數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.4 空間圖形的基本關(guān)系與公理 1.4.2 空間圖形的公理（二） 北師大版必修2

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1、42空間圖形的公理空間圖形的公理(二二)第一章立體幾何初步第一章立體幾何初步1問(wèn)題導(dǎo)航問(wèn)題導(dǎo)航(1)兩條異面直線(xiàn)所成角的范圍是什么？?jī)蓷l異面直線(xiàn)所成角的范圍是什么？(2)空間四邊形的對(duì)角線(xiàn)一定不相交嗎？空間四邊形的對(duì)角線(xiàn)一定不相交嗎？(3)在平面中，我們知道在平面中，我們知道“一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別垂直，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)別垂直，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”，在空間中這個(gè)結(jié)論還成，在空間中這個(gè)結(jié)論還成立嗎？立嗎？2例題導(dǎo)讀例題導(dǎo)讀P25例例2.通過(guò)本例學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)判斷正方體中線(xiàn)與線(xiàn)位置關(guān)系的通過(guò)本例學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)判斷正方體中線(xiàn)與線(xiàn)位置關(guān)系的方法解答本例過(guò)程中需注意

2、，將展開(kāi)圖還原成正方體時(shí)，方法解答本例過(guò)程中需注意，將展開(kāi)圖還原成正方體時(shí)，各頂點(diǎn)的位置關(guān)系要弄清楚各頂點(diǎn)的位置關(guān)系要弄清楚文字語(yǔ)言文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言平行于同一條平行于同一條直線(xiàn)的兩條直直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)線(xiàn)_若若ab，bc，則則_1.公理公理4平行平行ac2.等角定理等角定理空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別_，那么這兩，那么這兩個(gè)角個(gè)角_3異面直線(xiàn)所成的角異面直線(xiàn)所成的角對(duì)應(yīng)平行對(duì)應(yīng)平行相等或互補(bǔ)相等或互補(bǔ)定義定義過(guò)空間任意一點(diǎn)過(guò)空間任意一點(diǎn)P分別引兩條異面直線(xiàn)分別引兩條異面直線(xiàn)a,b的平行線(xiàn)的平行線(xiàn)l1,l2(al1，bl2),這這兩條相交直線(xiàn)所

3、成的兩條相交直線(xiàn)所成的_就就是異面直線(xiàn)是異面直線(xiàn)a，b所成的角所成的角取值取值范范圍圍異面直線(xiàn)所成的角異面直線(xiàn)所成的角的取值范圍：的取值范圍：_特例特例當(dāng)當(dāng)_時(shí)時(shí)，a與與b互相垂直，記作互相垂直，記作ab銳角銳角(或直角或直角)090902空間兩個(gè)角空間兩個(gè)角，的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且方向相同，若的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且方向相同，若50，則，則等于等于()A50B130C40 D50或或130解析：由等角定理知解析：由等角定理知與與相等相等，故選故選A.3垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)()A平行平行 B相交相交C異面異面 D以上都有可能以上都有可能解析：可借助正方體來(lái)分析解析：可

4、借助正方體來(lái)分析，可知平行、相交及異面都有可可知平行、相交及異面都有可能能，故選故選D.AD90所以所以DGD1(或其補(bǔ)角或其補(bǔ)角)是異面直線(xiàn)是異面直線(xiàn)CD1與與EF所成的角所成的角又因?yàn)橛忠驗(yàn)锳1AAB，所以四邊形所以四邊形ABB1A1，四邊形四邊形CDD1C1都是都是正方形正方形，且且G為為CD1的中點(diǎn)的中點(diǎn)，所以所以DGCD1，所以所以D1GD90，所以異面直線(xiàn)所以異面直線(xiàn)CD1，EF所成的角為所成的角為90.公理公理4的應(yīng)用的應(yīng)用 若本例中的條件不變，求證改為若本例中的條件不變，求證改為“四邊形四邊形MBND1為菱形為菱形”又該如何證？又該如何證？D等角定理的應(yīng)用等角定理的應(yīng)用B70或

5、或110異面直線(xiàn)所成的角異面直線(xiàn)所成的角方法歸納方法歸納1求異面直線(xiàn)所成角的步驟求異面直線(xiàn)所成角的步驟一作：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)一作：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，用平移法作出異面直線(xiàn)所成的角；，用平移法作出異面直線(xiàn)所成的角；二證：證明作出的角就是要求的角；二證：證明作出的角就是要求的角；三計(jì)算：將異面直線(xiàn)所成的角放入某個(gè)三角形中，利用特殊三計(jì)算：將異面直線(xiàn)所成的角放入某個(gè)三角形中，利用特殊三角形求解三角形求解2注意注意(1)作異面直線(xiàn)所成的角時(shí)作異面直線(xiàn)所成的角時(shí)，要選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)要選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，平移異面直線(xiàn)平移異面直線(xiàn)中的一條或兩條成為相交直線(xiàn)中的一條或兩條成為相交直線(xiàn)，這里的點(diǎn)通常選擇特殊位置這里的點(diǎn)通常選擇特殊

6、位置上的點(diǎn)上的點(diǎn)，如線(xiàn)段的中點(diǎn)或端點(diǎn)如線(xiàn)段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，也可以是異面直線(xiàn)中某一條也可以是異面直線(xiàn)中某一條直線(xiàn)上的一個(gè)特殊點(diǎn)直線(xiàn)上的一個(gè)特殊點(diǎn)(2)平移直線(xiàn)得出的角有可能是兩條異面直線(xiàn)所成角的補(bǔ)角平移直線(xiàn)得出的角有可能是兩條異面直線(xiàn)所成角的補(bǔ)角，要注意識(shí)別這種情況要注意識(shí)別這種情況B規(guī)范解答規(guī)范解答求異面直線(xiàn)上兩點(diǎn)間的距離求異面直線(xiàn)上兩點(diǎn)間的距離D2.分別和兩條異面直線(xiàn)平行的兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系是分別和兩條異面直線(xiàn)平行的兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系是()A一定平行一定平行 B一定相交一定相交C一定異面一定異面 D相交或異面相交或異面解析：分別和兩條異面直線(xiàn)平行的兩條直線(xiàn)相交或異面解析：分別和兩條異面直線(xiàn)平行

7、的兩條直線(xiàn)相交或異面，如如圖圖(1)(2)D3如圖，在長(zhǎng)方體如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，中，A1C1D1B1O，E,F分別是分別是B1O和和C1O的中點(diǎn)，則在長(zhǎng)方體各棱中與的中點(diǎn)，則在長(zhǎng)方體各棱中與EF平行的平行的有有_條條解析：與解析：與EF平行的棱為平行的棱為B1C1，BC，AD，A1D1，共共4條條44已知正方體已知正方體ABCDABCD，求：，求：(1)BC與與CD所成的角；所成的角；(2)AD與與BC所成的角所成的角解：解：(1)連接連接BA，則則BACD，則則ABC就是就是BC與與CD所成的角所成的角連接連接AC，由由ABC為正三角形為正三角形， 知知ABC60. (2)由由ADBC，知知AD與與BC所成所成的角就是的角就是CBC，易知易知CBC45.