考研數(shù)學(xué)概率論輔導(dǎo)講義

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1、)))))) 考研數(shù)學(xué)概率論輔導(dǎo)講義 主講：馬超 s))))) 第二章隨機(jī)變量及其分布 第一節(jié)基本概念 1、概念網(wǎng)絡(luò)圖 ；基本事件切—」隨機(jī)事件A—:P(A)::隨機(jī)變量X(o)L:a

2、律。有時(shí)也用分布列的形 式給出： X|M,X2，…，Xk,… P(X=xk)p1,p2,…，pk,…。 顯然分布律應(yīng)滿足卜列條件： Q0 Zpk=1 (1)pk-0,k=1，2,…，(2)k，。 (2)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度 設(shè)F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)f(x),對任意實(shí)數(shù)X,有 X F(x)=LJ(X)dX 則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。f(x)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概 率密度。 密度函數(shù)具有卜面4個(gè)性質(zhì)： 1。f(x)>0O f^f(x)dx=1 N-2o (3)離散與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系 P(X=x)定P(x

3、x)定f(x)dx 積分元f(x)dx在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與p(X=xk)=pk在離 散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。  (4)分布函數(shù) 設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù) F(x)=P(X

4、,F(+g)=limF(x)=1; 4。 F(x+0)=F(x),即F(x)是右連續(xù)的； 5。 P(X=x)=F(x)—F(x—0)。 對于離散型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)=￡pk； xk

5、p的二項(xiàng)分布。記為 X~B(n,p)o 當(dāng)n=1時(shí)，P(X=k)=pkqj,k=0.1,這就是(0-1)分布，所以(0-1)分布是二項(xiàng)分布的特例。 泊松分布 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 k P(X=k)=—eA,九>0,k-0,1,2」，k! 則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為九的泊松分布，記為X~n(九)或 者P(X)o 泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布(np=入，n-8)。 超幾何分布 口~八CM*Cnlk=0,1,2\lP(X-k)-n, CNl=min(M,n) 隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。 幾何分布 P(X=k)=qk_1p,k=1,

6、2,3，…，其中p>0,q=1-p。 隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。  均勻分布 設(shè)隨機(jī)變量X的值只落在［a, b］內(nèi)，其密度函數(shù)f(x)在［a, b］ ，一 1 上為常數(shù) 1 .即 b - a a< x< b f (x) = b - a， 0, 其他， 則稱隨機(jī)變量 X在［a, b］上服從均勻分布，記為 X~U(a, b)。 分布函數(shù)為 0, xb。 當(dāng)awxi

7、x1 0 x<0。 記住積分公式： -be xne^dx=n! 0 正態(tài)分布 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 13 f(x)=de^^",-g0為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為卜、仃 2、 的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布，記為X~N(^,0)。 f(x)具有如下性質(zhì)： 1 。f(x)的圖形是關(guān)于x=□對稱的； 2 當(dāng)x=R時(shí)，f(R)

8、=^為最大值； 2v12ncr 若X~N(1，。)x,地要的分布函數(shù)為 F(x)(e2仃dt 參數(shù)卜-0、仃=1時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)止態(tài)分布，記為 X~N(0,1),其密度函數(shù)記為 中(x)=4e2 42n,_妙

9、o)=ot; 上分位表：P(XARQ=a。 (7)函數(shù)分布 離散型 已知X的分布列為 Xx1,x2,…，xn,… P(X=xi)p1,p2,…，Pn，… Y=g(X)的分布列(yi=g(xj互不相等)如下： Yg(x1),g(x2)，…，g(xn),… P(Y=yi)…... 若由某些g(xip相等,pl應(yīng)將對,應(yīng)白p,pi相加作為g(xi)的概率。 連續(xù)型 先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y)=P(g(X)< y),再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fy(y)。 例2.1:4黑球，2白球，每次取一個(gè)，不放回，直到取到黑為止，令X(co)為“取白球的

10、數(shù)”，求X的分布律。 例2.2:給出隨機(jī)變量X的取值及其對應(yīng)的概率如下： X|1,2,,k, P11…1…，2"，，k", 3323k 判斷它是否為隨機(jī)變量X的分布律。 例2.3:設(shè)離散隨機(jī)變量X的分布列為 X-1,0,1,2 P1111' 8,8,4,2 1、 33 求X的分布函數(shù)，并求P(X<-),P(1

11、求其中含a個(gè)白球，b個(gè)黑球的概率(a

12、2.10：袋中裝有a個(gè)白球及3個(gè)黑球，從袋中先后取a+b個(gè)球(放回)，試求直到第a+b次時(shí)才取到白球的概率(a0,則A=。 例2.15：設(shè)X~N(N尸2),求P(|X—N

13、|<3仃)。 例2.16:X~N(2,b2)且P(2ua} =a ,若 P{X

14、密度函數(shù)fY(y)。 x(1x) 第二節(jié)重點(diǎn)考核點(diǎn) 常見分布、函數(shù)分布 第三節(jié)常見題型 1、常見分布 例2.20:若有彼此獨(dú)立工作的同類設(shè)備90臺，每臺發(fā)生故障的概率為0.01?，F(xiàn)配備三個(gè) 修理工人，每人分塊包修30臺，求設(shè)備發(fā)生故障而無人修理的概率。若三人共同負(fù)責(zé)維修 90臺，這時(shí)設(shè)備發(fā)生故障而無人修理的概率是多少？ 例2.21：隨機(jī)變量X滿足P(X>h)=P(X>a+hIX>a).(a,h均為正整數(shù))的充分條件為： ⑴X服從幾何分布P(X=k)=p(1-p)k-1(k=1,2,…) (2)X服從二項(xiàng)分布P(X=k)=C：Pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…n)

15、例2.22:實(shí)驗(yàn)器皿中產(chǎn)生甲乙兩種細(xì)菌的機(jī)會(huì)是相等的，且產(chǎn)生細(xì)菌的數(shù)X服從參數(shù)為入 的泊松發(fā)布，試求： (1)產(chǎn)生了甲類細(xì)菌但沒有乙類細(xì)菌的概率； (2)在已知產(chǎn)生了細(xì)菌而且沒有甲類細(xì)菌的條件下，有兩個(gè)乙類細(xì)菌的概率。 例2.23:設(shè)隨機(jī)變量X服從[a,b](a>0)的均勻分布，且P(04)=]，求: 42 (1)X的概率密度(2)P(1

16、y),稱X與Y獨(dú)立。 例2.25:設(shè)隨機(jī)主量X的概率密度為 x [0,1] x [3,6] 1 3 f(x)=2 9 2 其使得P(X々k)=—,則k的取值范圍是。 3 例2.26:設(shè)顧客到某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間X(單位：分)服從指數(shù)發(fā)布，其密度 函數(shù)為 1~xn f(x)=2,5e，x00,x<0 某顧客在窗口等待服務(wù)，如超過10分鐘，他就離開。他一個(gè)月到銀行5次，以Y表示 一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，求Y的分布列，并求P(Y>1)。 例2.27:X3~N(1,72),貝UP(1

17、(x)=；產(chǎn),(一二 0. .x :二 0, 0 - x ：二 1, 14 一e,2 (D)F(x)=^1_1e- 2 J, x々1. 1_1 例2.29:設(shè)隨機(jī)變量X的絕對值不大于1,即兇W1,且P(X=」)=§,P(X=1)=z在事件｛-1

18、的任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間長度成正比。試求X的分布函數(shù)F(x)及P(X<0)(即X取負(fù)值的概率)。 2、函數(shù)分布 例2.30:設(shè)隨機(jī)變量X具有連續(xù)的分布函數(shù)F(x),求Y=F(X)的分布函數(shù)F(y)。(或證明題： 設(shè)X的分布函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)，證明隨機(jī)變量Y=F(X)在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布。)例2.31:設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 f(x)= 33 x2 0, 若 x [1,8] 其他 F(x)是X的分布函數(shù)，求隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù)。 例2.32:假設(shè)一設(shè)備開機(jī)后無故障工作的時(shí)間X服從指數(shù)分布，平均無故障工作的時(shí)間(EX) 為5小時(shí)。設(shè)備定

19、時(shí)開機(jī)，出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī)，而在無故障的情況下工作2小時(shí)便關(guān)機(jī)。 試求該設(shè)備每次開機(jī)無故障工作的時(shí)間Y的分布函數(shù)F(y)。 第四節(jié)歷年真題 數(shù)學(xué)一: 1(88,2分)設(shè)隨機(jī)變量X服從均值為10,均方差為0.02的正態(tài)分布上。已知 x ：'(x)= 一 2 1/2 2-e du,6(2.5) =0.9938,則 X落在區(qū)間(9.95, 10.05 )內(nèi)的概率為 一、一，一、一一,1，一、一 2(88,6分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為fX(x)=———，求隨機(jī)變量二(1x2) Y=1-3X的概率密度函數(shù)fY(y)。 3(89,2分)設(shè)隨機(jī)變量1在區(qū)間(1,6)上服從

20、均勻分布，則方程x2+^x+1=0 有實(shí)根的概率是。 1—— 4(90,2分)已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)f(x)=—e*1,—o0cx<十°0,則 X的概率分布函數(shù)F(x)=。 5（93,3分）設(shè)隨機(jī)變量X服從（0,2）上的均勻分布，則隨機(jī)變量Y=X2在（0, 4）內(nèi)的概率分布密度 fY (y) L 6（95,6分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 f X ( X)=， e 0, x _ 0 x :: 0 求隨機(jī)變量Y=eX的概率密度fY（y）。 7（02,3分）設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（%。2）（。>0）,且二次方程 21 y2+4y+X

21、=0無實(shí)根的概率為萬，則卜=。 8（04,4分）設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（0,1）,對給定的ot（0（口<1）,數(shù)u^ 滿足P{XAuj=口，若P{X仃2. （C）因<%（D）匕>“2. 數(shù)學(xué)三: 1（87,2分）（是非題）連續(xù)型隨機(jī)變量取任何給定實(shí)數(shù)值的概率都等于0。 2（87,4分）已知隨機(jī)

22、變量X的概率分布為P{X=1}=0.2,P[X=2}=0.3,P{X=3}=0.5 試寫出其分布函數(shù)F（x）. 3（88,6分）設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間（1,2）上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量Y=e2X 的概率密度f（y）。 4（89,3分）設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 0,若x<0 _,...-w-―江 F（x）=《Asinx,右0ExE一 2 1,右x>一 L2 則A=，P{|X|<-}=。 ,6 5（89,8分）設(shè)隨機(jī)變量X在［2,5］上服從均勻分布，現(xiàn)在對X進(jìn)行三次獨(dú)立觀 測，試求至少有兩次觀測值大于3的概率。 6（90,7分）對某地抽樣調(diào)查的結(jié)果表明，考生的外語成

23、績（百分制）近似服從 正態(tài)分布，平均成績?yōu)?2分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%,試求考生的外語成績在60 分至84分之間的概率。 ［附表］: x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 ①(x) 0.500 0.692 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 表中①（x）是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。 若x -1 若-1三x ：二1 若1三x :二3 若x 一 3 7（91,3分）設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 ’0, 0.4, F(x)=P(X

24、 分） O 一輛汽車沿一街道行駛，要過三個(gè)均設(shè)有紅綠信號燈的路口，每個(gè) 信號燈為紅或綠與其他信號燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅、綠兩種信號顯示的時(shí)間相等。以 表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個(gè)數(shù), 9（92,7分） 設(shè)測量誤差 X~N （0, 三次測量誤差的絕對值大于 19.6的概率a , 取兩位有效數(shù)字）。 ［附表］: 求 X的概率分布。 102）。試求在100次獨(dú)立重復(fù)測量中，至少有 并用泊松分布求出 a的近似值（要求小數(shù)點(diǎn)后 九 1 2 3 4 5 6 7… e4 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002

25、 0.001…  10 (93,8分)設(shè)一大型設(shè)備在任何長為t的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(t)服從參 數(shù)為It的泊松分布。 (1) 求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔T的概率分布； (2) 求在設(shè)備已經(jīng)無故障工作8小時(shí)的情形下，再無故障運(yùn)行8小時(shí)的概率Q 11 (94,3分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 f(x) [2x, 0, ■. 0 二 x ：二 1 其他 以Y表示對X的三次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件{XW1}出現(xiàn)的次數(shù)，則P{Y=2}= 12(95,3分)設(shè)隨機(jī)變量X~N(科，/),則隨著b的增大，概率P(|X—N|<仃) (A)單調(diào)增大。(B)單調(diào)減小。 (

26、C)保持不變。(D)增減不定。 11 13 (97,7分)設(shè)隨機(jī)變量X的絕對值不大于1,P(X=—1)=g,P(X=1)=z。 在事件{-127、函數(shù).求隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù). 16(04,4分)設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1),對給定的戶(0,1),數(shù)u0滿足 P{X>Ua}=a,若P{|X|cx}=a,則x等于 (A)Ua.(B)Ua.(C)Uj.(D)Ui_a.[] 1 一一 2 22 17(06,4分)設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(R1,52,隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布 N(電產(chǎn)22),且pqx—鳥P^Y-^2<1},則必有() (A) 二1；二2 (B) 二1二2 (C) /1：二」2 (D) 」1.」2 第三章二維隨機(jī)變量及其分布 第一節(jié)基本概念 1、概念網(wǎng)絡(luò)圖 常

28、見二維分布」 均勻分布正態(tài)分布 聯(lián)合分布， ［離散型分布律連續(xù)型分布密度 (X,Y) > 邊緣分布 條件分布 獨(dú)立性 Z=X+Y 函數(shù)分布/2分布 三大統(tǒng)計(jì)分布tt分布, F分布j )))))) 2、重要公式和結(jié)論 s))))) (1)聯(lián)合離散型分布 如果二維隨機(jī)向量U(X,Y)的所有可能取值為至多可列 個(gè)有序?qū)?x,y),則稱M為離散型隨機(jī)量。 設(shè)E=(X,Y的所有可能取值為(xi,yj)(i,j=1,2,…)， 且事件{t=3,yj)}的概率為pj,,稱

29、X y1 y2 … yj … x1 pn p12 … p1j … x2 p21 p22 … p2j … . ■ xi pi1 … pj … a m m P{(X,Y)=(為》)}=pj(i,j=1,2,) 為自=(X,Y)的分布律或稱為X和丫的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分 布有時(shí)也用下面的概率分布表來表示： 這里pj具有下面兩個(gè)性質(zhì): 連續(xù)型 (1)pj>0(i,j=1,2,…)； (2匚Epj=1. 對于二維隨機(jī)向量丟=(X,Y),如果存在非負(fù)函數(shù) f(x,y)(一°0

30、,使對任意一個(gè)其鄰邊 分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D,即D={(X,Y)[a0; ⑵OO(x,y)dxdy=1. (X=x,Y=y)=(X=xY=y)

31、 (3)聯(lián)合分布函數(shù) 設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù) F(x,y)=P{Xxi時(shí),有F(x2,y)>F(xi,y);當(dāng)y2>yi時(shí),有F(x,y2)>F(x,y1);

32、 (3) F(x,y)分別對x和y是右連續(xù)的，即 F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0); (4) F(_g,_g)=F(—*y)=F(x,—g)=0,F(十吟+g)=1. (5)對于x1

33、1,2,…)。 連續(xù)型 x的邊緣分布.密度為fX(x)=1：f(x,y)dy; ——'J Y的邊緣分布密度為fy(y)=』：f(x,y)dx. (6)條件分布 離散型 在已知X=x的條件下，Y取值的條件分布為 Pij P(Y-yj|X-xi)-j; Pi. 在已知Y=y的條件下，X取值的條件分布為 Pj P(X-xi|Y-yj)--,P- 連續(xù)型 在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為 ??、f(x,y) f(x|y)=-fL-Lr；fy(y) 在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為 ??、f(x,y) f(y|x)= fx(x) (7)獨(dú)立性

34、 一般型 F(X,Y)=Fx(x)FY(y) 離散型 Pij=Pi$. 后零不獨(dú)立  連續(xù)型 f(x,y)=fx(x)fY(y) 直接判斷，充要條件： ①可分離交量 ②正概率密度區(qū)間為矩形 二維正態(tài)分布 1 年) 2Px_#)(y_R)上 * 12(1_P) f(x,y).2e 2tktio2J1一P P=0 g 產(chǎn)＞4 隨機(jī)變量的函數(shù) 若X1,X2，…X,Xm+1,…X相互獨(dú)立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則： h(X1,X2,…X)和g(Xm+1,…為)相互獨(dú)立。 特例：若X與Y獨(dú)立，則：h(X)和g(Y)獨(dú)立。 例如：若X與Y獨(dú)立，則：3X

35、+1和5Y-2獨(dú)立。 (8)二維均勻分布 設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的分布密度函數(shù)為 ’1，、- —(x,y)二D SD f(x,y)= 0,其他 其中Sd為區(qū)域D的面積，則稱(X：Y)服從D上的均勻分布，記為(X,Y) U(D)。 例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。 y+ 1. O1x 圖3.1 y 圖3.2 y.d D3 c- O不bx圖3.3 )))))) (9)二維正態(tài)分布 設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的分布密度函數(shù)為 1仁』［2Rxj)(y_-)Jy_-11 1 2(1一”［仃)g3J f(x,y)=22eJ/1, 2 g1仃2笛：

36、1-P 其中出，匕。1A0,仃2>0,|P|<1是5個(gè)參數(shù)，則稱(X,Y)服從二維正態(tài)分布， 記為(X,Y)-N(也，匕仃；，仃2,P). 由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布， 即x?ni(%。2),丫~n(%，2).....，2、__,..2、 但是右X?N(4,。1),Y~N(匕。2),(X,Y)未必是一維正態(tài)分布。 (10)函數(shù)分布 Z=X+Y 根據(jù)定義計(jì)算：FZ(z)=P(Zwz)=P(X+Y

37、相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。 N=￡CH,C。2 Z=max,min( X1,X2，…Xn) 若X1,X2…Xn相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為 Fx(x),Fx2(x)…Fxn(x),則Z=max,min(X1,X2,??Xn)的分布函數(shù)為： Fmax(x)—Fx1(x)*Fx2(x)Fxn(X) Fmin(x)=1-[1-Fx1(x)]*[1-Fx2(x)K-[1-Fxn(x)]  22分布 設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量Xi,X2布，可以證明它們的平方和 , ,Xn 相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分 的分布密度為 W 1 n n =￡

38、X： T nu 2 u2e2u至0, f(u)=" ： 2t P u<0. 我們稱隨機(jī)變量W艮從自由度為 n的72分布，記為W72(n), 其中 r 所謂自由度是指獨(dú)、分布中的一個(gè)重要參數(shù)。 四、n n\"■fee —i=fx2e△dx. 西廣0 z:止態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，它是隨機(jī)變量 2t2,,…一一 2分布滿足可加性: 設(shè) 則 k Yi "S), Z=2Yy -7- 2(n1 +n2+…+nj t分布 設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)

39、變量，且 X 可以證明函數(shù) ~ N(0,1),Y?7(n), 的概率密度為 T X

40、H f八八j―y—y~y—\y-Iy1+-y。至0 "丫)=71■上1恒］ln2,1'n2) <2J12J 、0,y<0 我們稱隨機(jī)變量F服從第一個(gè)自由度為ni,第二個(gè)自由度為n2的F分布，記為F?f(ni,n2). 1 F：.(n2,ni) 例3.i二維隨機(jī)向量(X,Y)共有六個(gè)取正概率的點(diǎn)，它們是：(i,-i),(2,-i),(2,0),2,2),(3,i),(3,2),并且(X,Y)取得它們的概率相同，則(X,Y)的聯(lián)合分布及邊緣分布為 -i 0 i 2 pi? i i 6 0 0 0 i 6 2 i 6 工 6 0 i 6

41、 i 2 3 0 0 i 6 i6 i 3 Pj i 3 i 6 i 6 i3 i 例3.2:設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布，其中 D={(x,y):|xy|Mi,|x-y|

42、機(jī)變量，且X?U(0,i),Y?e(i),求Z=X+Y的分 布密度函數(shù)fz(z)。 例3.7:設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，其中X的概率分布為 -12〕 X~, 0.40.6 而Y的概率密度為e（1）,求隨機(jī)變量U=—2的概率密度g（u）。 Y1 第二節(jié)重點(diǎn)考核點(diǎn) 二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)、隨機(jī)變量的獨(dú)立性、簡單函數(shù)的分布 第三節(jié)常見題型 1、

43、二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù) 例3.8:如下四個(gè)二元函數(shù)，哪個(gè)不能作為二維隨機(jī)變量（X,Y）的分布函數(shù)? (1-e")(1-e~y),0x：1",0:：y：1-二, (A)F1(x,y)= 0,其他. (B) …、1仇」xlfn,y' F2(x,y)=—r—+arctan-i—+arctan—. 一122人23) 1,x2y-1, (C) F3(x,y)=， 0 ：： x ：：二,0 ：： y ：：二, 其他. 0,x+2y<1. 1_2-2_y+2--y (D) F4(x,y)=? 0, 例3.9:設(shè)X與Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們均勻地分布在（0,l）內(nèi)，試

44、求方程 12+Xt+Y=0有實(shí)根的概率。 例3.10:將一枚均勻硬幣連擲三次，以X表示三次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面的次數(shù)，Y表示出現(xiàn)正 面的次數(shù)與出現(xiàn)反面的次數(shù)的差的絕對值，求（X,Y）的聯(lián)合分布律。 .1 11 例3. 11 :設(shè)隨機(jī)變量Xi ~ i =1,2,且 P(X1X2 =0) =1,求 P(X1 =X2). -4 例3. 12:設(shè)某班車起點(diǎn)站上車人數(shù) x服從參數(shù)為Mh>0)的泊松分布，每位乘客在中途下 車的概率為p(0

45、y=1與直線y=0,x=1,x=e2所圍成(如圖3.15),二維隨機(jī)向X 量E=(X,Y)在D上服從均勻分布，求(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布密度在x=2處的值。 例3.14:設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布，在X=X(01}. 2、隨機(jī)變量的獨(dú)立性 例3.15:設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能地取值，另一隨機(jī)變量Y在1?X中等可能地取一整數(shù)值，試求(X,Y)的分布律，X,Y的邊緣分布律，并判斷獨(dú)立性。 例3.

46、16:設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，并且P(X=1)=P(Y=1)=p,P(X=0)=P(Y=0)=1-p=q,00,yax, 例3.18:設(shè)(X,Y)的密度函數(shù)為邛(x,y)=? 0, 其他. )))))) 試求：(1)X,Y的邊緣密度函數(shù)，并判別其獨(dú)

47、立性; (2) (X,Y)的條件分布密度； (3) P(X>2]Y<4). 3、簡單函數(shù)的分布 B (1, 0, 4),求行列式 例3.19:設(shè)隨機(jī)變量Xi(i=1,2,3,4)相互獨(dú)立同 X1X2 X= X3X4 的概率分布。 例3.20:設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的分布密度為 3x0::x：：1,0::y::x,中(x,y)=? 0,其他. 試求Z=X-Y的分布密度。 例3.21：設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布是正方形G={(x,y)|1WxW3,1WyW3}上的均勻分布，試求隨機(jī)變量U=|X-Y|的概率密度f(u). 例3.22:設(shè)某型號的電子元件壽命(以小時(shí)計(jì))近似

48、服從N(160,202)分布，隨機(jī)選取4 件，求其中沒有一件壽命小于180小時(shí)的概率。 例3.23:對某種電子裝置的輸出測量了5次，得到的觀察值X1,X2,X3,X4,X5,設(shè)它們 是相互獨(dú)立的變量，且都服從同一分布 一二 1 -e-8,x>0, F(z)=? 0,其他. 試求：max{X1,X2,X3,X4,X5}a4的概率。 例3.24：設(shè)X1,X2，…，X10相互獨(dú)立同N(0,22)分布，求常數(shù)a,b,c,d Y=aX：b(X2X3)2c(X4X5X6)2d(X7X8X9X10)2 服從丁2分布，并求自由度m1 例3.25：設(shè)隨機(jī)變量X與丫相互獨(dú)立同服從N(0,3

49、2)分布,xi,X2…，x9以及y1，y2,…，y9 是分別來自總體X,丫的樣本，求統(tǒng)計(jì)量 的分布。 例3. 26:設(shè)隨機(jī)變量 X?t（n）（n>1）, 數(shù)學(xué)一: 9 … 1 求Y 的分布。 X 第四節(jié)歷年真題 1 （87, 6分） 設(shè)隨機(jī)變量X, Y相互獨(dú)立，其概率密度函數(shù)分別為 [ 0 0,y >0 f（x，y）=：。，其他 求隨機(jī)變量Z=X+2Y

50、的分布函數(shù)。 3（92, 6分） 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X服從正態(tài)分布 N （巴仃2） ］］上均勻分布，試求Z=X+Y勺概率分布密度（計(jì)算結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù) ?。╔）= t2 X —— eJe 2 (dt)。 4 （94, 3分） 設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)數(shù)隨機(jī)變量 X與Y具有同一分布律, ，丫服從［-兀, D表示，其中 工 X的分布 律為 則隨機(jī)變量Z=max{X, Y的分布律為 5（95,3分）設(shè)X和Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，且 34 P{X—QY-0}=-,P{X_0}=P{Y—0} 則P{max(X,Y)_0}= 1一 6（98,3分）設(shè)平面區(qū)域D由曲線y=

51、—及直線y=Qx=1,X=e2所圍成，二維隨 X Y）關(guān)于X的邊緣概率密度在 x=2處的值 X和Y分別服從正態(tài)分布 N （0, 1）和N ， 4 1 （8） P{X Y < 1}=- ， 、1 （D） P{X -Y < 1}=- 機(jī)變量（xY在區(qū)域D上服從均勻分布，則（X,為。 7（99,3分）設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 （1,（1） ，、，~1 （A）p{XYE0}=5 ，、，~1 （C）P{X-Y<0}=- 8（99,8分）設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量（X,Y）聯(lián) 合分布律及關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中的空白

52、處。 y1 y2 y3 p{x=xi}=p. Xi 1 8 x2 1 8 p{Y=yj}=p. 1 6 1 9（02,3分）設(shè)X1和X2是任意兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的概率密 分別為f[（x）和f2（x）,分布函數(shù)分別為E（x）和F2（x）,則 （A） f1（x）+f2（x）必為某一隨機(jī)變量的概率密度; （B） f[（x）?f2（x）必為某一隨機(jī)變量的概率密度; （C） Fi（x）+F2（x）必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)； （D） Fi（x）?F2（x）必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)。[] 10 （03,4分

53、）設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為 6x,0

54、 1, 0 二 x 二 1, 0, 其他 0 :: y 二 2x, 求：⑴（X,Y）的邊緣概率密度fx（x）,fY（y）; （II）Z=2X—Y的概率密度fZ（z）. 3]上的均勻分布，則 令 y=x2,F(x,y)為 14（06,4分）設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間[0, P：max{X,Y}<1?=. -,-1

55、量X和Y相互獨(dú)立，其概率分布為 m -1 1 m -1 1 P{X=m} 1 1 P{Y=m} 1 1 2 2 2 2 則下列式子正確的是: (A)X=Y(B)P{X=Y}=0 1.、 (C)P{X=Y}=5(D)P{X=Y}=1 2(90,5分)一電子儀器由兩個(gè)部件構(gòu)成，以X和Y分別表示兩個(gè)部件的壽命(單 位：千小時(shí))，已知X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為： 若x _, y _ 0 其他 二0.5x_0.5y._0.5(x^) _、1-e-e+e F(x,y)=」 0, (1) 問X和Y是否獨(dú)立？ (2) 求兩個(gè)部件的壽命都超過100小

56、時(shí)的概率。 3(92,4分)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 f (x,y)=」 e-y 0, 0 ： x 二 y 其他 s))))) X2 X4 的概率分布。 5 (95, 8 分) 已知隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合概率密度為 14xy f (x, y)=八 0, 若0￡xM1,0￡yE1 其他 (I) 求X的概率密度fX(x); 求P{X+YM1}。 4(94,8分)設(shè)隨機(jī)變量Xi,X2,X3,X4相互獨(dú)立且同分布, P(Xi=0)=0.6,P(Xi=1)=0.4(i=1,2,3,4)。 求行列式 Xi X3 求(X,Y

57、)的聯(lián)合分布函數(shù)。 6(97,3分)設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立且同分布，P(X=-1—)=P(Y=-1) 11 =1,P(X=1)=P(Y=1)=-,則下列各式成立的是 22 )))))) /、 1 (A) P(X =Y)=- 一一 1 (C) P(X Y =0)=- (B) P(X =Y) =1 1 (D) P(XY =1) =4 7（98,3分）設(shè)E（x）與F2（x）分別為隨機(jī)變量X與X的分布函數(shù) F（x）=a1Fi（x）-bF2（x）是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取 3 2 (A) a =-,b -- 5 5 (B)

58、(C) a (D) lb 1 . a = 一 ,b = —■ 2 11 8 (99, 3 分) 設(shè)隨機(jī)變量Xi ~ (i=1,2), -4 1 41 且滿足P{XiX2 =0} =1,則 P{Xi =X2}等于 (A) 0 (B) (C) (D) 1 9 (01, 8 分) 設(shè)隨機(jī) 合分布是 G ={(x,y:1MxM3,2 < y <3} 試求隨 U =|X —Y|的概率密度p（u）。 10 （03, 13分）設(shè)隨機(jī)變量 X與Y獨(dú)立，其中 X的概率分布為 0.3 g（ u）。 再從1

59、,…，X中任取一個(gè)數(shù), a = 0.7J 而Y的概率密度為f（y）,求隨機(jī)變量U=X+Y勺概率密度 11（05,4分）從數(shù)1,2,3,4中任取一個(gè)數(shù)，記為X, 記為Y,則P｛Y=2｝= 12（05,4分） 若隨機(jī)事件｛X=0｝與｛X+Y=1｝互相獨(dú)立，則 13（05,13分）設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為 s))))) )))))) 一、1,0. I22J

60、 14(06,4分)設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間10,3］上的均勻分布，則 p{max(X,Y)<1)= 第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征 第一節(jié)基本概念 1、概念網(wǎng)絡(luò)圖 ,期望、 、、..、.廣. \;1 I矩I 切比雪夫不等式J ?期望-萬差 維隨機(jī)變量T協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)'協(xié)方差矩陣j 2、重要公式和結(jié)論 (1)一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征 離散型 連續(xù)型 期望 期望就是平均值 設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為P(X=Xk)=pk,k=1,2,…,n, n E(X)=￡XkPky (要求絕對收斂) 設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x),

61、 -bo E(X)=jxf(x)dx -to (要求絕對收斂) 函數(shù)的期望 Y=g(X) n E(Y)=￡g(Xk)Pkk=1 Y=g(X) -bo E(Y)=[g(x)f(x)dx 力差 D(X)=E[X-E(X)]2, 標(biāo)準(zhǔn)差 o(x)=gxy, 一2 D(X)=￡[Xk-E(X)]Pkk -bo 2 D(X)=J[x-E(X)]2f(x)dx 矩 ①對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X的k次哥的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為Vk,即 -k、-kyk=E(X)=乙XiPi, k=1,2, ②對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X與E(X)差的k次哥的數(shù)學(xué)期望為X

62、的k階中心矩，記為Nk,即 匕=E(X-E(X))k. =z(Xi-E(X))kPi, k=1,2, ①對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X的k次哥的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為Vk,即 k.4望k一..一 yk=E(X)=j^xf(x)dx, k=1,2, ②對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X與E(X)差的k次哥的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為Nk,即 k L=E(X-E(X)). =U(x-E(X))kf(x)dx, k=1,2,…. 切比雪夫不等式 ..、一、、.2一. 設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)二科，方差D(X)=b,則對于 任意正數(shù)￡,后卜列切比雪夫不等式 a

63、2 P(X->^)<2 Z 切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對概率 p(x-H之)) 的一種估計(jì)，它在理論上啟重要忌義。 (2)期望的性質(zhì) (1) E(C尸C (2) E(CX尸CE(X) nn (3) E(X+Y尸E(X)+E(Y),E(ZGXi)=￡GE(Xi) i=1iT (4) E(XY)=E(X)E(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立； 充要條件：X和Y不相關(guān)。 s))))) )))))) (3)方差的性質(zhì) (1) D(C)=0;E(C尸C (2) D(aX尸a2D(X);E(aX尸aE(X) (3) D(aX+b尸a2D(X);

64、E(aX+b尸aE(X)+b (4) D(X)=E(X2)-E2(X) (5) D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分條件：X和Y獨(dú)立； 充要條件：X和Y不相關(guān)。 D(X±Y尸D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],無條件成立。 而E(X+Y尸E(X)+E(Y),無條件成立。 (4)常見分布的期望和力差 期望 力差 0-1分布B(1,p) p p(1-p) 二項(xiàng)分布B(n,p) np np(1-p) 泊松分布P(人) Z 幾何分布G(p) 1 p 1-p 2p 超幾何分布H(n,M,N) nM N nM(M>'N-

65、n、 1iii N2) n—2 (5)二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征 期望 n E(X)=￡Xipi. y n E(Y)=￡yjp. j三 -bo E(X)=』xfx(x)dx -bo E(Y)=yyfY(y)dy 函數(shù)的期望 E[G(X,Y)]= ￡GG(Xi,yj)pj E[G(X,Y)]= -bo-be G〕G(x,y)f(x,

66、y)dxdy -oC^oO 力差 D(X)=￡[Xi-E(X)]2p“ D(Y)=￡[Xj—E(Y)]2p. -bo D(X)=J[x-E(X)]2fx(x)dx -bo D(Y)=J[y-E(Y)]2fY(y)dy 協(xié)力差 對于隨機(jī)變量X與Y,稱它們的二階混合中心矩吃1為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為仃xy或COV(X,Y),即 仃xy=%=E[(X—E(X))(Y—E(Y))]. 與記號仃xy相對應(yīng)，X與Y的方差D(X)與D(Y)也可分別記為仃xx與^yy。  相關(guān)系數(shù) 對于隨機(jī)變量X與Y,如果D(X)>0,D(Y)>0,則稱 仃XY TDWW) 為X與丫的相關(guān)系數(shù)，記作PXY(有時(shí)可簡記為P)。 |P|W1,當(dāng)|P|=1時(shí)，稱X與Y完全相關(guān)：P(X=aY+b)=1 ”柏羊；■正相關(guān)，當(dāng)P=W(a>0), 兀全相[關(guān)3 、負(fù)相關(guān)，當(dāng)P=-1時(shí)(a<0), 而當(dāng)P=0時(shí)，稱X與Y不相關(guān)。 以卜五個(gè)命題是等價(jià)的： ① Pxy=0； ② cov(X,Y)=0; ③ E(XY尸E(X)E(Y); ④ D(X+Y)=D(X)+D(Y