高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 2.7 函數(shù)的圖象課件(理).ppt

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第七節(jié)函數(shù)的圖象 知識梳理 1 利用描點法作函數(shù)圖象的基本步驟及流程 1 基本步驟 列表 連線 描點 2 流程 確定函數(shù)的定義域 化簡函數(shù)解析式 討論函數(shù)的性質 奇偶性 單調性 周期性 對稱性等 列表 尤其注意特殊點 零點 最大值點 最小值點 與坐標軸的交點等 描點 連線 2 平移變換 右移 左移 上移 下移 f x b 3 伸縮變換 伸長 縮短 f x 伸長 縮短 A A 4 對稱變換y f x y y f x y y f x y f x f x f x 5 翻折變換y f x y y f x y f x f x 特別提醒 1 函數(shù)對稱的重要結論 1 函數(shù)y f x 與y f 2a x 的圖象關于直線x a對稱 2 函數(shù)y f x 與y 2b f 2a x 的圖象關于點 a b 中心對稱 3 若函數(shù)y f x 對定義域內任意自變量x滿足 f a x f a x 則函數(shù)y f x 的圖象關于直線x a對稱 2 函數(shù)圖象平移變換八字方針 1 左加右減 要注意加減指的是自變量 2 上加下減 要注意加減指的是函數(shù)值 小題快練 鏈接教材練一練1 必修1P112A組T4改編 小明騎車上學 開始時勻速行駛 途中因交通堵塞停留了一段時間后 為了趕時間加快速度行駛 與以上事件吻合得最好的圖象是 解析 選C 距學校的距離應逐漸減小 由于小明先是勻速運動 故第一段是直線段 途中停留時距離不變 最后一段加速 最后的直線段比第一段下降得快 故應選C 2 必修1P113B組T2改編 如圖 在不規(guī)則圖形ABCD中 AB和CD是線段 AD和BC是圓弧 直線l AB于E 當l從左至右移動 與線段AB有公共點 時 把四邊形ABCD分成兩部分 設AE x 左側部分面積為y 則y關于x的大致圖象為 解析 選D 因為左側部分面積為y 隨x的變化而變化 最初面積增加得快 后來均勻增加 最后緩慢增加 只有D選項適合 感悟考題試一試3 2016 漳州模擬 已知函數(shù)f x x 則函數(shù)y f x 的大致圖象為圖中的 解析 選B 方法一 因為f 1 f 1 所以函數(shù)f x 為非奇非偶函數(shù) 可排除A C 因為所以排除D 方法二 f x 當x 0時 f x x 2 當且僅當x 即x 1時取得等號 故函數(shù)f x 在 0 1 上單調遞減 在 1 上單調遞增 排除C D 當x 1時 f 1 0 故排除A 4 2016 安慶模擬 為了得到函數(shù)y log2的圖象 可將函數(shù)y log2x的圖象上所有的點 A 縱坐標縮短到原來的倍 橫坐標不變 再向右平移1個單位長度B 縱坐標縮短到原來的倍 橫坐標不變 再向左平移1個單位長度 C 橫坐標伸長到原來的2倍 縱坐標不變 再向左平移1個單位長度D 橫坐標伸長到原來的2倍 縱坐標不變 再向右平移1個單位長度 解析 選A y 所以可將y log2x的圖象上所有的點縱坐標縮短到原來的倍 橫坐標不變 得到y(tǒng) log2x的圖象 再向右平移1個單位長度 得到y(tǒng) log2 x 1 的圖象 考向一作函數(shù)的圖象 典例1 作出下列函數(shù)的圖象 1 y x 2 x 1 2 y 3 y log2 x 1 解題導引 1 先對絕對值分類討論 將原函數(shù)化簡成分段函數(shù)的形式 再分段作圖即可 2 先化簡解析式 分離常數(shù) 再利用圖象變換畫出圖象 3 將y log2x的圖象向左平移1個單位 y log2 x 1 的圖象 將y log2 x 1 的圖象位于x軸下方的部分向上翻折 y log2 x 1 的圖象 規(guī)范解答 1 先化簡 再作圖 圖象如圖實線所示 2 因為y 先作出y 的圖象 將其圖象向右平移1個單位 再向上平移1個單位 即得y 的圖象 如圖所示 3 利用函數(shù)y log2x的圖象進行平移和翻折變換 圖象如圖實線所示 規(guī)律方法 函數(shù)圖象的畫法 1 直接法 當函數(shù)解析式 或變形后的解析式 是熟悉的基本函數(shù)時 就可根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖象的關鍵點直接作出 2 轉化法 含有絕對值符號的函數(shù) 可脫掉絕對值符號 轉化為分段函數(shù)來畫圖象 3 圖象變換法 若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移 伸縮 翻折 對稱得到 可利用圖象變換作出 易錯提醒 1 畫函數(shù)的圖象一定要注意定義域 2 利用圖象變換法時要注意變換順序 對不能直接找到熟悉的基本函數(shù)的要先變形 并應注意平移變換與伸縮變換的順序對變換單位及解析式的影響 變式訓練 作出下列函數(shù)的圖象 1 y 2x 2 2 y elnx 3 y log2 x 1 解析 1 將y 2x的圖象向左平移2個單位 圖象如圖所示 2 因為函數(shù)的定義域為 x x 0 且y elnx x x 0 所以其圖象如圖所示 3 作y log2 x 的圖象 再將圖象向右平移一個單位 如圖 即得到y(tǒng) log2 x 1 的圖象 加固訓練 1 作出下列函數(shù)的圖象 1 y a x 0 a 1 2 y 3 y sin x 解析 1 因為y 所以只需作出0 a 1時函數(shù)y ax x 0 和y x 0 的圖象 合起來即得函數(shù)y a x 0 a 1 的圖象 如圖所示 2 因為y 故函數(shù)圖象可由y 的圖象向右平移1個單位 再向上平移2個單位而得 如圖所示 3 當x 0時 y sin x 與y sinx的圖象完全相同 又y sin x 為偶函數(shù) 其圖象關于y軸對稱 其圖象如圖所示 2 作出函數(shù)y 的圖象 解析 分段分別畫出一次函數(shù) x 1 二次函數(shù) 13 的圖象 如圖所示 3 已知函數(shù)f x 畫出函數(shù)y f 1 x 的圖象 解析 畫出y f x 的圖象 再作其關于y軸對稱的圖象 得到y(tǒng) f x 的圖象 再將所得圖象向右平移1個單位 得到y(tǒng) f x 1 f x 1 的圖象 如圖 考向二函數(shù)圖象的識別 考情快遞 考題例析 命題方向1 已知解析式確定函數(shù)的圖象 典例2 2016 唐山模擬 函數(shù)f x 的圖象是 解題導引 求出函數(shù)的定義域 通過函數(shù)的定義域 判斷函數(shù)的單調性 推出選項即可 規(guī)范解答 選B 因為x 0 解得x 1或 1 x 0 所以函數(shù)f x 的定義域為 1 0 1 所以選項A C不正確 當x 1 0 時 g x x 是增函數(shù) 因為y lnx是增函數(shù) 所以函數(shù)f x 是增函數(shù) 所以D不正確 B正確 命題方向2 借助實際情景探究函數(shù)圖象 典例3 2015 全國卷 如圖 長方形ABCD的邊AB 2 BC 1 O是AB的中點 點P沿著邊BC CD與DA運動 記 BOP x 將動點P到A B兩點距離之和表示為x的函數(shù)f x 則f x 的圖象大致為 本題源自A版必修1P112A組T2 解題導引 分三種情況表示出f x 然后分析圖象特點 利用三角函數(shù)的圖象與性質解題 規(guī)范解答 選B 由已知得 當點P在BC邊上運動時 即0 x 時 PA PB 當點P在CD邊上運動時 即x 時 PA PB 當x 時 PA PB 當點P在AD邊上運動時 即 x 時 PA PB tanx 從點P的運動過程可以看出 軌跡關于直線x 對稱 且且軌跡非直線型 技法感悟 有關函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路 1 由解析式確定函數(shù)圖象的判斷技巧 由函數(shù)的定義域 判斷圖象左右的位置 從函數(shù)的值域 判斷圖象的上下位置 由函數(shù)的單調性 判斷圖象的變化趨勢 由函數(shù)的奇偶性 判斷圖象的對稱性 由函數(shù)的周期性 判斷圖象的循環(huán)往復 2 由實際情景探究函數(shù)圖象 關鍵是將問題轉化為熟悉的數(shù)學問題求解 要注意實際問題中的定義域問題 題組通關 1 2016 成都模擬 函數(shù)f x e1 x2 e是自然對數(shù)的底數(shù) 的部分圖象大致是 解析 選C 函數(shù)f x 為偶函數(shù) 排除選項A B 又e1 x2 0 排除選項D 2 2016 焦作模擬 已知f x 則下列函數(shù)的圖象錯誤的是 解析 選D 先在坐標平面內畫出函數(shù)y f x 的圖象 再將函數(shù)y f x 的圖象向右平移1個單位長度即可得到y(tǒng) f x 1 的圖象 因此A正確 作函數(shù)y f x 的圖象關于y軸的對稱圖形 即可得到y(tǒng) f x 的圖象 因此B正確 y f x 的值域是 0 2 因此y f x 的圖象與y f x 的圖象重合 C正確 y f x 的定義域是 1 1 且是一個偶函數(shù) 當0 x 1時 y f x 相應這部分圖象不是一條線段 因此選項D不正確 3 2016 綏化模擬 在同一個坐標系中畫出函數(shù)y ax y sinax的部分圖象 其中a 0且a 1 則下列所給圖象中可能正確的是 解析 選D 正弦函數(shù)的周期公式T 所以y sinax的最小正周期T 對于A T 2 故a1 所以函數(shù)y ax是增函數(shù) 故錯 對于C T 2 故a 1 故錯 對于D T 2 故a 1 所以y ax是減函數(shù) 正確 4 2016 鷹潭模擬 如圖 點P是以O為圓心 AB為直徑的半圓上的動點 AB 2 設弦AP的長為x APO的面積為y 則下列選項中 能表示y與x的函數(shù)關系的大致圖象是 解析 選A 如圖 因為根據(jù)三角形面積公式 當一邊OA固定時 它邊上的高最大時 三角形面積最大 所以當PO AO 即PO為 APO中OA邊上的高時 APO的面積y最大 此時 由AB 2 根據(jù)勾股定理 得弦AP x 所以當x 時 APO的面積y最大 最大面積為y 從而可排除B D選項 又因為當AP x 1時 APO為等邊三角形 它的面積y 所以此時 點應在y 的一半的上方 從而可排除C選項 加固訓練 2016 廣州模擬 已知函數(shù)f x 是定義在R上的增函數(shù) 則函數(shù)y f x 1 1的圖象可能是 解析 選B 根據(jù)題意 由于函數(shù)f x 是定義在R上的增函數(shù) 那么可知函數(shù)y f x 1 1的圖象先是保留f x 在y軸右側的圖象不變?yōu)樵龊瘮?shù) 再作關于y軸對稱的圖象 再整體向右平移一個單位 再整體向下平移一個單位 那么可知為先減后增 同時關于直線x 1對稱 故選B 考向三函數(shù)圖象的應用 典例4 1 已知函數(shù)f x x 2 1 g x kx 若方程f x g x 有兩個不相等的實根 則實數(shù)k的取值范圍是 A B C 1 2 D 2 2 2015 江蘇高考 已知函數(shù)f x lnx g x 則方程 f x g x 1實數(shù)根的個數(shù)為 解題導引 1 畫出函數(shù)f x 的圖象 結合函數(shù)圖象確定實數(shù)k的取值范圍 2 將 f x g x 1變?yōu)閒 x 1 g x 交點的個數(shù)即為y f x 與y 1 g x 和y 1 g x 圖象的公共點的個數(shù)之和 結合圖象進行判斷 規(guī)范解答 1 選B f x 如圖 作出y f x 的圖象 其中A 2 1 則kOA 要使方程f x g x 有兩個不相等的實根 則函數(shù)f x 與g x 的圖象有兩個不同的交點 由圖可知 k 1 2 因為g x 所以1 g x 1 g x 又因為 f x g x 1實數(shù)根的個數(shù)即為y f x 與y 1 g x 的圖象交點的個數(shù)和y f x 與y 1 g x 的圖象交點的個數(shù)之和 而y f x 與y 1 g x 的圖象有兩個交點 y f x 與y 1 g x 的圖象也有兩個交點 所以 f x g x 1實數(shù)根的個數(shù)為4 答案 4 一題多解 解答本題還有以下解法 當0 x 1時 f x lnx lnx g x 0 原方程即為 lnx 1 解得x 所以當0 x 1時原方程有一個實數(shù)根 當1 x 2時 f x lnx g x 2 x2 原方程即為 lnx 2 x2 1 設F x lnx 2 x2 1 x 2 因為F x 2x 0 所以F x 在 1 2 上單調遞減 得F x 的值域為 ln2 2 1 又ln2 2 1 得方程 lnx 2 x2 1有且只有一個實數(shù)根 所以當1 x 2時原方程有一個實數(shù)根 當x 2時 f x lnx g x x2 6 原方程即為 lnx 6 x2 1 則lnx 6 x2 1或lnx 6 x2 1 即得方程lnx x2 7或lnx x2 5 因為函數(shù)G x lnx x2在 2 上單調遞增 所以G x 的值域為 4 ln2 因此方程lnx x2 7或lnx x2 5各有一個實數(shù)根 所以當x 2時原方程有兩個實數(shù)根 綜上 方程 f x g x 1的實數(shù)根個數(shù)為4 答案 4 易錯警示 解決本例 2 易出現(xiàn)以下錯誤 1 對方程 f x g x 1有實數(shù)根的意義不明確 2 畫函數(shù)圖象時 忽略了函數(shù)的定義域 母題變式 1 本例 1 中 有兩個不相等的實根 改為 有一個實根 其他條件不變 求實數(shù)k的取值范圍 解析 由題意得f x 其圖象如圖所示 由圖象可知 要使方程f x g x 有一個實根 則k 1或k 1或k 2 本例 1 中 若函數(shù)f x 其他條件不變 求實數(shù)k的取值范圍 解析 函數(shù)y 的定義域為 x x 1 所以當x 1時 y x 1 當 1 x 1時 y x 1 當x 1時 y x 1 圖象如圖所示 由圖象可知當0 k 2且k 1時兩函數(shù)恰有兩個交點 所以實數(shù)k的取值范圍為 0 1 1 2 規(guī)律方法 1 利用函數(shù)的圖象研究方程根的個數(shù)當方程與基本函數(shù)有關時 可以通過函數(shù)圖象來研究方程的根 方程f x 0的根就是函數(shù)f x 圖象與x軸交點的橫坐標 方程f x g x 的根就是函數(shù)f x 與g x 圖象交點的橫坐標 2 利用函數(shù)的圖象研究不等式當不等式問題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關時 常將不等式問題轉化為兩函數(shù)圖象的上 下關系問題 從而利用數(shù)形結合求解 變式訓練 1 函數(shù)f x lnx的圖象與函數(shù)g x x2 4x 4的圖象的交點個數(shù)為 A 0B 1C 2D 3 解析 選C g x x2 4x 4 x 2 2 在同一平面直角坐標系內畫出函數(shù)f x lnx與g x x 2 2的圖象 如圖 由圖可得兩個函數(shù)的圖象有2個交點 2 函數(shù)f x 的定義域為R 且f x 若方程f x x a有兩個不同實根 則a的取值范圍是 解析 當x 0時 f x 2 x 1 當0 x 1時 1 x 1 0 f x f x 1 2 x 1 1 當1 x 2時 1 x 2 0 f x f x 1 f x 2 2 x 2 1 故x 0時 f x 是周期函數(shù) 如圖 欲使方程f x x a有兩解 即函數(shù)f x 的圖象與直線y x a有兩個不同交點 故a 1 則a的取值范圍是 1 答案 1 加固訓練 1 2016 大同模擬 已知函數(shù)y f x 的周期為2 當x 1 1 時 f x x2 那么函數(shù)y f x 的圖象與函數(shù)y lgx 的圖象的交點共有 A 10個B 9個C 8個D 1個 解析 選A 根據(jù)f x 的性質及f x 在 1 1 上的解析式可作圖如下 可驗證當x 10時 y lg10 1 x 10時 lgx 1 因此結合圖象及數(shù)據(jù)特點知y f x 與y lgx 的圖象交點共有10個 2 已知函數(shù)f x 是定義在R上的奇函數(shù) 當x 0時 f x x a2 x 2a2 3a2 若 x R f x 1 f x 則實數(shù)a的取值范圍為 解析 選B 當x 0時 f x 因為f x 是定義在R上的奇函數(shù) 故可作出函數(shù)f x 的圖象 如圖所示 那么對 x R f x 1 f x 則要向右移動函數(shù)f x 的圖象 即讓點A1移到圖中A2位置時 滿足題意 又A1 3a2 0 A2 3a2 1 0 可知3a2 3a2 1 即6a2 1 解得a 3 2016 南昌模擬 已知函數(shù)f x 若關于x的方程f x k有兩個不同的實根 則實數(shù)k的取值范圍是 解析 畫出分段函數(shù)f x 的圖象如圖所示 結合圖象可以看出 若f x k有兩個不同的實根 即函數(shù)y f x 的圖象與y k有兩個不同的交點 k的取值范圍為 0 1 答案 0 1