高三數(shù)學(xué)高考一本通立體幾何第一輪復(fù)習(xí)課件 第8課時(shí) 棱錐

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1、考考 點(diǎn)點(diǎn) 詮詮 釋釋知知 識(shí)識(shí) 整整 合合基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 再再 現(xiàn)現(xiàn) 例例 題題 精精 析析精精 彩彩 小小 結(jié)結(jié)第第8 8課時(shí)課時(shí) 棱錐棱錐考點(diǎn)詮釋 了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質(zhì)，會(huì)畫正棱錐的直了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質(zhì)，會(huì)畫正棱錐的直觀圖。觀圖。1、高考中棱錐與棱柱一樣出題概率較大，形式較靈活，、高考中棱錐與棱柱一樣出題概率較大，形式較靈活，尤其棱錐注意等積法的靈活運(yùn)用，對(duì)五種正多面體，重尤其棱錐注意等積法的靈活運(yùn)用，對(duì)五種正多面體，重點(diǎn)掌握正四面體和正六面體，它們是高考中常考模型。點(diǎn)掌握正四面體和正六面體，它們是高考中?？寄Ｐ汀?、簡(jiǎn)單的幾何體中求錐體的側(cè)面積、體積的體形還會(huì)、簡(jiǎn)

2、單的幾何體中求錐體的側(cè)面積、體積的體形還會(huì)出現(xiàn)，等積變換、割補(bǔ)思想的應(yīng)用仍將有所體現(xiàn)，關(guān)于出現(xiàn)，等積變換、割補(bǔ)思想的應(yīng)用仍將有所體現(xiàn)，關(guān)于棱錐可能與代數(shù)、三角、空間向量進(jìn)行綜合，出現(xiàn)綜合棱錐可能與代數(shù)、三角、空間向量進(jìn)行綜合，出現(xiàn)綜合性問(wèn)題。以棱錐為載體考查點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，或性問(wèn)題。以棱錐為載體考查點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，或求空間角、距離和面積、體積，也有可能會(huì)利用不等式求空間角、距離和面積、體積，也有可能會(huì)利用不等式或?qū)?shù)研究最值問(wèn)題?；?qū)?shù)研究最值問(wèn)題。知識(shí)整合 1、棱錐的概念及性質(zhì)、棱錐的概念及性質(zhì)（1）棱錐的定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有）棱錐的定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各

3、面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫棱一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫棱錐，棱錐是多面體中重要的一種，它有兩個(gè)本質(zhì)特征：錐，棱錐是多面體中重要的一種，它有兩個(gè)本質(zhì)特征：有一個(gè)面是多邊形；有一個(gè)面是多邊形；其余的各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)其余的各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，二者缺一不可，因此棱錐有一個(gè)面是多邊形，的三角形，二者缺一不可，因此棱錐有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形。但是要注意其余各面都是三角形。但是要注意“有一個(gè)面是多邊形，有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形其余各面都是三角形”的幾何體未必是棱錐，如圖，此的幾何體未必是棱錐，如圖，此多面體底面是四邊形，其

4、余各面都是三角形，但它不是多面體底面是四邊形，其余各面都是三角形，但它不是棱錐。棱錐。一個(gè)棱錐至少有四個(gè)面一個(gè)棱錐至少有四個(gè)面 所以三棱錐也叫四面體。所以三棱錐也叫四面體。知識(shí)整合 （2 2）正棱錐的概念）正棱錐的概念 如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面上如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐。判斷一的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐。判斷一棱錐是否是正棱錐必須滿足下面兩個(gè)條件：一是底面棱錐是否是正棱錐必須滿足下面兩個(gè)條件：一是底面是正多邊形，二是頂點(diǎn)在底面上的射影必須是底面正是正多邊形，二是頂點(diǎn)在底面上的射影必須是底面正多邊形的中心

5、，這也是掌握正棱錐定義的兩個(gè)要點(diǎn)。多邊形的中心，這也是掌握正棱錐定義的兩個(gè)要點(diǎn)。知識(shí)整合 （3）正棱錐的性質(zhì)：）正棱錐的性質(zhì)： 各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。的高相等，它叫做正棱錐的斜高。由此可知，正棱錐的各側(cè)面都是等由此可知，正棱錐的各側(cè)面都是等腰三角形，但腰三角形，但 “各側(cè)面都是全等的各側(cè)面都是全等的等腰三角形等腰三角形”的棱錐不一定是正棱的棱錐不一定是正棱錐。錐。 如圖三棱錐如圖三棱錐SABC中，可令中，可令SASBBCAC，SCAB，且，且SBAB，則此三棱錐的各側(cè)面為

6、全等三，則此三棱錐的各側(cè)面為全等三角形，但它不是正三棱錐。角形，但它不是正三棱錐。知識(shí)整合 棱錐的高、斜高和斜高在底面上的射影組成一個(gè)棱錐的高、斜高和斜高在底面上的射影組成一個(gè)直角三角形；棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面上的射直角三角形；棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面上的射影也組成一個(gè)直角三角形。除此兩個(gè)直角三角形外，影也組成一個(gè)直角三角形。除此兩個(gè)直角三角形外，正棱錐的底面半徑，邊心距和半邊長(zhǎng)也組成一個(gè)直正棱錐的底面半徑，邊心距和半邊長(zhǎng)也組成一個(gè)直角三角形。這三個(gè)直角三角形稱為棱錐中的特征三角三角形。這三個(gè)直角三角形稱為棱錐中的特征三角形，有好多立體問(wèn)題都是轉(zhuǎn)化到平面中的這三個(gè)角形，有好多立體問(wèn)題都是

7、轉(zhuǎn)化到平面中的這三個(gè)直角三角形中去處理，如有關(guān)側(cè)棱與底面、側(cè)面與直角三角形中去處理，如有關(guān)側(cè)棱與底面、側(cè)面與底面所成二面角的計(jì)算，有關(guān)側(cè)棱、斜高、底面邊底面所成二面角的計(jì)算，有關(guān)側(cè)棱、斜高、底面邊長(zhǎng)的計(jì)算等，要熟練掌握。長(zhǎng)的計(jì)算等，要熟練掌握。 知識(shí)整合 （4）一般棱錐的性質(zhì)定理：）一般棱錐的性質(zhì)定理： 定理：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么截面定理：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它們面積的比等于截得的棱錐的高和底面相似，并且它們面積的比等于截得的棱錐的高和原棱錐的高的平方比。和原棱錐的高的平方比。 一般棱錐的重要性質(zhì)定理應(yīng)用很廣泛，其結(jié)論還可加一般棱錐的重要性質(zhì)

8、定理應(yīng)用很廣泛，其結(jié)論還可加以引申：截面面積與底面面積的比等于截得的小棱錐以引申：截面面積與底面面積的比等于截得的小棱錐與原棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)的平方比；截得的小棱錐的側(cè)面積與原棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)的平方比；截得的小棱錐的側(cè)面積與原棱錐的側(cè)面積之比，也等于截得的小棱錐的邊長(zhǎng)與原棱錐的側(cè)面積之比，也等于截得的小棱錐的邊長(zhǎng)與原來(lái)棱錐對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的平方比。與原來(lái)棱錐對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的平方比。(5)、棱錐的側(cè)面積、體積公式、棱錐的側(cè)面積、體積公式1.設(shè)正棱錐的底面周長(zhǎng)為設(shè)正棱錐的底面周長(zhǎng)為c，斜高為，斜高為h，則它，則它的側(cè)面積的側(cè)面積S錐側(cè)錐側(cè)=hc 212.設(shè)棱錐底面積為設(shè)棱錐底面積為S，高為，高為h，則其體積，則其體積V=

9、Sh31返回返回基礎(chǔ)再現(xiàn)基礎(chǔ)再現(xiàn) 1、一個(gè)四棱錐是正四棱錐的充分不必要條件是、一個(gè)四棱錐是正四棱錐的充分不必要條件是（ ） A：各側(cè)面與底面成相等的二面角：各側(cè)面與底面成相等的二面角 B：各側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形：各側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形 C；各側(cè)面是正三角形；各側(cè)面是正三角形 D：各側(cè)棱與底面成相等的角：各側(cè)棱與底面成相等的角l l l l31arccos C基礎(chǔ)再現(xiàn)B2、正六棱錐底面邊長(zhǎng)為、正六棱錐底面邊長(zhǎng)為a，體積為，體積為 ，那么側(cè)棱與底面所成的角等于那么側(cè)棱與底面所成的角等于（ ）A： B： C： D：233a125346基礎(chǔ)再現(xiàn)基礎(chǔ)再現(xiàn) 3、一個(gè)正四棱錐的中

10、截面面積是、一個(gè)正四棱錐的中截面面積是Q，正四棱錐的底面，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)是邊長(zhǎng)是（ ）A： B： C： D：l l l llD4Q2QQQ2基礎(chǔ)再現(xiàn)基礎(chǔ)再現(xiàn) 4、正四面體、正四面體ABCD中，中，ABa，若，若頂點(diǎn)頂點(diǎn)A在底面在底面BCD內(nèi)的射影為內(nèi)的射影為O，則則OB ，OA ， AB與底面與底面BCD所成的角是所成的角是 ；側(cè)；側(cè)面與底面所成角是面與底面所成角是_, 相鄰兩側(cè)面所成二面角的大小是相鄰兩側(cè)面所成二面角的大小是_；正四面體的體積為；正四面體的體積為 。l l l ll例題精析 例例1、（、（1）有四個(gè)命題：）有四個(gè)命題： 各側(cè)面是全等的等腰三角形的四棱錐是各側(cè)面是全等的等腰

11、三角形的四棱錐是正四棱錐；正四棱錐； 底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；底面是正多邊形的棱錐是正棱錐； 棱錐的所有面可能都是直角三角形；棱錐的所有面可能都是直角三角形； 四棱錐中側(cè)面最多有四個(gè)直角三角形，四棱錐中側(cè)面最多有四個(gè)直角三角形， 正確的命題有正確的命題有 。3、4例題精析 （2）如圖所示，在三棱錐）如圖所示，在三棱錐DABC中，中，DA 平面平面ABC， ACB90， ABD30，ACBC，求異面直線，求異面直線AB與與CD所成的角的余弦所成的角的余弦值值 【思路分析】本題是以棱錐【思路分析】本題是以棱錐為背景考查異面直線所成為背景考查異面直線所成的角，求異面直線所成的的角，求異面直線所

12、成的角抓平移，化為平面內(nèi)的角，角抓平移，化為平面內(nèi)的角，利用正弦、余弦定理求解。利用正弦、余弦定理求解。也可以補(bǔ)體、構(gòu)造成長(zhǎng)方體，也可以補(bǔ)體、構(gòu)造成長(zhǎng)方體，然后求解。然后求解。例題精析 【解題回顧】（【解題回顧】（1 1）求異面直線所成角常要作出）求異面直線所成角常要作出所成角的平面圖形，作法有：所成角的平面圖形，作法有：平移法；在異平移法；在異面直線中的一條直線上選擇面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)特殊點(diǎn)”，作另，作另一條直線的平行線，如解法一，或利用中位線，一條直線的平行線，如解法一，或利用中位線，如解法二。如解法二。補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的幾何體，其目的在

13、于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間幾何體，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系，如解法三。（的關(guān)系，如解法三。（2 2）解立體幾何計(jì)算題要）解立體幾何計(jì)算題要先作出所求的角，并要有嚴(yán)格的推理論證過(guò)程，先作出所求的角，并要有嚴(yán)格的推理論證過(guò)程，還要合理的計(jì)算步驟，例如解法三把等腰三角還要合理的計(jì)算步驟，例如解法三把等腰三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形使得計(jì)算簡(jiǎn)單形轉(zhuǎn)化為直角三角形使得計(jì)算簡(jiǎn)單 例例2.（1）在三棱錐）在三棱錐P-ABC中，中，PA、PB、PC兩兩成兩兩成60角，角，PA=a，PB=b，PC=c，求三，求三棱錐棱錐P-ABC的體積的體積. 【思路分析】由條件【思路分析】由條件 APB APC60，可

14、以得，可以得到頂點(diǎn)到頂點(diǎn)A在底面在底面ABC上的射上的射影影H應(yīng)在應(yīng)在 BPC的平分線上，的平分線上，但這個(gè)結(jié)論一定要先證明才但這個(gè)結(jié)論一定要先證明才能使用。能使用。例題精析 【解題回顧】【解題回顧】(1)把把A、B、C中的任一個(gè)點(diǎn)作為頂中的任一個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)點(diǎn)(其余三點(diǎn)構(gòu)成的三角形作為底面其余三點(diǎn)構(gòu)成的三角形作為底面)是解題的關(guān)鍵，是解題的關(guān)鍵，這說(shuō)明改變幾何體的放置方式或改變對(duì)幾何體的這說(shuō)明改變幾何體的放置方式或改變對(duì)幾何體的觀察角度在解題中是十分重要的觀察角度在解題中是十分重要的. (2)當(dāng)當(dāng)a=b=c時(shí)，得到正四面體的體積是時(shí)，得到正四面體的體積是 a. (3)若在若在PA、PB、PC上

15、各任取一點(diǎn)上各任取一點(diǎn)M、N、R，設(shè)，設(shè)PM=m,PN=n,PR=r,則容易證明則容易證明 ,這一結(jié)論與這一結(jié)論與PA、PB、PC成成 多多大的角無(wú)關(guān)大的角無(wú)關(guān).abcmnrVVABC-PMNR-P122例例3.已知已知E，F(xiàn)分別是棱長(zhǎng)為分別是棱長(zhǎng)為a的正方體的正方體ABCDA1B1C1D1的棱的棱A1A，CC1的中點(diǎn)，求四棱錐的中點(diǎn)，求四棱錐C1B1EDF的體積的體積.【解題【解題回顧回顧】求】求多面體多面體的的體積體積的方法的方法主要主要是：直接法是：直接法(解法解法1)、分割分割法法(解法解法2)、補(bǔ)形法、補(bǔ)形法(解法解法3).例題精析 例例4：四棱錐：四棱錐PABCD中，側(cè)面中，側(cè)面P

16、DC是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為2的正的正三角形，且與底面垂直，底面三角形，且與底面垂直，底面ABCD是面積為是面積為 的菱形，的菱形，ADC為菱形的銳角。為菱形的銳角。 求證：求證：PA CD； 求二面角求二面角PABD的度數(shù)；的度數(shù)； 求棱錐求棱錐PABCD的側(cè)面積。的側(cè)面積。32例題精析 （2）、如圖所示，在正三棱錐）、如圖所示，在正三棱錐S-ABC中，過(guò)底中，過(guò)底面頂點(diǎn)面頂點(diǎn)B 和側(cè)棱和側(cè)棱SA、SC上的上的E、F點(diǎn)做一截面點(diǎn)做一截面BEF和側(cè)面和側(cè)面SAC的垂直的垂直 （1）若）若E、F分別為分別為SA、SC中點(diǎn)時(shí)，求此三棱中點(diǎn)時(shí)，求此三棱錐的側(cè)面積與底面積之比錐的側(cè)面積與底面積之比 （2）若）

17、若AB =8，斜高，斜高h(yuǎn)= ， 求截面求截面BEF的面積。的面積。338例題精析評(píng)注：在本題的圖形條件下，可進(jìn)一步思評(píng)注：在本題的圖形條件下，可進(jìn)一步思考，若求考，若求BEF分三棱錐所成的兩個(gè)多面體分三棱錐所成的兩個(gè)多面體的體積比是多少？若截面的體積比是多少？若截面BEF與側(cè)面與側(cè)面SAC所成角為所成角為 時(shí)，這類問(wèn)題時(shí)，這類問(wèn)題的如何解？的如何解？)20(例題精析 例例5、（、（2004年天津高考，年天津高考，19）如圖，在四棱錐）如圖，在四棱錐PABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱是正方形，側(cè)棱PD 底面底面ABCD，PDDC，E是是PC的中點(diǎn)，作的中點(diǎn)，作EF PB交交PB于

18、點(diǎn)于點(diǎn)F 證明：證明：PA平面平面EDB 證明：證明：PB 平面平面EFD 求二面角求二面角CPBD的大小。的大小。精彩小結(jié) 1、深刻理解棱錐、正棱錐的定義及性質(zhì)，平行于棱錐底面的截、深刻理解棱錐、正棱錐的定義及性質(zhì)，平行于棱錐底面的截面性質(zhì)，是解決有關(guān)棱錐問(wèn)題的基礎(chǔ)，判斷一個(gè)棱錐是否為正棱面性質(zhì)，是解決有關(guān)棱錐問(wèn)題的基礎(chǔ)，判斷一個(gè)棱錐是否為正棱錐的條件是：（錐的條件是：（1）底面是正多邊形；（）底面是正多邊形；（2）頂點(diǎn)在底面上的射影）頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的中心，兩者缺一不可。為底面多邊形的中心，兩者缺一不可。 2、充分利用正棱錐中的三個(gè)、充分利用正棱錐中的三個(gè)“特征直角三角形特征

19、直角三角形”，把空?qǐng)D形轉(zhuǎn)，把空?qǐng)D形轉(zhuǎn)化為平面圖形，是解決正棱錐有關(guān)問(wèn)題的基礎(chǔ)，化為平面圖形，是解決正棱錐有關(guān)問(wèn)題的基礎(chǔ)，精彩小結(jié) 3、幾個(gè)重要結(jié)論：、幾個(gè)重要結(jié)論： （1）棱錐的側(cè)棱均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影是底面多邊形）棱錐的側(cè)棱均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影是底面多邊形的外心；棱錐的各側(cè)面與底面所成的二面角均相等，則頂點(diǎn)在底的外心；棱錐的各側(cè)面與底面所成的二面角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的內(nèi)心；如果三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂面上的射影為底面多邊形的內(nèi)心；如果三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，那么頂點(diǎn)在底面上的射影是底面三角形的垂心。直，那么頂點(diǎn)在底面上的射影是底面三角形的垂心。 （2）由

20、正棱錐的定義以及三角形全等，我們不難得到正棱錐的）由正棱錐的定義以及三角形全等，我們不難得到正棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等，側(cè)棱與底面所成的角都相等，側(cè)面與底面所成的二面角都相等，側(cè)棱與底面所成的角都相等，相鄰兩側(cè)面所成的二面角也相等。相鄰兩側(cè)面所成的二面角也相等。精彩小結(jié) 4、三棱錐的等（體）積變換是解決點(diǎn)到面的距離的常、三棱錐的等（體）積變換是解決點(diǎn)到面的距離的常見(jiàn)方法之一，同時(shí)也是使計(jì)算簡(jiǎn)化的靈活手法；見(jiàn)方法之一，同時(shí)也是使計(jì)算簡(jiǎn)化的靈活手法；“割割”“”“補(bǔ)補(bǔ)”是解決體積問(wèn)題常用技巧，正棱錐的四是解決體積問(wèn)題常用技巧，正棱錐的四個(gè)個(gè)“特征特征”直角三角形，是將直角三角形，是將“空間問(wèn)題空間問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“平面問(wèn)題平面問(wèn)題”的橋梁。的橋梁。