江蘇省宿遷市泗洪縣中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第四章 四邊形與相似 第2講 矩形、菱形、正方形課件

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1、 第四章四邊形與相似第四章四邊形與相似 第第2講矩形、菱形、正方形講矩形、菱形、正方形考點梳理考點梳理過關(guān)過關(guān)考點考點1 1 矩形矩形定義定義有一個角是_直角_的平行四邊形叫做矩形，也稱為_長方形_性質(zhì)性質(zhì)矩形是特殊的平行四邊形，一方面具有平行四邊形的所有性質(zhì)，另一方面還單獨具有自己的性質(zhì)：(1)四個角都是_直角_；(2)對角線_相等_；(3)矩形既是_軸對稱圖形_，對邊中點所確定的直線是它的對稱軸；也是_中心對稱圖形_，_對角線的交點_是它的對稱中心判定判定矩形的判定方法有以下四種：(1)用定義判定；(2)四個角都是_直角_的四邊形是矩形；(3)對角線_相等_的平行四邊形是矩形；(4)對角線

2、相等且_互相平分_的四邊形是矩形考點考點2 2 菱形菱形定義定義有一組_鄰邊相等_的平行四邊形叫做菱形性質(zhì)性質(zhì)菱形的性質(zhì)有兩方面：一方面具有平行四邊形所有的性質(zhì)，另一方面是菱形獨有的性質(zhì)：(1)菱形的四條邊都_相等_；(2)菱形的對角線_互相垂直_，并且每條對角線都平分_一組對角_；(3) 菱形是_軸對稱圖形_，它有_兩_條對稱軸，這兩條對稱軸是菱形的對角線所在的直線；菱形也是_中心對稱圖形_，對稱中心是對角線的_交點_判定判定菱形的判定方法有：(1)定義；(2)四條邊都相等的_四邊形_是菱形；(3)對角線_互相垂直_的平行四邊形是菱形定義定義一組_鄰邊相等_的矩形叫做正方形，或者說有一組鄰邊

3、相等并且有一個角是直角的_平行四邊形_叫做正方形正方形的定義還可以敘述成：“有一個角是直角的_菱形_”性質(zhì)性質(zhì)正方形的性質(zhì)包括兩方面：(1)正方形具備平行四邊形、菱形、矩形的所有性質(zhì)；(2)特殊性質(zhì)：正方形的四個角都是_直角_，四條邊都_相等_；正方形的兩條對角線_相等_，并且互相垂直平分，每條對角線都平分一組對角，把一對直角分成_45_角； 正方形既是_中心對稱圖形_又是_軸對稱圖形_，有_四_條對稱軸判定判定正方形的判定方法有很多，可以歸納為：既是矩形又是菱形的四邊形就是正方形考點考點3 正方形正方形 6 6年年1 1考考典型例題典型例題運用運用類型類型1 1 矩形的性質(zhì)與判定矩形的性質(zhì)與

4、判定【例1】 如圖，在矩形ABCD中，O為AC中點，EF過O點且EFAC分別交DC于F，交AB于E，點G是AE中點且AOG30，則下列結(jié)論正確的個數(shù)為()(1)DC3OG；(2)OG BC；(3)OGE是等邊三角形；(4)SAOE SABCD.CA1個B2個C3個D4個2161CEFAC，點G是AE中點，OGAGGE AE.AOG30，OAG30，GOE90AOG903060.OGE是等邊三角形，故(3)正確；設(shè)AE2a，則OEOGa，由勾股定理，得AO .O為AC中點，AC2AO2 .BC .在RtABC中，由勾股定理，得AB 3a.四邊形ABCD是矩形，CDAB3a.DC3OG，故(1)正

5、確；OGa， OG，故(2)錯誤；SAOE SABCD3a SAOE2122a3-a3261）（）（a3a-a2OE-AE2222）（a3a3a3221AC2123BC21BC21，2a23a3a21，2a33a3 61SABCD，故(4)正確綜上所述，結(jié)論正確是(1)(3)(4)，共3個【例2】已知菱形ABCD的對角線相交于O，點E、F分別在邊AB、BC上，且BEBF，射線EO、FO分別交邊CD、AD于點G、H.(1)求證：四邊形EFGH為矩形；(2)若OA4，OB3，求EG的最小值【自主解答】 (1)四邊形ABCD是菱形，OAOC，OBOD，ABCD，ADBC.BAODCO，AOECOG.

6、AOECOG(ASA)OEOG.同理，得OHOF.四邊形EFGH是平行四邊形BEBF，ABDCBD，OBOB，EBOFBO.OEOF.EGFH.四邊形EFGH是矩形(2)垂線段最短，當(dāng)OEAB時，OE最小OA4，OB3，AOB90，AB5. OAOB ABOE.345OE.OE .OEOG，EG答：EG的最小值是2121512524524技法點撥 矩形的判定思路：(1)若給出的圖形是一般的四邊形，思路一：證明有三個角是直角，思路二：先證明為平行四邊形，再證明有一個角是直角或證明其對角線相等；(2)若給出的四邊形是平行四邊形，則證明有一個角是直角或證明對角線相等類型類型2 2 菱形的性質(zhì)與判定菱

7、形的性質(zhì)與判定【例3】如圖，在ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，CD2DE，延長ED到點F，使得DFCD，連接BF.(1)求證：四邊形BCDF是菱形；(2)若CD2，F(xiàn)BC120，求AC的長【思路分析】(1)首先證明四邊形BCDF是平行四邊形，再由DFCD即可證明四邊形BCDF是菱形(2)首先證明BCD是等邊三角形，再證明ACB90，然后在RtABC中利用勾股定理即可解決問題技法點撥 菱形除具有四條邊都相等、對角線互相垂直且平分等特有性質(zhì)外，它還具有平行四邊形的所有性質(zhì)判定菱形的方法是多樣的，其基本思路是先判定這個四邊形為平行四邊形，然后通過有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直判定為菱形，或者

8、直接利用四條邊相等進(jìn)行證明變式運用 1.如圖，在 ABCD中，BAD的平分線交BC于點E，ABC的平分線交AD于點F.(1)求證：四邊形ABEF是菱形；(2)若AB5，BF8，若 ABCD的面積是36，求AD的長解：(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC.DAEBEA.BAD的平分線交BC于點E，DAEBAE.BAEBEA.ABBE.同理：ABAF，AFBE.AFBE，四邊形ABEF是平行四邊形ABAF，四邊形ABEF是菱形. (2)如圖所示，過A作AHBE.四邊形ABEF是菱形，AOEO，BOFO，BEAB5，AEBF.BF8，BO4.AO AE6.S菱形ABEF AEBF 682

9、4.BEAH24.AHS ABCDADAH36，AD. 34-5222121.524.215類型類型3 3 正方形的性質(zhì)與判定正方形的性質(zhì)與判定【例4】 以ABC的各邊，在邊BC的同側(cè)分別作三個正方形他們分別是正方形ABDI，BCFE，ACHG，試探究：(1)如圖中四邊形ADEG是什么四邊形？并說明理由(2)當(dāng)ABC滿足什么條件時，四邊形ADEG是矩形？(3)當(dāng)ABC滿足什么條件時，四邊形ADEG是正方形？【思路分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得BDEBAC，所以全等三角形的對應(yīng)邊DEAG.然后利用正方形對角線的性質(zhì)、周角的定義推知EDADAG180，易證EDGA；最后由“一組對邊

10、平行且相等”的判定定理證得結(jié)論；(2)根據(jù)“矩形的內(nèi)角都是直角”易證DAG90.然后由周角的定義求得BAC135；(3)由“正方形的內(nèi)角都是直角，四條邊都相等”易證DAG90，且AGAD.由正方形ABDI和正方形ACHG的性質(zhì)，得AC AB.2技法點撥 解答這類綜合題，需要綜合運用正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識解題時，注意利用隱含在題干中的已知條件：周角是360是發(fā)現(xiàn)結(jié)論的關(guān)鍵變式運用 2.2017柳州模擬如圖，菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在正方形ABCD的邊AB，CD，DA上，連接CF.(1)求證：HEACGF；(2)當(dāng)AHDG時，求證：菱形

11、EFGH為正方形證明：(1)如圖所示，連接GE.ABCD，AEGCGE.GFHE，HEGFGE.HEACGF.(2)四邊形ABCD是正方形，DA90.四邊形EFGH是菱形，HGHE.在RtHAE和RtGDH中，RtHAERtGDH(HL)AHEDGH.又DHGDGH90，DHGAHE90.GHE90.菱形EFGH為正方形AHDG，HEGH，六年真題六年真題全練全練命題點命題點1 1 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形12017泰安，14，3分如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，MEAM，ME交AD的延長線于點E.若AB12，BM5，則DE的長為()B325.D596.C5109.A.18

12、B22015泰安，20，3分如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將ABE沿直線BE折疊后得到GBE，延長BG交CD于點F，若AB6，BC4 則FD的長為()B，6A2 B4 C. D.632B連接EF，由題意知RtBAERtBGE，且AEDE，那么GEAEDE.在RtEGF與RtEDF中，GEDE，且兩直角三角形有公共斜邊EF，RtEGFRtEDF，GFDF.設(shè)GFDFx，AB6，BC ，BG6，BF6x，F(xiàn)C6x.在RtBCF中，BF2CF2BC2，即 解得x4.32016泰安，23，3分如圖，矩形ABCD中，已知AB6，BC8，BD的垂直平分線交AD于點E，交BC于點F，則BOF的面積為

13、_87542014泰安，28，11分如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，AC與BD交于點E，ADBACB.(1)求證：(2)若ABAC，AEEC12，F(xiàn)是BC中點求證：四邊形ABFD是菱形52013泰安，28，11分如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，CBCD，E是CD上一點，BE交AC于F，連接DF.(1)證明：BACDAC，AFDCFE；(2)若ABCD，試證明四邊形ABCD是菱形；(3)在(2)的條件下，試確定E點的位置，使EFDBCD，并說明理由解：(1)證明：在ABC和ADC中，ABAD，BCDC，ACAC，ABCADC(SSS)BACDAC.在ABF和ADF中，ABAD，BAFDA

14、F，AFAF，ABFADF.AFBAFD.AFBCFE，AFDCFE.(2)證明：ABCD，BACACD.又BACDAC，CADACD，ADCD.ABAD，CBCD，ABCBCDAD.四邊形ABCD是菱形(3)當(dāng)EBCD時，EFDBCD，理由：四邊形ABCD為菱形，BCCD，BCFDCF.在BCF和DCF中，BCDC，BCFDCF，CFCFBCFDCF(SAS)CBFCDF.BECD，BECDEF90.EFDBCD.62012泰安，28，11分鏈接第20講六年真題全練第6題得分要領(lǐng) 解答特殊四邊形問題時，可以參考以下幾個方面的技巧：(1)解答矩形問題時，往往把矩形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形或等腰三角

15、形，借助直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)解決，由于還需要借助代數(shù)知識解決問題如根據(jù)矩形的邊、角關(guān)系設(shè)未知數(shù)構(gòu)造方程解決問題(2) 解決菱形問題時，主要依據(jù)菱形的性質(zhì)和判別方法由于菱形的對角線互相垂直平分，所以解決菱形問題往往需要轉(zhuǎn)化為直角三角形并借助勾股定理進(jìn)行計算，或轉(zhuǎn)化為等腰三角形借助于等腰三角形的有關(guān)知識解決解決問題的方法是熟練掌握菱形的性質(zhì)和判別方法，根據(jù)題目的條件靈活地選擇方法，展開豐富的聯(lián)想，大膽地去猜想，深入地去探索，然后給出合理的說明(3)解答正方形問題時，由于正方形既是矩形又是菱形，所以多結(jié)合矩形和菱形的相關(guān)知識，同時正方形是數(shù)學(xué)變換的?？紗栴}，多注意其中的“變”與“不變”，挖掘出其中的隱含知識，最終達(dá)到解決問題的目的