高中數(shù)學 第3章 2第2課時 最大值、最小值問題課件 北師大版選修2-2.ppt

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成才之路 數(shù)學 路漫漫其修遠兮吾將上下而求索 北師大版 選修2 2 導數(shù)應用 第三章 第2課時最大值 最小值問題 第三章 2導數(shù)在實際問題中的應用 1 掌握求函數(shù)最值的方法 2 了解導數(shù)在實際問題中的應用 對給出的實際問題 如使利潤最大 效率最高 用料最省等問題 體會導數(shù)在解決實際問題中的作用 3 能利用導數(shù)求出某些特殊問題的最值 本節(jié)重點 求函數(shù)最值的方法 利用導數(shù)知識解決實際中的最優(yōu)化問題 本節(jié)難點 將實際問題轉化為數(shù)學問題 建立函數(shù)模型 函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的最大值點x0指的是 函數(shù)在這個區(qū)間上所有點的函數(shù)值都 函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的最小值點x0指的是 函數(shù)在這個區(qū)間上所有點的函數(shù)值都 最大值點與最小值點 不超過f x0 不低于f x0 最大 小 值或者在極大 小 值點取得 或者在區(qū)間的端點取得 因此 要想求函數(shù)的最大 小 值 應首先求出函數(shù)的極大 小 值點 然后將所有 與 的函數(shù)值進行比較 其中最大 小 的值即為函數(shù)的最大 小 值 函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為 最大值與最小值 極大 小 值點 區(qū)間端點 最值 應用導數(shù)知識解決實際問題時 首先要明確題目的已知條件和所要求解的問題 然后根據(jù)題意建立適當?shù)暮瘮?shù)關系 將所求問題轉化為求函數(shù)的限制條件下的最大 小 值問題 此過程用框圖表示如下 導數(shù)在實際問題中的應用 說明 1 常將問題中能取得最大值或最小值的那個變量設為y 而將另一個與y有關的變量設為x 然后利用導數(shù)求出所列函數(shù)的極值點 再進一步分析可得出函數(shù)的最值 2 實際問題中 一般通過函數(shù)的單調性和問題的實際意義確定最值 2 正確區(qū)分極值和最值 1 函數(shù)的最值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出的 函數(shù)的最大值和最小值可以在極值點 不可導點 區(qū)間的端點取得 函數(shù)的極值是比較極值點附近的函數(shù)值得出的 最值具有絕對性 極值具有相對性 2 函數(shù)的最值是一個整體性概念 最大值必須是整個區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大的值 最小值是所有函數(shù)值中的最小的值 極值只能在區(qū)間內取得 但最值可以在端點處取得 極值有可能成為最值 3 若連續(xù)函數(shù)在區(qū)間 a b 內只有一個極值 那么極大值就是最大值 極小值就是最小值 4 解決最優(yōu)化問題的關鍵是建立函數(shù)模型 因此需先審清題意 細致分析實際問題中各個量之間的關系 正確設定所求最大值或最小值的因變量y與自變量x 把實際問題化為數(shù)學問題 即列出函數(shù)關系式y(tǒng) f x 根據(jù)實際問題確定y f x 的定義域 1 在生活 生產和科研中會遇到許多實際問題 要善于用函數(shù)與方程的思想去分析問題 解決問題 2 在實際問題中 如果函數(shù)在區(qū)間內只有一個極值點 那么只要根據(jù)實際意義判定該極值是最大值還是最小值即可 不必再與端點的函數(shù)值比較 3 優(yōu)化問題中要注意定義域的限制 當含有參數(shù)時 要注意運用分類討論的思想 答案 C 2 已知f x 2x3 6x2 m m為常數(shù) 在 2 2 上有最大值3 那么此函數(shù)在 2 2 上的最小值為 A 37B 29C 5D 11 答案 A 解析 f x 6x2 12x x 2 2 由f x 0 得x 0或x 2 可得f x 在 2 0 上為增函數(shù) 在 0 2 上為減函數(shù) f x 在x 0時取得極大值即為最大值 f x max f 0 m 3 又f 2 37 f 2 5 f x 的最小值為 37 答案 C 解析 本題考查了導數(shù)的應用及求導運算 x 0 y x2 81 9 x 9 x 令y 0 x 9 x 0 9 y 0 x 9 y 0 y先增后減 x 9時函數(shù)取最大值 選C 屬導數(shù)法求最值問題 4 函數(shù)f x x3 3x 1在閉區(qū)間 3 0 上的最大值 最小值分別是 答案 3 17 解析 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 令f x 0得x 1或x 1 舍去 因為f 0 1 f 1 3 f 3 17 所以函數(shù)f x 在閉區(qū)間 3 0 上的最大值為3 最小值為 17 5 內接于半徑為R的球 并且體積最大的圓錐的高為 分析 利用求最值的一般步驟 要注意應用適當?shù)挠嬎惴椒?保證運算的正確性 求函數(shù)的最值 點評 設函數(shù)f x 的圖像在 a b 上連續(xù) 且f x 在 a b 內可導 則求f x 在 a b 上的最大值與最小值的步驟如下 1 求f x 在 a b 內的極值點 2 求出f x 在區(qū)間端點和極值點的值 3 將上述值比較 其中最大的一個就是最大值 最小的一個就是最小值 解析 1 由導數(shù)公式表和求導法則可得f x x2 4 解方程x2 4 0 得x1 2 x2 2 根據(jù)x1 x2列表 分析f x 的符號 f x 的單調性和極值點 已知函數(shù)f x ax3 6ax2 b 問是否存在實數(shù)a b 使f x 在 1 2 上取得最大值3 最小值 29 若存在 求出a b的值 若不存在 請說明理由 分析 本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)最值的逆向運用和分類討論的思想 最值的逆向問題 解析 顯然a 0 f x 3ax2 12ax 3ax x 4 令f x 0 解得x1 0 x2 4 舍去 當a 0時 當x變化時 f x f x 的變化情況見下表 已知函數(shù)f x x3 3x2 9x A 1 求f x 的單調遞減區(qū)間 2 若f x 在區(qū)間 2 2 上的最大值為20 求它在該區(qū)間上的最小值 點評 對 1 求出f x 解不等式f x 0即可 對 2 由f x 的最大值為20 求出a 進而求出最小值 設函數(shù)f x 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2處取得極值 1 求a b的值 2 若對于任意的x 0 3 都有f x c2成立 求c的取值范圍 分析 連續(xù)函數(shù)的極值點為f x 0的根 易求a b 第 2 問恒成立問題轉化為求f x 在 0 3 上的最值 不等式的恒成立問題 點評 本題是函數(shù)極值與不等式結合的綜合題 注意挖掘極值點是f x 0的根為解題突破口 關于恒成立問題往往需要轉化成函數(shù)最值問題 f x m恒成立 只要f x min m即可 已知函數(shù)f x x3 ax2 bx c a b c R 1 若函數(shù)f x 在x 1和x 3處取得極值 試求a b的值 2 在 1 的條件下 當x 2 6 時 f x 2 c 恒成立 求c的取值范圍 分析 2 中 要使不等式f x 2 c 恒成立 關鍵是求出f x 在閉區(qū)間 2 6 上的最大值 x 2 6 時 f x 的最大值為c 54 要使f x 54 當c 0時 c 54 2c c 18 c 18 54 點評 不等式恒成立時求參數(shù)的取值范圍問題是一種常見的題型 這種題型的解法有多種 其中最常用的方法就是分離參數(shù) 然后轉化為求函數(shù)的最值問題 在求函數(shù)最值時 可以借助導數(shù)求解 含參數(shù)問題的分類討論 點評 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性是導數(shù)的一個重要的作用 在中間穿插參數(shù) 用分類討論的思想解題是這一類型題目的難點 在分類討論時要做到 不增不漏 即討論幾種情況 討論哪幾種情況必須要搞清 函數(shù)f x 是定義在 1 0 0 1 上的偶函數(shù) 當x 1 0 時 f x x3 ax a R 1 當x 0 1 時 求f x 的解析式 2 若a 3 試判斷f x 在 0 1 上的單調性 并證明你的結論 3 是否存在a 使得當x 0 1 時 f x 有最大值 1 若存在 求出a的值 若不存在 說明理由 綜合應用 解析 1 設x 0 1 則 x 1 0 所以f x x3 ax 因為f x 為偶函數(shù) 所以f x x3 ax 03 00 即f x 0 所以f x 在 0 1 上是增函數(shù) 2014 安徽理 18 設函數(shù)f x 1 1 a x x2 x3 其中a 0 1 討論f x 在其定義域上的單調性 2 當x 0 1 時 求f x 取得最大值和最小值時的x的值 甲 乙兩地相距skm 汽車從甲地勻速行駛到乙地 速度不得超過ckm h 已知汽車每小時的運輸成本 以元為單位 由可變部分和固定部分組成 可變部分與速度v km h 的平方成正比 比例系數(shù)為b 固定部分為a元 1 把全程運輸成本y 元 表示為速度v km h 的函數(shù) 并指出這個函數(shù)的定義域 2 為了使全程運輸成本最小 汽車應以多大速度行駛