離為。 【答案】 10. （天津文，14）若圓與圓的公共弦長(zhǎng)為，則a=________. 【解析】由已知，兩個(gè)圓的方程作差可以得到相交弦的直線方程為 ， 利用圓心（0，0）到直線的距離d為，解得a=1. 【答案】1 11.（全國(guó)Ⅰ文16）若直線被兩平行線所截得的線段的長(zhǎng)為，則的傾斜角可以是 ① ② ③ ④ ⑤ 其中正確答案的序號(hào)是

6、 .（寫出所有正確答案的序號(hào)） 【解析】解：兩平行線間的距離為，由圖知直線與的夾角為，的傾斜角為，所以直線的傾斜角等于或。 【答案】①⑤ 12.（全國(guó)Ⅱ理16）已知為圓:的兩條相互垂直的弦，垂足為,則四邊形的面積的最大值為 。 【解析】設(shè)圓心到的距離分別為,則. 四邊形的面積 【答案】5 13.（全國(guó)Ⅱ文15）已知圓O：和點(diǎn)A（1，2），則過(guò)A且與圓O相切的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于 【解析】由題意可直接求出切線方程為y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,從而求出在兩坐標(biāo)軸上的截距分別是5和，所以所求面積為。

7、 【答案】 14.（湖北文14）過(guò)原點(diǎn)O作圓x2+y2－6x－8y＋20=0的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為P、Q， 則線段PQ的長(zhǎng)為 。 【解析】可得圓方程是又由圓的切線性質(zhì)及在三角形中運(yùn)用正弦定理得. 【答案】4 15.（江西理16）．設(shè)直線系,對(duì)于下列四個(gè)命題： ．中所有直線均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn) ．存在定點(diǎn)不在中的任一條直線上 ．對(duì)于任意整數(shù)，存在正邊形,其所有邊均在中的直線上 ．中的直線所能圍成的正三角形面積都相等 其中真命題的代號(hào)是 （寫出所有真命題的代號(hào)）． 【解析】因?yàn)樗渣c(diǎn)到中每條直線的距

8、離 即為圓:的全體切線組成的集合,從而中存在兩條平行直線, 所以A錯(cuò)誤； 又因?yàn)辄c(diǎn)不存在任何直線上,所以B正確； 對(duì)任意,存在正邊形使其內(nèi)切圓為圓,故正確； 中邊能組成兩個(gè)大小不同的正三角形和,故D錯(cuò)誤, 故命題中正確的序號(hào)是 B,C. 【答案】　 三、解答題 16.（2009江蘇卷18）（本小題滿分16分） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓. （1）若直線過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程； （2）設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條

9、件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。 解 (1)設(shè)直線的方程為：，即 由垂徑定理，得：圓心到直線的距離， 結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，得： 化簡(jiǎn)得： 求直線的方程為：或，即或 (2) 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，直線、的方程分別為： ，即： 因?yàn)橹本€被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，兩圓半徑相等。 由垂徑定理，得：：圓心到直線與直線的距離相等。 故有：， 化簡(jiǎn)得： 關(guān)于的方程有無(wú)窮多解，有： 解之得：點(diǎn)P坐標(biāo)為或。 2005—2008年高考題 一、選擇題 1.（2008年全國(guó)Ⅱ理11）等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與x-7y-4=0,

10、 原點(diǎn)在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為 （ ）. A．3 B．2 C． D． 答案 A 解析 ，，設(shè)底邊為 由題意，到所成的角等于到所成的角于是有 再將A、B、C、D代入驗(yàn)證得正確答案 是A。 2.（2008年全國(guó)Ⅱ文3）原點(diǎn)到直線的距離為 （ ） A．1 B． C．2 D． 答案 D 解析 。 3.（2008四川４）將直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再向右平移１個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的直線為 (

11、 ) A.　 　 B.　　 C.　 D. 答案 A 4.（2008上海15）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是一個(gè)與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別相切于點(diǎn)C、D的定圓所圍成的區(qū)域（含邊界），A、B、C、D是該圓的四等分點(diǎn)．若點(diǎn)、點(diǎn)滿足且，則稱P優(yōu)于．如果中的點(diǎn)滿足：不存在中的其它點(diǎn)優(yōu)于Q，那么所有這樣的點(diǎn)Q組成的集合是劣弧 （　　　） Ａ．　　　　　　　B． C． D． 答案 D 5.（2007重慶文）若直線 與圓相交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ＝120°（其中O為原點(diǎn)），則k的值為 （ ） A.-或

12、 B. C.-或 D. 答案 A 6.（2007天津文）“”是“直線平行于直線”的 （ ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案 C 7．（2006年江蘇）圓的切線方程中有一個(gè)是 （ ） A.x－y＝0　　　 B.x＋y＝0　　　 C.x＝0　　　 D.y＝0 答案 C 8. （2005湖南文）設(shè)直線的方程是，從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)中每次取兩個(gè)不同的數(shù)作為A、 B的值，則所得不同直線的條數(shù)是 （

13、 ） A．20　 B．19 C．18 D．16 答案 C 9. (2005全國(guó)Ⅰ文)設(shè)直線過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，則的斜率是 工 （ ） A. B. C. D. 答案 C 10.（2005遼寧）若直線按向量平移后與圓相切，則c的值為 （ ） A．8或－2 B．6或－4 C．4或－6 D．2或－8 答案 A　 11.（2005北京文）“m=”是“

14、直線(m+2)x+3my+1=0與直線(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的 ( ) A.充分必要條件 B.充分而不必要條件 C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件 答案 B 二、填空題 12. （2008天津文15，）已知圓C的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱，直線3x+4y-11=0 與圓C相交于兩點(diǎn)，且，則圓C的方程為_______. 答案 13.（2008四川文14）已知直線與圓，則上各點(diǎn)到的距離

15、的最小值為_______. 答案 14.（2008廣東理11）經(jīng)過(guò)圓的圓心，且與直線垂直的直線 程是 ． 答案 15.（2007上海文）如圖，是直線上的兩點(diǎn)，且．兩個(gè)半徑相等的動(dòng)圓分別與相切于點(diǎn)，是這兩個(gè)圓的公共點(diǎn)，則圓弧，與線段圍成圖形面積的取值范圍是 ． 答案 16.（2007湖南理）圓心為且與直線相切的圓的方程是 ． 答案 (x-1)2+(y-1)2=2 17. ( 2006重慶理)已知變量x,y滿足約束條件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y

16、(其中a＞0)僅在點(diǎn)(3,1)處取得最大值，則a的取值范圍為___. 答案 a＞1 18.（2005江西）設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足 . 答案 第二部分 三年聯(lián)考匯編 2009年聯(lián)考題 一、選擇題 1.(西南師大附中高2009級(jí)第三次月考)“a= 3”是“直線與直線平行”的（ ）條件 A．充要 B．充分而不必要 C．必要而不充分 D．既不充分也不必要 答案 C 2.(重慶市大足中學(xué)2009年高考數(shù)學(xué)模擬試題)直線x+y+1=0與圓的位置關(guān)系是 （ ） A.相交

17、 B.相離 C.相切 D.不能確定 答案 C 3.(西南師大附中高2009級(jí)第三次月考)兩圓的位置關(guān)系 是 （ ） A．內(nèi)切 B．外切 C．相離 D．內(nèi)含 答案 B 4. (西南師大附中高2009級(jí)第三次月考)已知點(diǎn)P（x，y）是直線kx+y+4 = 0（k > 0）上一動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓C：的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為 （ ） A．3 B． C． D．2 答案 D 5. (福建省南安一中、安溪一中、養(yǎng)正中學(xué)2009屆高三期中聯(lián)考)

18、已知實(shí)系數(shù)方程x2+ax+2b=0, 的一個(gè)根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，則的取值范圍是 （ 　　） 　 A．（，1）　 　　B．（，１）　　 Ｃ．（－，）　 Ｄ．（０，） 答案 A 6.(廣東省華南師范附屬中學(xué)2009屆高三上學(xué)期第三次綜合測(cè)試)點(diǎn)到直線的距離不大于3，則的取值范圍是 （ ） A． B． C． D．或 答案 C 7. (四川省成都市2009屆高三入學(xué)摸底測(cè)試)已知圓的方程為，設(shè)圓中過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦與最短弦分別為、，則直線與的斜率之和為( )

19、A. B. C. D. 答案 B 8.(湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)2009屆高三第二次月考)直線和圓 的關(guān)系是 （ ） A.相離 B.相切或相交 C.相交 D.相切 答案 C 9. (福建省寧德市2009屆高三上學(xué)期第四次月考)過(guò)點(diǎn)的直線將圓(x-2)2+y2=9分成 兩段弧，當(dāng)其中的劣弧最短時(shí)，直線的方程是 （ ） A． B． C． D． 答案 D 二、填空題 10.(廣東省華南師范附屬中學(xué)2009屆高三上學(xué)期第三次

20、綜合測(cè)試)從圓(x-1)2+(y-1)2=1外一 點(diǎn)向這個(gè)圓引切線，則切線長(zhǎng)為 ． 答案 2 11.(江蘇省贛榆高級(jí)中學(xué)2009屆高三上期段考)直線與直線 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則b＝___________。 答案 2 12.(湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)2009屆高三第二次月考)過(guò)點(diǎn)C(６,-８)作圓的切線，切點(diǎn)為A、B，那么點(diǎn)C到直線AB的距離為___________________。 答案 13. (四川省成都市2008—2009學(xué)年度上學(xué)期高三年級(jí)期末綜合測(cè)試)光線由點(diǎn)P(2,3)射到直線上,反射后過(guò)點(diǎn)Q(1,1),則反射光線方程為

21、 . 答案 4x－5y＋1＝0 14.(安徽省巢湖市2009屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))過(guò)的直線l與圓C：(x-1)2+y2=4 交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)∠ACB最小時(shí)，直線的方程為 . 答案 9月份更新 1、（2009臨沂一模）已知點(diǎn)P(x,y)是直線kx+y+4=0(k>0)上一動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓C：的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為 A、 B、 C、 D、2 答案 D 2、（2009日照一模）已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則的取值范圍是 A． B．

22、C． D． 答案 A 3、（2009青島一模）已知直線及與函數(shù)圖像的交點(diǎn)分別為，與函數(shù)圖像的交點(diǎn)分別為，則直線與 A.相交，且交點(diǎn)在第I象限 B.相交，且交點(diǎn)在第II象限 C.相交，且交點(diǎn)在第IV象限 D.相交，且交點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn) 答案 D 4、（20009泰安一模）若PQ是圓的弦，PQ的中點(diǎn)是（1,2）則直線PQ的方程是 （A） （B） （C） （D） 答案 B 5、（2009濰坊一模）若PQ是圓的弦，PQ的中點(diǎn)是（1,2）則直線PQ的方程是 （A） （B） （C） （D） 答案 B 6、（20

23、09棗莊一模）將圓軸正方向平移1個(gè)單位后得到圓C，若過(guò)點(diǎn)（3，0）的直線和圓C相切，則直線的斜率為 （ ） A． B． C． D． 答案 D 7、（2009濱州一模）已知直線交于A、B兩點(diǎn)，且，其中O為原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為 A．2 B．－2 C．2或－2 D．或 答案 C 8、（2009濱州一模）如果直線y＝kx＋1與圓交于M、N 兩點(diǎn)，且M、N關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱，若為平面區(qū)域 內(nèi)任意一點(diǎn)，則的取值范圍是 . 答案 2007—2008年聯(lián)考題 一、選擇題 1. (四川省巴蜀聯(lián)盟2008屆高三

24、年級(jí)第二次聯(lián)考)已知點(diǎn)A（3,2），B（-2,7），若直線y=ax-3與線段AB的交點(diǎn)P分有向線段AB的比為4:1，則a的值為 （ ） A．3 B．-3 C．9 D．-9 答案 D 2.(北京市豐臺(tái)區(qū)2008年4月高三統(tǒng)一練習(xí)一)由直線上的點(diǎn)向圓(x-3)2+(y+2)2=1 引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為 ( ) A. B. C. D. 答案 A 3.(北京市西城區(qū)2008年5月高三抽樣測(cè)試)圓被直線分成兩段圓弧，則較短弧長(zhǎng)與較長(zhǎng)弧長(zhǎng)之比為 （ ）

25、 A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5 答案 B 4.(廣東省汕頭市澄海區(qū)2008年第一學(xué)期期末考試)直線平分圓x2+y2-8x+2y-2=0 的周長(zhǎng)，則 （ ） A．3 B．5 C．－3 D．－5 答案 D 5.(安徽省合肥市2008年高三年級(jí)第一次質(zhì)檢)把直線按向量平移后恰與相切，則實(shí)數(shù)的值為 （ ） A．或 B．或 C．或 D．或 答案 C 6.（2007岳陽(yáng)

26、市一中高三數(shù)學(xué)能力題訓(xùn)練） 若圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x－3y－2=0的距離為1，則半徑r的取值范圍是 （ ） A.（４，6）　　 Ｂ.［４，６）　　 Ｃ.（４，６］　　 Ｄ.［４，６］ 答案 A 7. (2007海淀模擬)已知直線ax+by-1=0(a,b不全為0)與圓x2+y2=50有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線有（ ）條 A.66 B.72 C.74 D.78 答案 C 二、填空題 7.(甘肅省蘭州一中20

27、08屆高三上期期末考試)光線從點(diǎn)P（－3，5）射到直線l:3x-4y+4=0 上，經(jīng)過(guò)反射，其反射光線過(guò)點(diǎn)Q（3，5），則光線從P到Q所走過(guò)的路程為 . 答案 8 8.(河北省正定中學(xué)2008年高三第四次月考)圓為參數(shù)）的標(biāo)準(zhǔn)方程 是 ，過(guò)這個(gè)圓外一點(diǎn)P的該圓的切線方程是 。 答案 (x－1)2＋(y－1)2＝1；x＝2或3x－4y＋6＝0 9. (湖北省鄂州市2008年高考模擬)與圓相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有________條. 答案 4 10.(湖南省長(zhǎng)沙市一中2008屆高三第六次月考)設(shè)直線與圓(x-1)2+

28、(y-2)2=4 相交于A、B兩點(diǎn)，且弦長(zhǎng)為，則a= 。 答案 0 11. (江蘇省泰興市2007—2008學(xué)年第一學(xué)期高三調(diào)研)設(shè)直線的方程為， 將直線繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到直線，則的方程是 答案 2x－y＋2＝0 12.(2007石家莊一模)若≠kx+2對(duì)一切x≥5都成立，則k的取值范圍是________. 答案 k>1/10或k<2/5 13.（唐山二模）⊙M:x2+y2=4,點(diǎn)P(x0,y0)在圓外，則直線x0x+y0y=4與⊙M的位置關(guān)系是_____ 答案 相交 三、解答題 14.(江蘇省南京

29、市2008屆高三第一次調(diào)研測(cè)試)已知：以點(diǎn)C (t, )(t∈R , t ≠ 0)為圓心的圓與軸交于點(diǎn)O, A，與y軸交于點(diǎn)O, B，其中O為原點(diǎn)． （1）求證：△OAB的面積為定值； （2）設(shè)直線y = –2x+4與圓C交于點(diǎn)M, N，若OM = ON，求圓C的方程． 解 （1），． 設(shè)圓的方程是 令，得；令，得 ，即：的面積為定值． （2）垂直平分線段． ，直線的方程是． ，解得： 當(dāng)時(shí)，圓心的坐標(biāo)為，， 此時(shí)到直線的距離， 圓與直線相交于兩點(diǎn)． 當(dāng)時(shí)，圓心的坐標(biāo)為，， 此時(shí)到直線的距離 圓與直線不相交，

30、不符合題意舍去． 圓的方程為． 15.（廣東地區(qū)2008年01月期末試題） 已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，直線相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為． （1）求點(diǎn)M軌跡的方程； （2）若過(guò)點(diǎn)的直線與（1）中的軌跡交于不同的兩點(diǎn)、（在、之間），試求與面積之比的取值范圍（為坐標(biāo)原點(diǎn)）． 解（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為， ∵，∴． 整理，得（），這就是動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程． （2）方法一 由題意知直線的斜率存在， 設(shè)的方程為（） ① 將①代入， 得， 由，解得． 設(shè)，，則 ② 令，則，即，即，且

31、 由②得， 即 ． 且且． 解得且 ，且． ∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是． 方法二 由題意知直線的斜率存在， 設(shè)的方程為 ① 將①代入， 整理，得， 由，解得． 設(shè)，，則 ② 令，且 . 將代入②，得 ∴．即． ∵且，∴且． 即且． 解得且． ，且． 故△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是． 16. (江蘇省泰興市2007—2008學(xué)年第一學(xué)期高三調(diào)研)已知過(guò)點(diǎn)A（0，1），且方向向量為，相交于M、N兩點(diǎn). （1）求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）求證：；

32、 （3）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且. 解 （1） 由 . . 17.（2007北京四中模擬一）在△ABC中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），BC邊長(zhǎng)為2，且BC在y軸上的區(qū)間[-3，3]上滑動(dòng)． （1）求△ABC外心的軌跡方程； （2）設(shè)直線l∶y＝3x＋b與（1）的軌跡交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，原點(diǎn)到直線l的距離為d，求 的最大值．并求出此時(shí)b的值． 解 （1）設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），則C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，＋2）（-3≤≤1）， 則BC邊的垂直平分線為y＝＋1 ① ②由①②消去，得．∵，∴．故所求的△ABC外心的軌跡方程為：． （2）將代入得．由及，得．所以方程①在區(qū)間，2有兩個(gè)實(shí)根．設(shè)，則方程③在，2上有兩個(gè)不等實(shí)根的充要條件是： 得 ∵∴ 又原點(diǎn)到直線l的距離為， ∴∵，∴． ∴當(dāng)，即時(shí)，．