2019年高考數學總復習 9.2 不等式選講課件 理.ppt

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9 2不等式選講 選修4 5 1 絕對值三角不等式 1 定理1 若a b是實數 則 a b a b 當且僅當ab 0時 等號成立 2 性質 a b a b a b 3 定理2 若a b c是實數 則 a c a b b c 當且僅當 a b b c 0時 等號成立 2 絕對值不等式的解法 1 含絕對值的不等式 x a a 0 的解法 x a x a或x0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c c ax b c ax b c ax b c或ax b c 3 x a x b c c 0 和 x a x b c c 0 型不等式的解法 利用絕對值不等式的幾何意義求解 體現了數形結合的思想 利用 零點分段法 求解 體現了分類討論的思想 通過構造函數 利用函數的圖象求解 體現了函數與方程的思想 3 基本不等式定理1 設a b R 則a2 b2 2ab 當且僅當a b時 等號成立 4 不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比較法 綜合法 分析法 反證法 放縮法等 1 比較法 求差比較法 求商比較法 求差比較法 由于a b a b 0 ab 只要證明a b 0即可 2 分析法 從待證不等式出發(fā) 逐步尋求使它成立的充分條件 直到將待證不等式歸結為一個已成立的不等式 已知條件 定理等 3 綜合法 從已知條件出發(fā) 利用不等式的有關性質或定理 經過推理論證 推導出所要證明的不等式成立 即 由因尋果 的方法 這種證明不等式的方法稱為綜合法 5 柯西不等式 考向一 考向二 考向三 考向四 解絕對值不等式 求參數范圍解題策略一分離參數法求參數范圍例1已知函數f x x 1 x 2 1 求不等式f x 1的解集 2 若不等式f x x2 x m的解集非空 求m的取值范圍 當x2時 由f x 1解得x 2 所以f x 1的解集為 x x 1 考向一 考向二 考向三 考向四 2 由f x x2 x m得m x 1 x 2 x2 x 解題心得1 解含有兩個以上絕對值符號的不等式 一般解法是零點分段法 即令各個絕對值式子等于0 求出各自零點 把零點在數軸上從小到大排列 然后按零點分數軸形成的各區(qū)間去絕對值 進而將絕對值不等式轉化為常規(guī)不等式 2 在不等式恒成立的情況下 求參數的取值范圍 可以采取分離參數 通過求對應函數最值的方法獲得 考向一 考向二 考向三 考向四 對點訓練1已知函數f x x m 2x 1 m 0 1 當m 1時 解不等式f x 3 2 當x m 2m2 時 不等式f x x 1 恒成立 求實數m的取值范圍 解 1 m 1時 f x x 1 2x 1 f x 3 解得x 1或x 1 考向一 考向二 考向三 考向四 考向一 考向二 考向三 考向四 解題策略二求函數最值構造不等式求參數范圍例2已知函數f x x2 ax 4 g x x 1 x 1 1 當a 1時 求不等式f x g x 的解集 2 若不等式f x g x 的解集包含 1 1 求a的取值范圍 解 1 當a 1時 不等式f x g x 等價于x2 x x 1 x 1 4 0 當x 1時 式化為x2 3x 4 0 無解 當 1 x 1時 式化為x2 x 2 0 從而 1 x 1 考向一 考向二 考向三 考向四 2 當x 1 1 時 g x 2 所以f x g x 的解集包含 1 1 等價于當x 1 1 時f x 2 又f x 在 1 1 的最小值必為f 1 與f 1 之一 所以f 1 2且f 1 2 得 1 a 1 所以a的取值范圍為 1 1 解題心得1 對于求參數范圍問題 可將已知條件進行等價轉化 得到含有參數的不等式恒成立 此時通過求函數的最值得到關于參數的不等式 解不等式得參數范圍 2 解答此類問題應熟記以下轉化 f x a恒成立 f x min a f x a有解 f x max a f x a無解 f x max a f x a無解 f x min a 考向一 考向二 考向三 考向四 對點訓練2 2018全國 理23 設函數f x 5 x a x 2 1 當a 1時 求不等式f x 0的解集 2 若f x 1 求a的取值范圍 可得f x 0的解集為 x 2 x 3 2 f x 1等價于 x a x 2 4 而 x a x 2 a 2 且當x 2時等號成立 故f x 1等價于 a 2 4 由 a 2 4可得a 6或a 2 所以a的取值范圍是 6 2 考向一 考向二 考向三 考向四 不等式的證明例3已知a 0 b 0 a3 b3 2 證明 1 a b a5 b5 4 2 a b 2 證明 1 a b a5 b5 a6 ab5 a5b b6 a3 b3 2 2a3b3 ab a4 b4 4 ab a2 b2 2 4 2 因為 a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 所以 a b 3 8 因此a b 2 考向一 考向二 考向三 考向四 解題心得不等式證明的常用方法是 比較法 綜合法與分析法 其中運用綜合法證明不等式時 主要是運用基本不等式證明 與絕對值有關的不等式證明常用絕對值三角不等式 證明過程中一方面要注意不等式成立的條件 另一方面要善于對式子進行恰當的轉化 變形 考向一 考向二 考向三 考向四 對點訓練3設a b c d均為正數 且a b c d 證明 考向一 考向二 考向三 考向四 2 若 a b cd 因為a b c d 所以ab cd 于是 a b 2 a b 2 4ab c d 2 4cd c d 2 因此 a b c d 考向一 考向二 考向三 考向四 求最值解題策略一利用基本不等式求最值 1 求a3 b3的最小值 2 是否存在a b 使得2a 3b 6 并說明理由 考向一 考向二 考向三 考向四 解題心得若題設條件有 或者經過化簡題設條件得到 兩個正數和或兩個正數積為定值 則可利用基本不等式求兩個正數積的最大值或兩個正數和的最小值 考向一 考向二 考向三 考向四 對點訓練4已知a 0 b 0 函數f x x a 2x b 的最小值為1 1 求證 2a b 2 2 若a 2b tab恒成立 求實數t的最大值 考向一 考向二 考向三 考向四 2 解 a 2b tab恒成立 考向一 考向二 考向三 考向四 解題策略二利用柯西不等式求最值 考向一 考向二 考向三 考向四 解題心得利用柯西不等式求最值時 一定要滿足柯西不等式的形式 考向一 考向二 考向三 考向四 對點訓練5 2018江蘇 21D 若x y z為實數 且x 2y 2z 6 求x2 y2 z2的最小值 解 由柯西不等式 得 x2 y2 z2 12 22 22 x 2y 2z 2 因為x 2y 2z 6 所以x2 y2 z2 4 所以x2 y2 z2的最小值為4 考向一 考向二 考向三 考向四 絕對值三角不等式的應用 1 證明f x 2 2 若f 3 5 求a的取值范圍 1 證明 由a 0 所以f x 2 考向一 考向二 考向三 考向四 解題心得絕對值三角不等式 基本不等式在解決多變量代數式的最值問題中有著重要的應用 無論運用絕對值三角不等式還是運用基本不等式時應注意等號成立的條件 考向一 考向二 考向三 考向四 對點訓練6已知f x x a x 3 1 當a 1時 求f x 的最小值 2 若不等式f x 3的解集非空 求a的取值范圍 解 1 當a 1時 f x x 1 x 3 x 1 x 3 2 f x 的最小值為2 當且僅當1 x 3時取得最小值 2 x R時 恒有 x a x 3 x a x 3 3 a 不等式f x 3的解集非空 3 a 3 0 a 6