數(shù)學(xué)第五章 平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 5.2 平面向量基本定理及向量的坐標表示 文 新人教A版

5 5. .2 2平面向量基本定理及向平面向量基本定理及向量的坐標表示量的坐標表示 -2-知識梳理雙基自測23415自測點評1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)1,2,使a=.其中,不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組.把一個向量分解為兩個的向量,叫做把向量正交分解.不共線 1e1+2e2 基底 互相垂直 -3-知識梳理雙基自測自測點評234152.平面向量的坐標表示在平面直角坐標系中,分別取與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量i,j作為基底,a為坐標平面內(nèi)的任意向量,以坐標原點O為起點作 =a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數(shù)x,y,使得 =xi+yj,因此a=xi+yj,我們把實數(shù)對叫作向量a的坐標,記作a=.(x,y) (x,y) -4-知識梳理雙基自測自測點評234153.平面向量的坐標運算(1)向量坐標的求法若向量的起點是坐標原點,則終點坐標即為向量的坐標.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則 =.(2)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=,a-b=,a=,(x2-x1,y2-y1) (x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (x1,y1) -5-知識梳理雙基自測自測點評234154.平面向量共線的坐標表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab .x1y2-x2y1=0 -6-知識梳理雙基自測自測點評234155.向量的夾角已知兩個向量a和b,作 則AOB=(0180)叫做向量a與b的夾角.如果向量a與b的夾角是90,我們說a與b垂直,記作.非零 ab 2-7-知識梳理雙基自測3415自測點評1.下列結(jié)論正確的打“”,錯誤的打“”.(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底. ()(2)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標不變. ()(3)在ABC中,向量 的夾角為ABC. ()(4)已知向量a,b是一組基底,若實數(shù)1,1,2,2滿足1a+1b=2a+2b,則1=2,1=2. ()(5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab的充要條件可表示成() 答案 答案關(guān)閉(1)(2)(3)(4)(5) -8-知識梳理雙基自測自測點評23415A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4) 答案 答案關(guān)閉A -9-知識梳理雙基自測自測點評234153.(2017山東,文11)已知向量a=(2,6),b=(-1,).若ab,則=. 答案解析解析關(guān)閉ab,2-6(-1)=0,=-3. 答案解析關(guān)閉-3-10-知識梳理雙基自測自測點評234154.(2017山西太原一模)已知a=(1,-1),b=(t,1),若(a+b)(a-b),則實數(shù)t=. 答案解析解析關(guān)閉由題意,a=(1,-1),b=(t,1),則a+b=(1+t,0),a-b=(1-t,-2).因為(a+b)(a-b),所以(1+t)(-2)=(1-t)0=0,解得t=-1. 答案解析關(guān)閉-1-11-知識梳理雙基自測自測點評234155.設(shè)向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m=. 答案解析解析關(guān)閉|a+b|2=|a|2+|b|2,(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2. 答案解析關(guān)閉-2 -12-知識梳理雙基自測自測點評1.能作為基底的兩個向量必須是不共線的.2.向量的坐標與點的坐標不同,向量平移后,其起點和終點的坐標都變了,但由于向量的坐標均為終點坐標減去起點坐標,故平移后坐標不變.3.求向量的夾角要注意向量的方向,否則,得到的可能是向量夾角的補角.4.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab的充要條件不能表示成 因為x2,y2有可能等于0,所以應(yīng)表示為x1y2-x2y1=0.-13-考點1考點2考點3(3)設(shè)e1,e2是平面內(nèi)一組基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,則向量e1+e2可以表示為另一組基向量a,b的線性組合,即e1+e2=.思考用平面向量基本定理解決問題的一般思路是什么?C 2 -14-考點1考點2考點3-15-考點1考點2考點3(3)由題意,設(shè)e1+e2=ma+nb.因為a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.-16-考點1考點2考點3解題心得1.應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是:先選擇一組基底,再通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件,把相關(guān)向量用這一組基底表示出來.-17-考點1考點2考點3 答案 答案關(guān)閉-18-考點1考點2考點3-19-考點1考點2考點3例2(1)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),則向量A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)(2)已知點M(5,-6)和向量a=(1,-2),若 =-3a,則點N的坐標為()A.(2,0)B.(-3,6)C.(6,2)D.(-2,0)思考利用向量的坐標運算解決問題的一般思路是什么? 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-20-考點1考點2考點3解題心得向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行的.解題過程中,常利用向量相等則其坐標相同這一原則,通過列方程(組)來進行求解.-21-考點1考點2考點3對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練2(1)在ABCD中,AC為一條對角線,若A.(-2,-4)B.(-3,-5)C.(3,5)D.(2,4)(2)已知向量a=(2,-1),b=(0,1),則|a+2b|=() 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-22-考點1考點2考點3例3(1)(2016湖北武昌區(qū)五月調(diào)考)已知點P(-1,2),線段PQ的中點M的坐標為(1,-1).若向量 與向量a=(,1)共線,則=.(2)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,設(shè)向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若pq,則角C的大小為.思考向量共線有哪幾種表示形式?兩個向量共線的充要條件有哪些作用? 答案 答案關(guān)閉-23-考點1考點2考點3-24-考點1考點2考點3解題心得1.向量共線的兩種表示形式設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),aba=b(b0);abx1y2-x2y1=0.至于使用哪種形式,應(yīng)視題目的具體條件而定,一般情況涉及坐標的應(yīng)用.2.兩個向量共線的充要條件的作用判斷兩個向量是否共線(平行),可解決三點共線的問題;另外,利用兩個向量共線的充要條件可以列出方程(組),求出未知數(shù)的值.-25-考點1考點2考點3對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練3(1)(2017安徽馬鞍山一模)已知向量a=(1,2),b=(x,6),且ab,則|a-b|=. 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-26-考點1考點2考點31.只要兩個向量不共線,就可以作為平面的一組基底,對基底的選取不唯一,平面內(nèi)任意向量a都可被這個平面的一組基底e1,e2線性表示,且在基底確定后,這樣的表示是唯一的.2.平面向量基本定理的本質(zhì)是運用向量加法的平行四邊形法則,將向量進行分解.3.向量的坐標表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示,其中坐標運算法則是運算的關(guān)鍵,通過坐標運算可將一些幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題處理,從而用向量可以解決平面解析幾何中的許多相關(guān)問題.4.在向量的運算中要注意待定系數(shù)法、方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的運用.-27-考點1考點2考點35.三個結(jié)論向量中必須掌握的三個結(jié)論(1)若a與b不共線,a+b=0,則=0;(2)已知 (,為常數(shù)),則A,B,C三點共線的充要條件是+=1;(3)平面向量的基底中一定不含零向量.-28-考點1考點2考點31.要注意點的坐標和向量的坐標之間的關(guān)系,向量的終點坐標減去起點坐標就是向量坐標,當向量的起點是原點時,其終點坐標就是向量坐標.2.若a,b為非零向量,當ab時,a,b的夾角為0或180,求解時容易忽視其中一種情形而導(dǎo)致出錯.