高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九章 概率與統(tǒng)計(jì) 第5講 用樣本估計(jì)總體課件 文.ppt

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第5講用樣本估計(jì)總體 1 用樣本估計(jì)總體 通常我們對(duì)總體作出的估計(jì)一般分成兩種 一種是用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布 另一種是用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 2 統(tǒng)計(jì)圖 1 頻率分布直方圖 求極差 極差是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差 決定組距和組數(shù) 當(dāng)樣本容量不超過(guò)100時(shí) 常分成5 12組 組距 極差組數(shù) 將數(shù)據(jù)分組 通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開(kāi)區(qū)間 最后一組取閉區(qū)間 也可以將樣本數(shù)據(jù)多取一位小數(shù)分組 列頻率分布表 登記頻數(shù) 計(jì)算頻率 列出頻率分布表 將樣本數(shù)據(jù)分成若干個(gè)小組 每個(gè)小組內(nèi)的樣本個(gè)數(shù)稱作頻數(shù) 頻數(shù)與樣本容量的比值叫做這一小組的頻率 頻率反映各個(gè)數(shù)據(jù)在每組所占比例的大小 繪制頻率分布直方圖 把橫軸分成若干段 每一段對(duì)應(yīng)一個(gè)組距 然后以線段為底作一小長(zhǎng)方形 它的高等于該組的 頻率組距 這樣得到一系列的長(zhǎng)方形 每個(gè)長(zhǎng)方形的面積恰好是該 組上的頻率 這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖 各個(gè)長(zhǎng)方形的 面積總和等于 1 2 頻率分布折線圖和總體密度曲線 頻率分布折線圖 連接頻率分布直方圖中各長(zhǎng)方形上端 的中點(diǎn) 就得頻率分布折線圖 總體密度曲線 隨著樣本容量的增加 作圖時(shí)所分的組數(shù)增加 組距減小 相應(yīng)的頻率分布折線圖就會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑的曲線 統(tǒng)計(jì)中稱之為總體密度曲線 3 莖葉圖 當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時(shí) 用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好 它不但可以保留所有信息 而且可以隨時(shí)記錄 給數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來(lái)方便 3 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 1 眾數(shù) 中位數(shù) 平均數(shù) 眾數(shù) 在一組數(shù)據(jù)中 出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù) 中位數(shù) 將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列 把處在 位置的一個(gè)數(shù)據(jù) 或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù) 叫做這組數(shù)據(jù)的 中位數(shù) 最中間 在頻率分布直方圖中 中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等 2 樣本方差 標(biāo)準(zhǔn)差 其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項(xiàng) n是樣本容量 x是 標(biāo)準(zhǔn)差是反映總體波動(dòng)大小的特征數(shù) 樣本方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方 通常用樣本方差估計(jì)總體方差 當(dāng)樣本容量接近總體 容量時(shí) 樣本方差接近總體方差 平均數(shù) 1 2015年江蘇 已知一組數(shù)據(jù)4 6 5 8 7 6 那么這組數(shù)據(jù)的 平均數(shù)為 6 2 2015年重慶 重慶市2013年各月的平均氣溫 單位 數(shù)據(jù)的莖葉圖 如圖9 5 1 如下 圖9 5 1 則這組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是 B A 19 B 20 C 21 5 D 23 解析 由莖葉圖可知總共12個(gè)數(shù)據(jù) 處在正中間的兩個(gè)數(shù)是第六和第七個(gè)數(shù) 它們都是20 由中位數(shù)的定義可知 其中位數(shù)就是20 故選B 3 從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué) 將他們的身高 單位 cm 數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖 如圖9 5 2 由圖中數(shù)據(jù)可知身高 在 120 130 內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為 C 圖9 5 2 A 20 B 25 C 30 D 35 4 2013年重慶 以下莖葉圖 如圖9 5 3 記錄了甲 乙兩組各五名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中的成績(jī) 單位 分 圖9 5 3已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15 乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16 8 則x y的值分別為 A 2 5 B 5 5 C 5 8 D 8 8 解析 甲組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排 最中間那個(gè)數(shù)為15 則x 5 乙組平均數(shù)為16 8 則乙組數(shù)據(jù)的總和為16 8 5 84 則y 84 9 15 18 24 10 8 答案 C 考點(diǎn)1 頻率分布直方圖的繪制及其應(yīng)用 例1 2014年新課標(biāo) 從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件 測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值 由測(cè)量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表 1 如圖9 5 4 在表格中作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖 圖9 5 4 2 估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差 同一組中的 數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表 3 根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù) 能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合 質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80 的規(guī)定 解 1 頻率分布直方圖如圖D55 圖D55 2 質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為 x 80 0 06 90 0 26 100 0 38 110 0 22 120 0 08 100 質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為 s2 20 2 0 06 10 2 0 26 0 0 38 102 0 22 202 0 08 104 所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計(jì)值為100 方差 的估計(jì)值為104 3 質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計(jì)值為0 38 0 22 0 08 0 68 由于該估計(jì)值小于0 8 故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合 質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80 的規(guī)定 規(guī)律方法 用頻率分布直方圖解決相關(guān)問(wèn)題時(shí) 應(yīng)正確理解圖表中各個(gè)量的意義 識(shí)圖掌握信息是解決該類問(wèn)題的關(guān) 鍵 頻率分布直方圖有以下幾個(gè)要點(diǎn) 縱軸表示 頻率組距 頻率分布直方圖中各長(zhǎng)方形高的比也就是其頻率之比 直方圖中每一個(gè)矩形的面積是樣本數(shù)據(jù)落在這個(gè)區(qū)間上的頻率 所有的小矩形的面積之和等于1 即頻率之和為1 互動(dòng)探究 1 2013年四川 某學(xué)校隨機(jī)抽取20個(gè)班 調(diào)查各班中有網(wǎng)上購(gòu)物經(jīng)歷的人數(shù) 所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖9 5 5 以組距為5將數(shù)據(jù)分組成 0 5 5 10 30 35 35 40 時(shí) 所作的頻 率分布直方圖是 圖9 5 5 AC BD 解析 根據(jù)題意 列頻率分布表得 故選A 答案 A 2 2014年江蘇 某種樹(shù)木的底部周長(zhǎng)的取值范圍是 80 130 它的頻率分布直方圖如圖9 5 6 則在抽測(cè)的60株樹(shù)木中 有 株樹(shù)木的底部周長(zhǎng)小于100cm 24 圖9 5 6解析 由題意知 在抽測(cè)的60株樹(shù)木中 底部周長(zhǎng)小于100cm的株數(shù)為 0 015 0 025 10 60 24 株 考點(diǎn)2莖葉圖的應(yīng)用 例2 2014年新課標(biāo) 某市為了考核甲 乙兩部門的工作情況 隨機(jī)訪問(wèn)了50位市民 根據(jù)這50位市民對(duì)這兩部門的評(píng)分 評(píng)分越高表明市民的評(píng)價(jià)越高 繪制莖葉圖 如圖 9 5 7 圖9 5 7 的是66 68 故樣本中位數(shù)為 1 分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲 乙兩部門評(píng)分的中位數(shù) 2 分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲 乙兩部門的評(píng)分高于90分的概率 3 根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對(duì)甲 乙兩部門的評(píng)價(jià) 解 1 由所給莖葉圖知 50位市民對(duì)甲部門的評(píng)分由小到大排序 排在第25 26位的是75 75 故樣本中位數(shù)為75 所以該市的市民對(duì)甲部門評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值是75 50位市民對(duì)乙部門的評(píng)分由小到大排序 排在第25 26位 66 682 67 所以該市的市民對(duì)乙 部門評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值是67 0 1 0 16 2 由所給莖葉圖知 50位市民對(duì)甲 乙部門的評(píng)分高于 90分的比率分別為 550 850 故該市的市民對(duì)甲 乙部門的評(píng)分高于90分的概率的估計(jì)值分別為0 1 0 16 3 由所給莖葉圖知 市民對(duì)甲部門的評(píng)分的中位數(shù)高于對(duì)乙部門的評(píng)分的中位數(shù) 而且由莖葉圖可以大致看出對(duì)甲部門的評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)差要小于對(duì)乙部門的評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)差 說(shuō)明該市市民對(duì)甲部門的評(píng)價(jià)較高 評(píng)價(jià)較為一致 對(duì)乙部門的評(píng)價(jià)較低 評(píng)價(jià)差別較大 注 考生利用其他統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行分析 結(jié)論合理的同樣給分 互動(dòng)探究 3 2013年新課標(biāo) 為了比較兩種治療失眠癥的藥 分別稱為A藥 B藥 的療效 隨機(jī)地選取20位患者服用A藥 20位患者服用B藥 這40位患者服用一段時(shí)間后 記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r(shí)間 單位 h 試驗(yàn)的觀測(cè)結(jié)果如下 服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間 服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間 1 分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù) 從計(jì)算結(jié)果看 哪種藥的 療效更好 2 根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖 如圖9 5 8 從莖葉圖看 哪種藥的療效更好 圖9 5 8 解 1 設(shè)A藥觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x B藥觀測(cè)數(shù)據(jù)的平 均數(shù)為y 由觀測(cè)結(jié)果可得 x 0 6 1 2 1 2 1 5 1 5 1 8 2 2 2 3 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 7 2 8 2 9 3 0 3 1 3 2 3 5 2 3 y 0 5 0 5 0 6 0 8 0 9 1 1 1 2 1 2 1 3 1 4 1 6 1 7 1 8 1 9 2 1 2 4 2 5 2 6 2 7 3 2 1 6 由以上計(jì)算結(jié)果可得x y 因此可看出A藥的療效更好 2 由觀測(cè)結(jié)果可繪制莖葉圖如圖D56 圖D56 從以上莖葉圖可以看出 A藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有 710 的葉集 710 的葉集中在莖 中在莖 2 3 上 而B(niǎo)藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有 0 1 上 由此可看出A藥的療效更好 考點(diǎn)3用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征例3 2015年廣東 某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表 1 用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本 且在第一分段里用隨機(jī)抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44 列出樣本的年齡數(shù)據(jù) 2 計(jì)算 1 中樣本的平均值x和方差s2 3 36名工人中年齡在x s與x s之間有多少人 所占的 百分比是多少 精確到0 01 解 1 依題所抽樣本編號(hào)是一個(gè)首項(xiàng)為2 公差為4的等差數(shù)列 故其所有樣本編號(hào)依次為2 6 10 14 18 22 26 30 34 對(duì)應(yīng)樣本的年齡數(shù)據(jù)依次為44 40 36 43 36 37 44 43 37 2 由 1 可得其樣本的均值為 規(guī)律方法 1 眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn) 但無(wú) 法客觀的反映總體特征 2 中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線 3 標(biāo)準(zhǔn)差 方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小 標(biāo)準(zhǔn)差 方差越大 數(shù)據(jù)越分散 標(biāo)準(zhǔn)差 方差越小 數(shù)據(jù)越集中 x 互動(dòng)探究 4 2014年陜西 某公司10位員工的月工資 單位 元 為x1 x2 x10 其均值和方差分別為和s2 若從下個(gè)月起每位員工的月工資增加100元 則這10位員工下個(gè)月工資的均值和 方差分別為 答案 D 難點(diǎn)突破 統(tǒng)計(jì)圖與概率的結(jié)合 在高考中常以頻率分布直方圖或莖葉圖的形式出現(xiàn) 考查 統(tǒng)計(jì)與概率的知識(shí) 這也是近幾年高考的熱點(diǎn) 例題 2014年重慶 20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(jī) 單位 分 的頻數(shù)分布直方圖 如圖9 5 9 如下 圖9 5 9 1 求頻率分布直方圖中a的值 2 分別求出成績(jī)落在 50 60 與 60 70 中的學(xué)生人數(shù) 3 從成績(jī)?cè)?50 70 的學(xué)生中任選2人 求此2人的成績(jī)都 在 60 70 中的概率 解 1 頻率分布直方圖的組距為10 2a 3a 6a 7a 2a 10 1 a 1200 0 005 2 成績(jī)落在 50 60 的學(xué)生人數(shù)為2 0 005 10 20 2 成績(jī)落在 60 70 的學(xué)生人數(shù)為3 0 005 10 20 3 3 記成績(jī)落在 50 60 的學(xué)生為A1 A2 成績(jī)落在 60 70 的學(xué)生為B1 B2 B3 從成績(jī)?cè)?50 70 的學(xué)生中任選2人 共有基本事件10個(gè) 即 A1 A2 A1 B1 A1 B2 A1 B3 A2 B1 A2 B2 A2 B3 B1 B2 B1 B3 B2 B3 此2人的成績(jī)都在 60 70 中的基本事件有 B1 B2 B1 B3 B2 B3 共3個(gè) 故所求概率為p 1 用樣本頻率分布來(lái)估計(jì)總體分布的重點(diǎn)是頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計(jì)總體分布 難點(diǎn)是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應(yīng)用 在計(jì)數(shù)和計(jì)算時(shí)一定要準(zhǔn)確 在繪制小矩形時(shí) 寬窄要一致 通過(guò)頻率分布表和頻率分布直方圖可以對(duì)總體作出估計(jì) 2 利用頻率分布直方圖求眾數(shù) 中位數(shù)與平均數(shù)時(shí) 應(yīng)注意這三者的區(qū)分 1 最高的矩形的中點(diǎn)即眾數(shù) 2 中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積是相等的 3 平均數(shù)是頻率分布直方圖的 重心 等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和 3 莖葉圖 頻率分布表和頻率分布直方圖都是用來(lái)描述樣本數(shù)據(jù)的分布情況的 莖葉圖由所有樣本數(shù)據(jù)構(gòu)成 沒(méi)有損失任何樣本信息 可以隨時(shí)記錄 而頻率分布表和頻率分布直方圖則損失了樣本的一些信息 必須在完成抽樣后才能制作