高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何課件 湘教版.ppt

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第八章解析幾何 8 1直線的方程8 2兩直線的位置關(guān)系8 3圓的方程8 4直線與圓 圓與圓的位置關(guān)系8 5橢圓8 6雙曲線8 7拋物線8 8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系8 9曲線與方程 1 直線的傾斜角與斜率 1 直線的傾斜角 定義 當直線l與x軸相交時 我們?nèi)軸作為基準 x軸 與直線l 方向之間所成的角 叫做直線l的傾斜角 當直線l與x軸平行或重合時 規(guī)定它的傾斜角為 傾斜角的范圍為 8 1直線的方程 2 直線的斜率 定義 一條直線的傾斜角 的叫做這條直線的斜率 斜率常用小寫字母k表示 即k 傾斜角是90 的直線斜率不存在 過兩點的直線的斜率公式經(jīng)過兩點P1 x1 y1 P2 x2 y2 x1 x2 的直線的斜率公式為k 正切值tan 思考探究 直線的傾斜角 越大 斜率k就越大 這種說法正確嗎 2 直線方程的五種形式 3 過P1 x1 y1 P2 x2 y2 的直線方程的特例 1 若x1 x2 且y1 y2時 直線垂直于x軸 方程為 2 若x1 x2 且y1 y2時 直線垂直于y軸 方程為 3 若x1 x2 0 且y1 y2時 直線即為y軸 方程為 4 若x1 x2 且y1 y2 0時 直線即為x軸 方程為 x x1y y1x 0y 0 1 若直線l與直線y 1 x 7分別交于點P Q 且線段PQ的中點坐標為 1 1 則直線l的斜率為 AB C D 5 過點M 3 4 且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程為 直線的傾斜角與斜率 直線方程有五種形式 在設(shè)所求直線的方程時 一定要注意所設(shè)方程的適用范圍 如用點斜式時 要考慮到直線的斜率不存在的情況 以免解答不嚴密或漏解 又如直線與坐標軸圍成三角形面積問題 常設(shè)直線的截距式方程 注意最后的結(jié)果一般要將方程化為一般式 直線的方程 根據(jù)所給條件求直線的方程 1 直線過點 4 0 傾斜角的正弦值為 2 直線過點 3 4 且在兩坐標軸上的截距之和為12 3 直線過點 5 10 且到原點的距離為5 4 過點A 1 1 與已知直線l1 2x y 6 0相交于B點 且 AB 5 解析 1 由題設(shè)知 該直線的斜率存在 故可采用點斜式 設(shè)傾斜角為 則sin 0 從而cos 則k tan 故所求直線方程為y x 4 即x 3y 4 0或x 3y 4 0 2 由題設(shè)知截距不為0 設(shè)直線方程為 1 又直線過點 3 4 從而 1 解得a 4或a 9 故所求直線方程為4x y 16 0或x 3y 9 0 3 當斜率不存在時 所求直線方程為x 5 0 當斜率存在時 設(shè)其為k 則所求直線方程為y 10 k x 5 即kx y 10 5k 0 由點線距離公式 得 10 5k k2 1 5 解得k 34 故所求直線方程為3x 4y 25 0 綜上知 所求直線方程為x 5 0或3x 4y 25 0 變式訓(xùn)練 2 求適合下列條件的直線方程 1 經(jīng)過點P 3 2 且在兩坐標軸上的截距相等 2 經(jīng)過點A 1 3 傾斜角等于直線y 3x的傾斜角的2倍 直線方程的應(yīng)用 1 利用直線方程解決問題時 選擇適當?shù)闹本€方程形式 可以簡化運算 1 已知一點 通常選擇點斜式 2 已知斜率 選用斜截式 3 已知截距或兩點選用截距式或兩點式 如求直線與坐標軸圍成的三角形面積或周長問題時 設(shè)直線的斜截式或截距式比較方便 2 在利用方程解決實際問題的過程中 要善于將所求的量 用坐標表示 然后通過坐標滿足的方程進行消元 最終將目標表示為x的函數(shù) 再利用求函數(shù)最值的方法來解決問題 3 使用直線方程時 一定要注意限制條件以免解題過程中丟解 如點斜式的使用條件是直線必須有斜率 截距式的使用條件是截距存在且不為零 兩點式的使用條件是直線不與坐標軸垂直 4 兩個相互獨立的條件確定一條直線 因此 求直線方程時 首先分析是否具備兩個相互獨立的條件 然后恰當?shù)剡x用直線方程的形式 準確地寫出直線方程 要注意若不能斷定直線具有斜率時 應(yīng)對k的存在與否加以討論 通過對近兩年高考試題的統(tǒng)計分析可以看出 直線方程在近幾年高考中多以中低檔題出現(xiàn) 主要考查基礎(chǔ)知識和基本方法 對直線傾斜角和斜率的考查 主要考查傾斜角與斜率的關(guān)系 考查直線斜率的幾何意義 而直線方程 主要考查用定義法和待定系數(shù)法求方程 是?？碱}型 閱后報告 1 求直線方程時 要考慮對斜率是否存在 截距相等時是否為零以及相關(guān)位置關(guān)系進行分類討論 2 本題需對斜率k為0和不為0進行分類討論 易錯點是忽略斜率不存在的情況 2 2014 福建卷 已知直線l過圓x2 y 3 2 4的圓心 且與直線x y 1 0垂直 則l的方程是 A x y 2 0B x y 2 0C x y 3 0D x y 3 0 解析 由直線l與直線x y 1 0垂直 可設(shè)直線l的方程為x y m 0 又直線l過圓x2 y 3 2 4的圓心 0 3 則m 3 所以直線l的方程為x y 3 0 故選D 答案 D 8 2兩直線的位置關(guān)系 1 兩條直線平行與垂直的判定 1 兩條直線平行對于兩條不重合的直線l1 l2 其斜率分別為k1 k2 則有l(wèi)1 l2 特別地 當直線l1 l2的斜率都不存在時 l1與l2的關(guān)系為 k1 k2平行 2 兩條直線垂直如果兩條直線l1 l2斜率存在 設(shè)為k1 k2 則l1 l2 思考探究 1 兩條直線l1 l2垂直的充要條件是斜率之積為 1 這句話正確嗎 提示 不正確 由兩直線的斜率之積為 1 可以得出兩直線垂直 反過來 兩直線垂直 斜率之積不一定為 1 如果l1 l2中有一條直線的斜率不存在 另一條直線的斜率為0時 l1與l2互相垂直 k1 k2 1 交點坐標相交交點坐標無解平行 思考探究 2 使用點到直線的距離公式和兩條平行線間的距離公式時應(yīng)注意什么 提示 1 直線方程必須化成一般式Ax By C 0的形式 2 兩平行線間的距離公式使用時還要注意x y的系數(shù)必須相同時才能讀出C1 C2的值 3 已知直線l過點P 3 4 且與點A 2 2 B 4 2 等距離 則直線l的方程為 A 2x 3y 18 0B 2x y 2 0C 3x 2y 18 0或x 2y 2 0D 2x 3y 18 0或2x y 2 0 解析 由題意可知所求直線斜率存在 故設(shè)所求直線方程為y 4 k x 3 即kx y 4 3k 0 由已知 得 2k 2 4 3k 1 k2 4k 2 4 3k 1 k2 k 2或 23 所求直線l的方程為2x y 2 0或2x 3y 18 0 答案 D 兩條直線的位置關(guān)系 直線系方程 運用直線系方程 有時會給解題帶來方便 常見的直線系方程有 1 與直線Ax By C 0平行的直線系方程是Ax By m 0 m R且m C 2 與直線Ax By C 0垂直的直線系方程是Bx Ay m 0 m R 3 斜率為k 定值 的平行線系方程為y kx b 其中k為常數(shù) b為參數(shù) 求經(jīng)過直線l1 3x 2y 1 0和l2 5x 2y 1 0的交點 且垂直于直線l3 3x 5y 6 0的直線l的方程 距離問題 應(yīng)用點到直線的距離公式和兩平行線的距離公式處理問題時 直線方程應(yīng)化為一般式 特別是使用兩平行線距離公式時 兩條直線方程中的x y前的系數(shù)必須分別對應(yīng)相等 在對稱問題中 點關(guān)于直線的對稱是最基本也是最重要的對稱 處理這種問題關(guān)鍵是抓住垂直與平分兩個幾何條件 轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系列方程求解 也可以先求出過點A與l垂直的直線方程 再求中點坐標 處理線關(guān)于線的對稱可以轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決 直線關(guān)于點的對稱都可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱來處理 結(jié)合 代入法 求軌跡方程的思想方法解題也是這類問題的一個通法 對稱問題 變式訓(xùn)練 4 一條光線經(jīng)過P 2 3 點 射在直線l x y 1 0上 反射后穿過點Q 1 1 1 求入射光線的方程 2 求這條光線從P到Q的長度 1 兩條直線平行與垂直的判斷與應(yīng)用 1 兩條直線斜率相等或斜率都不存在是兩直線平行的必要而不充分條件 此處還要注意 不過同一點 這一條件 2 兩條直線斜率乘積等于 1是兩條直線垂直的充分不必要條件 注意一條直線斜率不存在 一條直線斜率為0的情況 從近兩年的高考試題來看 兩條直線的位置關(guān)系 點到直線的距離 兩條平行線間的距離 兩點間的距離是高考的熱點 題型既有選擇題 填空題 又有解答題 難度為中 低檔題 客觀題主要考查距離公式的應(yīng)用 主觀題主要是在知識交匯點處命題 全面考查基本概念 基本運算能力 1 2013 重慶卷 設(shè)P是圓 x 3 2 y 1 2 4上的動點 Q是直線x 3上的動點 則 PQ 的最小值為 A 6B 4C 3D 2 解析 畫出已知圓 利用數(shù)形結(jié)合法求解 如圖 圓心M 3 1 與定直線x 3的最短距離為 MQ 3 3 6 又圓的半徑為2 故所求最短距離為6 2 4 答案 B 2 2013 四川卷 在平面直角坐標系內(nèi) 到點A 1 2 B 1 5 C 3 6 D 7 1 的距離之和最小的點的坐標是 8 3圓的方程 思考探究 二元二次方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圓的條件是什么 求圓的方程 常見的求圓的方程的方法有兩種 一是利用圓的幾何特征 求出圓心坐標和半徑 寫出圓的標準方程 二是利用待定系數(shù)法 它的應(yīng)用關(guān)鍵是根據(jù)已知條件選擇標準方程還是一般方程 與圓有關(guān)的軌跡問題 求與圓有關(guān)的軌跡時 根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下做法 1 直接法 直接根據(jù)題目提供的條件列出方程 2 定義法 根據(jù)圓 直線等定義列方程 3 幾何法 利用圓與圓的幾何性質(zhì)列方程 4 代入法 找到要求點與已知點的關(guān)系 代入已知點滿足的關(guān)系式等 此外還有交軌法 參數(shù)法等 不論哪種方法 充分利用圓與圓的幾何性質(zhì) 找出動點與定點之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵 與圓有關(guān)的最值問題 2 解決軌跡問題 應(yīng)注意以下幾點 1 求方程前必須建立平面直角坐標系 若題目中有點的坐標 則無需建系 否則曲線就不可轉(zhuǎn)化為方程 2 一般地 設(shè)點時 將動點坐標設(shè)為 x y 其他與此相關(guān)的點設(shè)為 x0 y0 等 3 求軌跡與求軌跡方程是不同的 求軌跡方程得出方程即可 而求軌跡在得出方程后還要指出方程的曲線是什么圖形 從近兩年的高考試題來看 求圓的方程或已知圓的方程求圓心坐標 半徑等是高考的熱點 題型既有選擇題 填空題 又有解答題 客觀題突出了 小技巧 主要考查圓的標準方程 一般方程 主觀題往往在知識交匯處命題 除考查圓的標準方程 一般方程外 還考查待定系數(shù)法 方程思想等 8 4直線與圓 圓與圓的位置關(guān)系 思考探究 用兩圓的方程組成的方程組有一解或無解時能否準確判定兩圓的位置關(guān)系 提示 不能 當兩圓方程組成的方程組有一解時 兩圓有外切 內(nèi)切兩種可能情況 當方程組無解時 兩圓有相離 內(nèi)含兩種可能情況 直線與圓的位置關(guān)系 判斷直線與圓的位置關(guān)系 常用兩種方法 一是判斷直線與圓的方程組成的方程組有無實數(shù)解 根據(jù)解的情況研究直線與圓的位置關(guān)系 二是依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系 圓的切線及弦長問題 圓與圓的位置關(guān)系 討論兩圓的位置關(guān)系 可通過兩圓方程聯(lián)立的方程組的實數(shù)解個數(shù)來討論 但一方面討論實數(shù)解個數(shù)本身較繁 另一方面 有時單從實數(shù)解個數(shù)并不能完全反映兩圓的位置關(guān)系 如兩圓相離及內(nèi)含 其對應(yīng)方程組均無實數(shù)解 要區(qū)分它們 還需要驗證某個圓心是否在另一個圓內(nèi) 簡單的方法是用圓心距與兩圓半徑的關(guān)系來討論 與圓有關(guān)的綜合問題 變式訓(xùn)練 4 已知A 2 0 B 2 0 C m n 1 若m 1 n 3 求 ABC的外接圓的方程 2 若以線段AB為直徑的圓O過點C 異于點A B 直線x 2交直線AC于點R 線段BR的中點為D 試判斷直線CD與圓O的位置關(guān)系 并證明你的結(jié)論 解析 1 方法一設(shè)所求圓的方程為x2 y2 Dx Ey F 0 由題意可得4 2D F 0 4 2D F 0 1 3 D 3E F 0 解得D E 0 F 4 ABC的外接圓方程為x2 y2 4 0 即x2 y2 4 1 求切線時 若知道切點 則可直接利用公式 若過圓外一點求切線 一般運用圓心到直線的距離等于半徑來求 但注意應(yīng)有兩條切線 2 求圓的弦長問題 注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題 即用圓心與弦中點連線與弦垂直的性質(zhì) 可以用勾股定理或斜率之積為 1列方程來簡化運算 3 圓外一點P到圓O上任意一點距離的最小值為 PO r 最大值為 PO r 其中r為圓O的半徑 4 若兩圓相交時 把兩圓的方程作差消去x2和y2就得到兩圓的公共弦所在的直線方程 5 在解題過程中能適當利用圓系方程 有時可達到理想效果 圓系是具有某些共同性質(zhì)的圓的集合 從近兩年的高考試題來看 直線與圓的位置關(guān)系 弦長 圓與圓的位置關(guān)系等是高考的熱點 三種題型都有可能出現(xiàn) 難度屬中等偏高 客觀題主要考查直線與圓的位置關(guān)系 弦長等問題 主觀題考查較為全面 除考查直線與圓的位置關(guān)系 弦長等問題外 還考查基本運算 等價轉(zhuǎn)化 數(shù)形結(jié)合思想等 1 橢圓的定義平面內(nèi)到兩個定點F1 F2的距離之 等于常數(shù) 的點的軌跡叫做橢圓 這兩個定點叫做橢圓的 兩焦點間的距離叫做橢圓的 8 5橢圓 思考探究 2 橢圓離心率的大小與橢圓的扁平程度有怎樣的關(guān)系 提示 離心率越接近1 橢圓越扁 離心率越接近0 橢圓就越接近于圓 求橢圓的標準方程 1 求橢圓的標準方程 一般分三步完成 1 定型 確定它是橢圓 2 定位 判斷中心在原點 焦點在哪條坐標軸上 3 定量 建立關(guān)于基本量a b c e的關(guān)系式 解出即得所求標準方程 橢圓的幾何性質(zhì) 充分條件與必要條件的應(yīng)用 從近兩年的高考試題來看 橢圓的定義 橢圓的幾何性質(zhì) 直線與橢圓的位置關(guān)系 求橢圓的標準方程是高考的熱點 題型既有選擇題 填空題 又有解答題 難度屬中等偏高 部分解答題為較難題目 客觀題主要考查對橢圓的基本概念與性質(zhì)的理解及應(yīng)用 主觀題考查較為全面 在考查對橢圓基本概念與性質(zhì)的理解及應(yīng)用的同時 又考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 考查學(xué)生分析問題 解決問題的能力 運算能力以及數(shù)形結(jié)合思想 1 雙曲線的定義我們把平面內(nèi)與兩個定點F1 F2的距離的差的 等于常數(shù) 小于 的點的軌跡叫做雙曲線 這兩個定點叫做雙曲線的 兩焦點間的距離叫做雙曲線的 8 6雙曲線 思考探究 1 當定義中的常數(shù)等于 F1F2 或大于 F1F2 動點的軌跡分別是什么圖形 提示 結(jié)合圖形知 當常數(shù)等于 F1F2 時 動點的軌跡是兩條射線 當常數(shù)大于 F1F2 時 動點的軌跡不存在 思考探究 2 雙曲線的離心率的大小與雙曲線 開口 大小有怎樣的關(guān)系 提示 離心率越大 雙曲線的 開口 越大 1 雙曲線方程為x2 2y2 1 則它的左焦點的坐標為 A 2 2 0 B 5 2 0 C 6 2 0 D 3 0 雙曲線的定義 1 利用雙曲線的定義求軌跡方程 首先要充分利用幾何條件探求軌跡的曲線類型是否符合雙曲線的定義 2 常用定義解焦點三角形問題 變式訓(xùn)練 1 1 若雙曲線x2 4 y2 12 1上的一點P到它的右焦點的距離為8 則點P到它的左焦點的距離是 A 4B 12C 4或12D 6 2 已知F是雙曲線x2 4 y2 12 1的左焦點 A 1 4 P是雙曲線右支上的動點 則 PF PA 的最小值為 A 5B 5 4 3C 7D 9 3 已知F為雙曲線C 的左焦點 P Q為C上的點 若PQ的長等于虛軸長的2倍 點A 5 0 在線段PQ上 則 PQF的周長為 求雙曲線的標準方程 雙曲線的幾何性質(zhì) 1 雙曲線的幾何性質(zhì)的實質(zhì)是圍繞雙曲線中的 六點 兩個焦點 兩個頂點 兩個虛軸的端點 四線 兩條對稱軸 兩條漸近線 兩形 中心 焦點以及虛軸端點構(gòu)成的三角形 雙曲線上一點和兩焦點構(gòu)成的三角形 來研究它們之間的相互關(guān)系 明確a b c e的幾何意義及它們的相互關(guān)系 簡化解題過程 1 求雙曲線標準方程的方法 1 定義法 根據(jù)題目的條件 判斷是否滿足雙曲線的定義 若滿足 求出相應(yīng)的a b c即可求得方程 2 待定系數(shù)法 其步驟是 定位 確定雙曲線的焦點在哪個坐標軸上 設(shè)方程 根據(jù)焦點的位置設(shè)出相應(yīng)的雙曲線方程 定值 根據(jù)題目條件確定相關(guān)的系數(shù) 從近兩年的高考試題來看 雙曲線的定義 標準方程及幾何性質(zhì)是高考的熱點 題型大多為選擇題 填空題 難度為中等偏高 主要考查雙曲線的定義及幾何性質(zhì) 考查基本運算能力及等價轉(zhuǎn)化思想 思考探究 當定點F在定直線l上時 動點的軌跡是什么圖形 提示 當定點F在定直線l上時 動點的軌跡是過點F且與直線l垂直的直線 1 拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l l不經(jīng)過點F 距離 的點的軌跡叫做拋物線 點F叫做拋物線的 直線l叫做拋物線的 8 7拋物線 2 拋物線的標準方程及其簡單幾何性質(zhì) 1 若點P到直線x 1的距離比它到點 2 0 的距離小1 則點P的軌跡為 A 圓B 橢圓C 雙曲線D 拋物線 解析 由題意知 點P到點 2 0 的距離與P到直線x 2的距離相等 由拋物線定義得點P的軌跡是以 2 0 為焦點 以直線x 2為準線的拋物線 故選D 答案 D 4 已知過拋物線y2 4x的焦點F的直線交該拋物線于A B兩點 O是坐標原點 AF 2 則 BF OAB的面積是 解析 設(shè)A x0 y0 由拋物線定義知x0 1 2 x0 1 則直線AB x軸 BF AF 2 AB 4 故 OAB的面積S 12 AB OF 1 2 4 1 2 答案 22 拋物線的定義的應(yīng)用 變式訓(xùn)練 1 1 2014 鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測 已知拋物線x2 4y上有一條長為6的動弦AB 則AB的中點到x軸的最短距離為 2 2014 哈爾濱四校統(tǒng)考 已知拋物線方程為y2 4x 直線l的方程為x y 5 0 在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為d1 到直線l的距離為d2 則d1 d2的最小值為 3 已知拋物線y2 4x 過焦點F的直線與拋物線交于A B兩點 過A B分別作y軸垂線 垂足分別為C D 則 AC BD 的最小值為 拋物線的標準方程 1 已知拋物線的標準方程 可以確定拋物線的開口方向 焦點的位置及p的值 進一步確定拋物線的焦點坐標和準線方程 2 求拋物線的標準方程常用待定系數(shù)法 即利用題目中的已知條件確定p的值 拋物線焦點弦的性質(zhì) 設(shè)拋物線y2 2px p 0 的焦點為F 經(jīng)過點F的直線交拋物線于A B兩點 點C在拋物線的準線上 且BC x軸 證明 直線AC經(jīng)過原點O 直線與拋物線的位置關(guān)系 設(shè)拋物線方程為y2 2px p 0 直線Ax By C 0 將直線方程與拋物線方程聯(lián)立 消去x得到關(guān)于y的方程my2 ny q 0 1 若m 0 當 0時 直線與拋物線有兩個公共點 當 0時 直線與拋物線只有一個公共點 當 0時 直線與拋物線沒有公共點 2 若m 0 直線與拋物線只有一個公共點 此時直線與拋物線的對稱軸平行 物線C y mx2 m 0 焦點為F 直線2x y 2 0交拋物線C于A B兩點 P是線段AB的中點 過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q 1 求拋物線C的焦點坐標 2 若拋物線C上有一點R xR 2 到焦點F的距離為3 求此時m的值 3 是否存在實數(shù)m 使 ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形 若存在 求出m的值 若不存在 說明理由 變式訓(xùn)練 4 2014 福州質(zhì)檢 已知曲線y2 2px p 0 在第一象限內(nèi)與圓x2 y2 4x 1 0交于不同的兩點A B 1 求p的取值范圍 2 如果在x軸上只有一個點M 使MA MB 求p的值及M的坐標 通過分析近兩年的高考試題可以看出 一方面以選擇題 填空題的形式考查拋物線的定義 標準方程及簡單幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識 另一方面以解答題的形式考查拋物線的概念和性質(zhì) 直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合問題 著力于數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)語言的考查 題目的運算量一般不是很大 屬于中檔題 4 2014 湖北卷 在平面直角坐標系xOy中 點M到點F 1 0 的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1 記點M的軌跡為C 1 求軌跡C的方程 2 設(shè)斜率為k的直線l過定點P 2 1 求直線l與軌跡C恰好有一個公共點 兩個公共點 三個公共點時k的相應(yīng)取值范圍 8 8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1 若a 0 當圓錐曲線是雙曲線時 直線l與雙曲線的漸近線 當圓錐曲線是拋物線時 直線l與拋物線的對稱軸 2 若a 0 b2 4ac 0時 直線與圓錐曲線 0時 直線與圓錐曲線 0時 直線與圓錐曲線 1 直線y kx 2與拋物線y2 8x有且只有一個公共點 則k的值為 A 1B 1或3C 0D 1或0 解析 由y kx 2 y2 8x 得k2x2 4k 8 x 4 0 若k 0 則y 2 若k 0 若 0 即64 64k 0 解得k 1 因此直線y kx 2與拋物線y2 8x有且只有一個公共點 則k 0或1 答案 D 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 用直線方程和圓錐曲線方程組成的方程組解的個數(shù) 可以研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 也就是用代數(shù)的方法研究幾何問題 這是解析幾何的重要思想方法 方程組消元后要注意所得方程的二次項系數(shù)是否含有參數(shù) 若含參數(shù) 需按二次項系數(shù)是否為零進行分類討論 只有二次項系數(shù)不為零時 方程才是一元二次方程 后面才可以用判別式 的符號判斷方程解的個數(shù) 從而說明直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 圓錐曲線中的弦長問題 求直線被二次曲線截得的弦長 通常是將直線與二次曲線方程聯(lián)立 得到關(guān)于x 或y 的一元二次方程 然后利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式求解 中點弦問題 對于中點弦問題 常用的解題方法是點差法 其解題步驟為 1 設(shè)點 即設(shè)出弦的兩端點坐標 2 代入 即代入圓錐曲線方程 3 作差 即兩式相減 再用平方差公式把上式展開 4 整理 即轉(zhuǎn)化為斜率與中點坐標的關(guān)系式 然后求解 圓錐曲線中的最值及范圍問題 圓錐曲線中求最值與范圍問題是高考題中的常考問題 解決此類問題 一般有兩個思路 1 構(gòu)造關(guān)于所求量的函數(shù) 通過求函數(shù)的值域來獲得問題的解 2 構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式 通過解不等式來獲得問題的解 1 直線與圓錐曲線相交的問題 1 直線與圓錐曲線相交是解析幾何中一類重要問題 解題時注意應(yīng)用韋達定理及 設(shè)而不求 的技巧來解決直線與圓錐曲線的綜合問題 2 運用 點差法 的方法解決弦的中點問題涉及弦的中點問題 可以利用判別式和韋達定理的方法加以解決 也可利用 點差法 的方法解決此類問題 若知道中點 則利用 點差法 的方法可得出過中點弦的直線的斜率 比較兩種方法 用 點差法 的方法的計算量較少 此法在解決有關(guān)存在性的問題時 要結(jié)合圖形和判別式 加以檢驗 2 定值與最值問題 1 圓錐曲線中的定值問題在解析幾何問題中 有些幾何量和參數(shù)無關(guān) 這就構(gòu)成定值問題 解決這類問題常通過取參數(shù)和特殊值來確定 定值 是多少 或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角形式 證明該式是恒定的 2 圓錐曲線中的最值問題解決圓錐曲線中的最值問題 一般有兩種方法 一是幾何法 特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解非常巧妙 二是代數(shù)法 將圓錐曲線中的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題 即根據(jù)條件列出所求的目標函數(shù) 然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法 配方法 差別式法 三角有界法 函數(shù)單調(diào)法及均值不等式法等 求解最大或最小值 定點定值問題 1 求解直線和曲線過定點問題的基本思路是 把直線或曲線方程中的變量x y當作常數(shù)看待 把方程一端化為零 既然是過定點 那么這個方程就要對任意參數(shù)都成立 這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零 這樣就得到一個關(guān)于x y的方程組 這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點 2 解析幾何中的定值問題是指某些幾何量 線段的長度 圖形的面積 角的度數(shù) 直線的斜率等 的大小或某些代數(shù)表達式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān) 不依參數(shù)的變化而變化 而始終是一個確定的值 3 求定值問題常見的方法有兩種 從特殊入手 求出定值 再證明這個值與變量無關(guān) 直接推理 計算 并在計算推理的過程中消去變量 從而得到定值 1 直線與圓錐曲線相交的問題 1 直線與圓錐曲線相交是解析幾何中一類重要問題 解題時注意應(yīng)用韋達定理及 設(shè)而不求 的技巧來解決直線與圓錐曲線的綜合問題 2 運用 點差法 解決弦的中點問題涉及弦的中點問題 可以利用判別式和韋達定理加以解決 也可利用 點差法 解決此類問題 若知道中點 則利用 點差法 可得出過中點弦的直線的斜率 比較兩種方法 用 點差法 的計算量較少 此法在解決有關(guān)存在性的問題時 要結(jié)合圖形和判別式 加以檢驗 2 定值與最值問題 1 圓錐曲線中的定值問題在解析幾何問題中 有些幾何量和參數(shù)無關(guān) 這就構(gòu)成定值問題 解決這類問題常通過取參數(shù)和特殊值來確定 定值 是多少 或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角形式 證明該式是恒定的 2 圓錐曲線中的最值問題解決圓錐曲線中的最值問題 一般有兩種方法 一是幾何法 特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解非常巧妙 二是代數(shù)法 將圓錐曲線中的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題 即根據(jù)條件列出所求的目標函數(shù) 然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法 配方法 差別式法 三角有界法 函數(shù)單調(diào)法及均值不等式法等 求解最大或最小值 從近兩年的高考試題來看 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 弦長 中點弦的問題等是高考的熱點問題 題型既有選擇題 填空題 又有解答題 難度屬中等偏高 客觀題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 弦長問題 解答題考查較為全面 在考查上述問題的同時常與向量知識相結(jié)合 注重考查函數(shù)與方程 轉(zhuǎn)化與化歸 分類討論等思想方法 4 2014 浙江卷 已知 ABP的三個頂點都在拋物線C x2 4y上 F為拋物線C的焦點 點M為AB的中點 PF 3FM 1 若 PF 3 求點M的坐標 2 求 ABP面積的最大值 8 9曲線與方程 1 曲線與方程在平面直角坐標系中 如果某曲線C 看作適合某種條件的點的集合或軌跡 上的點與一個二元方程f x y 0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系 1 曲線上點的坐標都是這個方程的解 2 以這個方程的解為坐標的點都在曲線上 那么 這個方程叫做 這條曲線叫做 思考探究 若曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系中只滿足第 2 條會怎樣 提示 若只滿足 以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點 則這個方程可能只是部分曲線的方程 而非整個曲線的方程 2 求動點的軌跡方程的一般步驟 1 建系 建立適當?shù)淖鴺讼?2 設(shè)點 設(shè)軌跡上的任一點P x y 3 列式 列出動點P所滿足的關(guān)系式 4 代換 依條件式的特點 選用距離公式 斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x y的方程式 并化簡 5 證明 證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程 2 已知在直角坐標系中一點A 3 1 一條直線l x 1 平面內(nèi)一動點P 點P到點A的距離與到直線l的距離相等 則點P的軌跡方程是 A y 1 2 8 x 1 B y 1 2 8 x 1 C y 1 2 8 x 1 D y 1 2 8 x 1 解析 設(shè)點P坐標為 x y 則 x 3 2 y 1 2 x 1 2 整理得 y 1 2 8 x 1 答案 D 直接法求軌跡方程 直接法 如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系 或這些幾何條件簡單明了且易于表達 那么只需把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化成含有數(shù)值的表達式 通過化簡整理便可得到曲線的方程 這種求曲線方程的方法是直接法 定義法求軌跡方程 求軌跡方程時 若動點軌跡的條件滿足圓 橢圓 雙曲線 拋物線的定義 則可以直接根據(jù)定義求出動點的軌跡方程 這種求軌跡方程的方法叫做定義法 因為圓錐曲線的定義 標準方程是新課標教材的重點內(nèi)容 也是高考的重點內(nèi)容 所以用定義法求軌跡方程是新課標高考的熱點 用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵是緊扣解析幾何中有關(guān)曲線的定義 相關(guān)點法 代入法 求軌跡方程 此法的特點是 動點M x y 隨已知曲線上的點的運動而運動 則M的坐標取決于已知曲線C上的點 x y 的坐標 可先用x y來表示x y 再代入曲線C的方程f x y 0 即得點M的軌跡方程 1 曲線和方程的概念由曲線和方程的概念可知 在求曲線方程時一定要注意它的 完備性 和 純粹性 即軌跡若是曲線的一部分 應(yīng)對方程注明x的取值范圍 或同時注明x y的取值范圍 2 軌跡與軌跡方程的區(qū)別與聯(lián)系 軌跡 與 軌跡方程 既有區(qū)別又有聯(lián)系 求 軌跡 時首先要求出 軌跡方程 然后再說明方程的軌跡圖形 最后 補漏 和去掉增多的點 若軌跡有不同的情況 應(yīng)分別討論 以保證它的完整性 從近兩年的高考試題來看 由定義法求曲線的方程 由已知條件直接求曲線的方程等是高考的熱點 題型大多為解答題 難度為中等偏高 主要考查曲線的定義 求曲線軌跡方程的方法 考查學(xué)生的運算能力 以及分析問題 解決問題的能力