高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)課件 理.ppt

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第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2 4二次函數(shù)與冪函數(shù) 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 題型分類深度剖析 思想與方法系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 1 二次函數(shù) 1 二次函數(shù)解析式的三種形式 一般式 f x 頂點(diǎn)式 f x 零點(diǎn)式 f x 2 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) ax2 bx c a 0 a x m 2 n a 0 a x x1 x x2 a 0 知識梳理 1 答案 答案 2 冪函數(shù) 1 定義 形如的函數(shù)稱為冪函數(shù) 其中x是自變量 是常數(shù) 2 冪函數(shù)的圖象比較 y x 答案 3 冪函數(shù)的性質(zhì) 冪函數(shù)在 0 上都有定義 冪函數(shù)的圖象過定點(diǎn) 1 1 當(dāng) 0時 冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn) 1 1 和 0 0 且在 0 上單調(diào)遞增 當(dāng) 0時 冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn) 1 1 且在 0 上單調(diào)遞減 判斷下面結(jié)論是否正確 請?jiān)诶ㄌ栔写?或 1 二次函數(shù)y ax2 bx c x a b 的最值一定是 2 二次函數(shù)y ax2 bx c x R 不可能是偶函數(shù) 3 在y ax2 bx c a 0 中 a決定了圖象的開口方向和在同一直角坐標(biāo)系中的開口大小 4 函數(shù)是冪函數(shù) 5 如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交 則交點(diǎn)一定是原點(diǎn) 6 當(dāng)n 0時 冪函數(shù)y xn是定義域上的減函數(shù) 答案 思考辨析 即m2 1 解得m1 1 1 考點(diǎn)自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 已知函數(shù)f x ax2 x 5的圖象在x軸上方 則a的取值范圍是 解析答案 1 2 3 4 5 3 函數(shù)的圖象是 填序號 解析顯然f x f x 說明函數(shù)是奇函數(shù) 同時由當(dāng)0 x 1時 當(dāng)x 1時 故只有 符合 解析答案 1 2 3 4 5 4 已知函數(shù)y x2 2x 3在閉區(qū)間 0 m 上有最大值3 最小值2 則m的取值范圍為 解析如圖 由圖象可知m的取值范圍是 1 2 1 2 解析答案 1 2 3 4 5 0 答案 1 2 3 4 5 返回 題型分類深度剖析 題型一求二次函數(shù)的解析式 例1已知二次函數(shù)f x 滿足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 試確定此二次函數(shù)的解析式 解析答案 思維升華 解方法一 利用一般式 設(shè)f x ax2 bx c a 0 所求二次函數(shù)為f x 4x2 4x 7 解析答案 思維升華 方法二 利用頂點(diǎn)式 設(shè)f x a x m 2 n f 2 f 1 n 8 解析答案 f 2 1 思維升華 方法三 利用零點(diǎn)式 由已知f x 1 0的兩根為x1 2 x2 1 故可設(shè)f x 1 a x 2 x 1 即f x ax2 ax 2a 1 解得a 4 所求函數(shù)的解析式為f x 4x2 4x 7 思維升華 思維升華 求二次函數(shù)的解析式 關(guān)鍵是靈活選取二次函數(shù)解析式的形式 所用所給出的條件 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解 1 二次函數(shù)的圖象過點(diǎn) 0 1 對稱軸為x 2 最小值為 1 則它的解析式是 解析依題意可設(shè)f x a x 2 2 1 又其圖象過點(diǎn) 0 1 4a 1 1 跟蹤訓(xùn)練1 解析答案 2 若函數(shù)f x x a bx 2a 常數(shù)a b R 是偶函數(shù) 且它的值域?yàn)?4 則該函數(shù)的解析式f x 解析由f x 是偶函數(shù)知f x 圖象關(guān)于y軸對稱 b 2 f x 2x2 2a2 又f x 的值域?yàn)?4 2a2 4 故f x 2x2 4 2x2 4 解析答案 題型二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 命題點(diǎn)1二次函數(shù)的單調(diào)性 例2已知函數(shù)f x x2 2ax 3 x 4 6 1 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 使y f x 在區(qū)間 4 6 上是單調(diào)函數(shù) 要使f x 在 4 6 上為單調(diào)函數(shù) 只需 a 4或 a 6 解得a 4或a 6 故a的取值范圍是 6 4 解析答案 2 當(dāng)a 1時 求f x 的單調(diào)區(qū)間 其圖象如圖所示 又 x 4 6 f x 在區(qū)間 4 1 和 0 1 上為減函數(shù) 在區(qū)間 1 0 和 1 6 上為增函數(shù) 解析答案 命題點(diǎn)2二次函數(shù)的最值 例3已知函數(shù)f x x2 2x 若x 2 3 則函數(shù)f x 的最大值為 解析f x x 1 2 1 2 x 3 如圖 f x max f 2 8 8 解析答案 已知函數(shù)f x x2 2x 若x 2 a 求f x 的最小值 引申探究 解析答案 解 函數(shù)y x2 2x x 1 2 1 對稱軸為直線x 1 x 1不一定在區(qū)間 2 a 內(nèi) 應(yīng)進(jìn)行討論 當(dāng) 21時 函數(shù)在 2 1 上單調(diào)遞減 在 1 a 上單調(diào)遞增 則當(dāng)x 1時 y取得最小值 即ymin 1 綜上 當(dāng) 21時 ymin 1 命題點(diǎn)3二次函數(shù)中的恒成立問題 例4 1 設(shè)函數(shù)f x ax2 2x 2 對于滿足10 則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 解析答案 2 已知a是實(shí)數(shù) 函數(shù)f x 2ax2 2x 3在x 1 1 上恒小于零 則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 解析2ax2 2x 3 0在 1 1 上恒成立 當(dāng)x 0時 適合 解析答案 思維升華 思維升華 1 二次函數(shù)最值問題解法 抓住 三點(diǎn)一軸 數(shù)形結(jié)合 三點(diǎn)是指區(qū)間兩個端點(diǎn)和中點(diǎn) 一軸指的是對稱軸 結(jié)合配方法 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成 2 由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵 1 一般有兩個解題思路 一是分離參數(shù) 二是不分離參數(shù) 2 兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值 至于用哪種方法 關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離 這兩個思路的依據(jù)是 a f x 恒成立 a f x max a f x 恒成立 a f x min 已知函數(shù)f x x2 2ax 2 x 5 5 1 當(dāng)a 1時 求函數(shù)f x 的最大值和最小值 解當(dāng)a 1時 f x x2 2x 2 x 1 2 1 x 5 5 所以當(dāng)x 1時 f x 取得最小值1 當(dāng)x 5時 f x 取得最大值37 跟蹤訓(xùn)練2 解析答案 2 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 使y f x 在區(qū)間 5 5 上是單調(diào)函數(shù) 解函數(shù)f x x a 2 2 a2的圖象的對稱軸為直線x a 因?yàn)閥 f x 在區(qū)間 5 5 上是單調(diào)函數(shù) 所以 a 5或 a 5 即a 5或a 5 故a的取值范圍是 5 5 解析答案 題型三冪函數(shù)的圖象和性質(zhì) 解析由冪函數(shù)的定義知k 1 解析答案 2 若則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 解析答案 思維升華 解2m 1 m2 m 1 得 1 m 2 解析因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?0 且在定義域內(nèi)為增函數(shù) 思維升華 思維升華 1 冪函數(shù)的形式是y x R 其中只有一個參數(shù) 因此只需一個條件即可確定其解析式 2 在區(qū)間 0 1 上 冪函數(shù)中指數(shù)越大 函數(shù)圖象越靠近x軸 簡記為 指大圖低 在區(qū)間 1 上 冪函數(shù)中指數(shù)越大 函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸 1 已知冪函數(shù)f x m2 m 1 x 5m 3在 0 上是增函數(shù) 則m 解析 函數(shù)f x m2 m 1 x 5m 3是冪函數(shù) m2 m 1 1 解得m 2或m 1 當(dāng)m 2時 5m 3 13 函數(shù)y x 13在 0 上是減函數(shù) 當(dāng)m 1時 5m 3 2 函數(shù)y x2在 0 上是增函數(shù) m 1 1 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 2 若則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解析易知函數(shù)的定義域?yàn)?0 在定義域內(nèi)為增函數(shù) 解析答案 返回 思想與方法系列 典例 14分 已知f x ax2 2x 0 x 1 求f x 的最小值 思維點(diǎn)撥參數(shù)a的值確定f x 圖象的形狀 a 0時 函數(shù)f x 的圖象為拋物線 還要考慮開口方向和對稱軸與所給范圍的關(guān)系 思想與方法系列 3 分類討論思想在二次函數(shù)最值中的應(yīng)用 思維點(diǎn)撥 解析答案 返回 溫馨提醒 規(guī)范解答解 1 當(dāng)a 0時 f x 2x在 0 1 上遞減 f x min f 1 2 3分 解析答案 溫馨提醒 2 當(dāng)a 0時 f x ax2 2x圖象的開口方向向上 f x 在 0 1 上遞減 f x min f 1 a 2 10分 解析答案 溫馨提醒 3 當(dāng)a 0時 f x ax2 2x的圖象的開口方向向下 f x ax2 2x在 0 1 上遞減 f x min f 1 a 2 13分 溫馨提醒 溫馨提醒 返回 1 本題在求二次函數(shù)最值時 用到了分類討論思想 求解中既對系數(shù)a的符號進(jìn)行討論 又對對稱軸進(jìn)行討論 在分類討論時要遵循分類的原則 一是分類的標(biāo)準(zhǔn)要一致 二是分類時要做到不重不漏 三是能不分類的要盡量避免分類 絕不無原則的分類討論 2 在有關(guān)二次函數(shù)最值的求解中 若軸定區(qū)間動 仍應(yīng)對區(qū)間進(jìn)行分類討論 思想方法感悟提高 1 二次函數(shù)的三種形式 1 已知三個點(diǎn)的坐標(biāo)時 宜用一般式 2 已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大 小 值有關(guān)的量時 常使用頂點(diǎn)式 3 已知二次函數(shù)與x軸有兩個交點(diǎn) 且橫坐標(biāo)已知時 選用零點(diǎn)式求f x 更方便 2 研究二次函數(shù)的性質(zhì)要注意 1 結(jié)合圖象分析 2 含參數(shù)的二次函數(shù) 要進(jìn)行分類討論 方法與技巧 3 利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較冪值大小的技巧在比較冪值的大小時 必須結(jié)合冪值的特點(diǎn) 轉(zhuǎn)化為同指數(shù)冪 再選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù) 借助其單調(diào)性進(jìn)行比較 方法與技巧 1 對于函數(shù)y ax2 bx c 要認(rèn)為它是二次函數(shù) 就必須滿足a 0 當(dāng)題目條件中未說明a 0時 就要討論a 0和a 0兩種情況 2 冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi) 一定不會出現(xiàn)在第四象限 至于是否出現(xiàn)在第二 三象限內(nèi) 要看函數(shù)的奇偶性 冪函數(shù)的圖象最多能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi) 如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交 則交點(diǎn)一定是原點(diǎn) 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 如果函數(shù)f x x2 ax 3在區(qū)間 4 上單調(diào)遞減 則實(shí)數(shù)a的范圍是 8 解析答案 2 函數(shù)f x m2 m 1 xm是冪函數(shù) 且在x 0 上為增函數(shù) 則實(shí)數(shù)m的值是 解析f x m2 m 1 xm是冪函數(shù) m2 m 1 1 m 1或m 2 又在x 0 上是增函數(shù) 所以m 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 設(shè)函數(shù)f x x2 x a a 0 且f m 0 則f m 1 0 判斷大小關(guān)系 f x 的大致圖象如圖所示 由f m 0 f m 1 f 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 4 若函數(shù)f x x2 ax a在區(qū)間 0 2 上的最大值為1 則實(shí)數(shù)a 解析 函數(shù)f x x2 ax a的圖象為開口向上的拋物線 函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)取得 f 0 a f 2 4 3a 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 令f x 0 得 30 不等式f 10 x 0可化為0 10 x 1 x 0 答案 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 則f x 2ax b f x x 1 6 已知函數(shù)f x x2 2x g x ax 2 a 0 若 x1 1 2 x2 1 2 使得f x1 g x2 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解析由函數(shù)f x x2 2x x 1 2 1 當(dāng)x 1 2 時 f x min f 1 1 f x max f 1 3 即函數(shù)f x 的值域?yàn)?1 3 當(dāng)x 1 2 時 函數(shù)g x min g 1 a 2 g x max g 2 2a 2 3 解得a 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 7 當(dāng)0g x f x h x g x f x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 8 已知函數(shù)f x x2 2ax 2a 4的定義域?yàn)镽 值域?yàn)?1 則a的值為 解析由于函數(shù)f x 的值域?yàn)?1 所以f x min 1 又f x x a 2 a2 2a 4 當(dāng)x R時 f x min f a a2 2a 4 1 即a2 2a 3 0 解得a 3或a 1 1或3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 9 已知函數(shù)f x ax2 bx 1 a b為實(shí)數(shù) a 0 x R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 若函數(shù)f x 的圖象過點(diǎn) 2 1 且方程f x 0有且只有一個根 求f x 的表達(dá)式 解因?yàn)閒 2 1 即4a 2b 1 1 所以b 2a 因?yàn)榉匠蘤 x 0有且只有一個根 所以 b2 4a 0 所以4a2 4a 0 所以a 1 所以b 2 所以f x x2 2x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 在 1 的條件下 當(dāng)x 1 2 時 g x f x kx是單調(diào)函數(shù) 求實(shí)數(shù)k的取值范圍 所以所求實(shí)數(shù)k的取值范圍為 0 6 由g x 的圖象知 要滿足題意 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 10 已知函數(shù)f x x2 ax 3 a 若x 2 2 時 f x 0恒成立 求a的取值范圍 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解要使f x 0恒成立 則函數(shù)在區(qū)間 2 2 上的最小值不小于0 設(shè)f x 的最小值為g a 故此時a不存在 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 得a 7 又a 4 故 7 a 4 綜上得 7 a 2 又 4 a 4 故 4 a 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 已知函數(shù)f x x2 m是定義在區(qū)間 3 m m2 m 上的奇函數(shù) 則f m 解析由已知 必有m2 m 3 m 即m2 2m 3 0 m 3或m 1 當(dāng)m 3時 函數(shù)即f x x 1 x 6 6 f x 在x 0處無意義 故舍去 當(dāng)m 1時 函數(shù)即f x x3 此時x 2 2 符合題意 f m f 1 f 1 3 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 12 已知冪函數(shù)f x x 當(dāng)x 1時 恒有f x 1時 恒有f x 1時 函數(shù)f x x 的圖象在y x的圖象的下方 作出冪函數(shù)f x x 在第一象限的圖象 由圖象可知 1時滿足題意 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 則圖象的對稱軸為直線x 0 2 m 0 m 2 f x 2x2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由題意得 f 0 1 n 1 1 n 1 f 1 1 2 n 1 3 n 1 因此n 1 f 0 1 f 1 1 由f x 的圖象可知 要滿足題意 所以a 2 2 解析f x cos2x asinx 1 2sin2x asinx 令t sinx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 15 已知函數(shù)f x ax2 bx c a 0 b R c R 1 若函數(shù)f x 的最小值是f 1 0 且c 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 F 2 F 2 2 1 2 2 1 2 8 解得a 1 b 2 f x x 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若a 1 c 0 且 f x 1在區(qū)間 0 1 上恒成立 試求b的取值范圍 解f x x2 bx 原命題等價于 1 x2 bx 1在 0 1 上恒成立 2 b 0 故b的取值范圍是 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 解析答案