高中數(shù)學 2.3.2 數(shù)學歸納法的應用課件 北師大版選修4-5.ppt

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3 2數(shù)學歸納法的應用 1 用數(shù)學歸納法證明不等式運用數(shù)學歸納法證明不等式的兩個步驟實際上是分別證明兩個不等式 尤其是第二步 一方面需要我們充分利用歸納假設提供的 便利 另一方面還需要結(jié)合運用比較法 綜合法 分析法 反證法和放縮法等其他不等式的證明方法 點撥在用數(shù)學歸納法證明不等式的問題中 從 n k 到 n k 1 的過渡 利用歸納假設是比較困難的一步 它不像用數(shù)學歸納法證明恒等式問題一樣 只需拼湊出所需要的結(jié)構(gòu)來 而證明不等式的第二步中 從 n k 到 n k 1 只用拼湊的方法 有時也行不通 因為對不等式來說 它還涉及 放縮 的問題 它可能需通過 放大 或 縮小 的過程 才能利用歸納假設 因此 我們可以利用 比較法 綜合法 分析法 等來分析從 n k 到 n k 1 的變化 從中找到 放縮尺度 準確地拼湊出所需要的結(jié)構(gòu) 做一做1用數(shù)學歸納法證明 2n n2 1對于n n0的正整數(shù)n都成立 時 第一步證明中的起始值n0應取 A 2B 3C 5D 6解析 取n 1 2 3 4 5 6 7計算知n0 5 答案 C 2 貝努利不等式對任何實數(shù)x 1和任何正整數(shù)n 有 1 x n 1 nx 做一做2設n N 求證 3n 2n 證明 3n 1 2 n 根據(jù)貝努利不等式 有 1 2 n 1 n 2 1 2n 上式右邊舍去1 得 1 2 n 2n 故3n 2n成立 探究一 探究二 探究三 探究一用數(shù)學歸納法證明不等式有關(guān)自然數(shù)的不等式證明問題 可以考慮數(shù)學歸納法 其主要步驟是 1 證明當n n0 第一個自然數(shù) 時不等式成立 2 假設不等式當n k k n0 時成立 證明n k 1時不等式也成立 由 1 2 知對于n n0的一切正整數(shù) 不等式都成立 注意 使用數(shù)學歸納法證明不等式 難點往往出現(xiàn)在由n k時命題成立推出n k 1時命題也成立 為了完成這步證明 不僅要正確使用歸納假設 還要靈活利用問題中的其他條件以及相關(guān)知識 過去講過的證明不等式的方法在此都可以使用 如比較法 放縮法 分析法 反證法等 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 點評利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列型不等式的關(guān)鍵是由n k到n k 1的變形 為滿足題目的要求 常常要采用 放 與 縮 等手段 但是放縮要有度 這是一個難點 解決這類難題一是要仔細觀察題目的結(jié)構(gòu) 二是要靠經(jīng)驗積累 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 12345 12345 12345 12345 12345