2019年春八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第2章 四邊形 2.7 正方形練習(xí) （新版）湘教版.doc

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課時(shí)作業(yè)(二十一) [2.7　正方形]　　 　 　　 　　　 　　 　　　　　 　 一、選擇題 1．如圖K－21－1，在正方形ABCD中，P，Q分別為BC，CD的中點(diǎn)，則∠CPQ的度數(shù)為(　　) 圖K－21－1 A．50 B．60 C．45 D．70 2．xx濱州下列命題，其中是真命題的為(　　) A．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形 B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 C．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 D．一組鄰邊相等的矩形是正方形 3．xx棗莊如圖K－21－2，把正方形紙片ABCD沿對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線對(duì)折后展開，折痕為MN，再過點(diǎn)B折疊紙片，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處，折痕為BE.若AB的長(zhǎng)為2，則FM的長(zhǎng)為(　　) 圖K－21－2 A．2 B. C. D．1 4．如圖K－21－3，邊長(zhǎng)分別為4和8的兩個(gè)正方形ABCD和CEFG并排放在一起，連接BD并延長(zhǎng)交EG于點(diǎn)T，交FG于點(diǎn)P，則GT等于(　　) 圖K－21－3 A. B．2 C．2 D．1 5．如圖K－21－4，F(xiàn)是正方形ABCD的邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BF的垂直平分線交對(duì)角線AC于點(diǎn)E，交BF于點(diǎn)M，連接BE，EF，則∠EBF的度數(shù)是(　　) 圖K－21－4 A．45 B．50 C．60 D．無法確定 6．xx欽州一模如圖K－21－5，在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，點(diǎn)E在AB邊上，EF⊥AC于點(diǎn)F，連接EC，AF＝3，△EFC的周長(zhǎng)為12，則EC的長(zhǎng)為(　　) 圖K－21－5 A. B．3 C．5 D．6 7．xx仙桃如圖K－21－6，在正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中點(diǎn)．將△ABG沿AG對(duì)折至△AFG，延長(zhǎng)GF交DC于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)是(　　) 圖K－21－6 A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 二、填空題 8．xx齊齊哈爾矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：________，使其成為正方形(只填寫一個(gè)即可)． 9．如圖K－21－7所示，直線a經(jīng)過正方形ABCD的頂點(diǎn)A，分別過頂點(diǎn)D，B作DE⊥a于點(diǎn)E，BF⊥a于點(diǎn)F.若DE＝4，BF＝3，則EF的長(zhǎng)為________． 圖K－21－7 10．xx宿遷如圖K－21－8，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E在邊AB上，且BE＝1.若點(diǎn)P在對(duì)角線BD上移動(dòng)，則PA＋PE的最小值是________． 圖K－21－8 11．如圖K－21－9，在正方形ABCD中，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，BF與AC交于點(diǎn)E.若∠CBF＝20，則∠AED等于________. 圖K－21－9 12．xx武漢以正方形ABCD的邊AD為一邊作等邊三角形ADE，則∠BEC的度數(shù)是________． 三、解答題 13．如圖K－21－10，AB是CD的垂直平分線，交CD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作ME⊥AC，MF⊥AD，垂足分別為E，F(xiàn). (1)求證：∠CAB＝∠DAB； (2)若∠CAD＝90，求證：四邊形AEMF是正方形. 圖K－21－10 14．如圖K－21－11，在正方形ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)，將線段EA繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到EF，過點(diǎn)F作BC的垂線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接CF. 圖K－21－11 (1)求證：△ABE≌△EGF； (2)若AB＝2，S△ABE＝2S△ECF，求BE的長(zhǎng)． 15．如圖K－21－12，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上移動(dòng)，但點(diǎn)A到EF的距離AH始終保持與AB的長(zhǎng)度相等，在點(diǎn)E，F(xiàn)的移動(dòng)過程中： (1)∠EAF的大小是否有變化？請(qǐng)說明理由； (2)△ECF的周長(zhǎng)是否有變化？請(qǐng)說明理由． 圖K－21－12 猜想、探究如圖K－21－13①所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，點(diǎn)B，C，G在同一條直線上，M是線段AE的中點(diǎn)，DM的延長(zhǎng)線交EF于點(diǎn)N，連接FM，易證：DM＝FM，DM⊥FM. (1)如圖②，當(dāng)點(diǎn)B，C，F(xiàn)在同一條直線上，DM的延長(zhǎng)線交EG于點(diǎn)N，其余條件不變時(shí)，試探究線段DM與FM有怎樣的關(guān)系，請(qǐng)寫出猜想，并給予證明； (2)如圖③，當(dāng)點(diǎn)E，B，C在同一條直線上，DM的延長(zhǎng)線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，其余條件不變時(shí)，探究線段DM與FM有怎樣的關(guān)系，請(qǐng)直接寫出猜想． 圖K－21－13  詳解詳析 課堂達(dá)標(biāo) 1．[解析] C　∵四邊形ABCD為正方形，∴BA＝DA＝BC＝CD，∠C＝90.∵P，Q分別為BC，CD的中點(diǎn)，∴CP＝CQ.∵∠C＝90，∴∠CPQ＝45.故選C. 2．[解析] D　一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形也可能是等腰梯形，故A選項(xiàng)是假命題；對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，故B選項(xiàng)是假命題；對(duì)角線相等的四邊形也可能是等腰梯形，故C選項(xiàng)是假命題；一組鄰邊相等的矩形是正方形是正確的，故D選項(xiàng)是真命題． 3．[解析] B　∵四邊形ABCD為正方形，AB＝2，過點(diǎn)B折疊紙片，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處，∴FB＝AB＝2.∵把正方形紙片ABCD沿對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線對(duì)折后展開，折痕為MN，∴BM＝BC＝1.在Rt△BMF中，F(xiàn)M＝＝＝.故選B. 4．[解析] B　△BCD與△GCE都是等腰直角三角形，由此可以推出△GTD也是等腰直角三角形，GD＝4，由勾股定理可知GT＝2 . 5．[解析] A　如圖，過點(diǎn)E作EG⊥BC，EH⊥CD，垂足分別為G，H，易證明△BEG≌△FEH(HL)，得∠BEG＝∠FEH，所以∠BEF＝∠GEH＝90，所以∠EBF＝45.故選A. 6．[解析] C　∵四邊形ABCD是正方形，AC為正方形ABCD的對(duì)角線，∴∠EAF＝45.又∵EF⊥AC，∴∠AFE＝90，∴∠AEF＝45，∴EF＝AF＝3.∵△EFC的周長(zhǎng)為12，∴FC＝12－3－EC＝9－EC.在Rt△EFC中，EC2＝EF2＋FC2，∴EC2＝9＋(9－EC)2，解得EC＝5.故選C. 7．C 8．[答案] 答案不唯一，如AC⊥BD或AB＝BC [解析] 根據(jù)對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形或一組鄰邊相等的矩形是正方形來添加條件． 9．[答案] 7 [解析] 可證△ABF≌△DAE，則有EF＝AF＋AE＝DE＋BF＝4＋3＝7. 10．[答案] [解析] 連接PC.根據(jù)正方形的對(duì)稱性知PA＝PC，所以當(dāng)點(diǎn)C，P，E在同一條直線時(shí)，PA＋PE＝PC＋PE＝CE最小，再根據(jù)勾股定理求得CE＝＝＝. 11．[答案] 65 [解析] ∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45.在△ABE與△ADE中，AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，AE＝AE，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴∠AEB＝∠AED.∵∠CBF＝20，∠ABC＝90，∴∠ABE＝70，∴∠AED＝∠AEB＝180－45－70＝65. 12．[答案] 30或150 [解析] 分兩種情況：(1)如圖①，等邊三角形ADE在正方形ABCD的內(nèi)部．∠CDE＝∠CDA－∠ADE＝90－60＝30.∵CD＝DE，∴∠DCE＝75，∴∠ECB＝90－75＝15，同理可以得到∠EBC＝90－75＝15， ∴∠BEC＝150. 　　　 (2)如圖②，等邊三角形ADE在正方形ABCD的外部．∠CDE＝∠CDA＋∠ADE＝90＋60＝150.∵CD＝DE，∴∠CED＝15.同理∠AEB＝15，∴∠BEC＝∠AED－∠CED－∠AEB＝60－15－15＝30. 13．證明：(1)∵AB是CD的垂直平分線， ∴AC＝AD，AB⊥CD， ∴∠CAB＝∠DAB(等腰三角形的三線合一)． (2)∵M(jìn)E⊥AC，MF⊥AD，∠CAD＝90， ∴∠CAD＝∠AEM＝∠AFM＝90， ∴四邊形AEMF是矩形． 又∵∠CAB＝∠DAB，ME⊥AC，MF⊥AD， ∴ME＝MF，∴矩形AEMF是正方形． 14．解：(1)證明：∵∠AEF＝90， ∴∠AEB＋∠GEF＝90. 又∵∠ABE＝90， ∴∠AEB＋∠BAE＝90， ∴∠GEF＝∠BAE. ∵FG⊥BC，∴∠EGF＝90＝∠ABE. 在△ABE與△EGF中， ∴△ABE≌△EGF(AAS)． (2)∵△ABE≌△EGF，AB＝2， ∴AB＝EG＝2，S△ABE＝S△EGF. ∵S△ABE＝2S△ECF，∴S△EGF＝2S△ECF， ∴EC＝CG＝1. ∵四邊形ABCD是正方形， ∴BC＝AB＝2，∴BE＝2－1＝1. 15．解：(1)∠EAF的大小沒有變化． 理由：根據(jù)題意，知AB＝AH，∠B＝90. 又∵AH⊥EF，∴∠AHE＝90＝∠B. 在Rt△BAE和Rt△HAE中， ∵AE＝AE，AB＝AH， ∴Rt△BAE≌Rt△HAE， ∴∠BAE＝∠HAE＝∠BAH. 同理可證Rt△HAF≌Rt△DAF， ∴∠HAF＝∠DAF＝∠HAD， ∴∠EAF＝∠HAE＋∠HAF＝∠BAH＋∠HAD＝(∠BAH＋∠HAD)＝∠BAD. 又∵∠BAD＝90，∴∠EAF＝45， ∴∠EAF的大小沒有變化． (2)△ECF的周長(zhǎng)沒有變化． 理由：C△ECF＝EF＋EC＋FC， 由(1)得BE＝EH，HF＝DF. 又∵BC＝DC，EF＝EH＋HF，EC＝BC－BE，F(xiàn)C＝DC－DF， ∴C△ECF＝BE＋DF＋BC－BE＋DC－DF＝BC＋DC＝2BC， ∴△ECF的周長(zhǎng)沒有變化． 素養(yǎng)提升 [解析] (1)連接DF，NF，由四邊形ABCD和四邊形CGEF是正方形，得到AD∥BC，CF∥GE，于是得到AD∥GE，求得∠DAM＝∠NEM，證得△MAD≌△MEN，得出DM＝NM，AD＝EN，推出△DCF≌△NEF，證出△DFN是等腰直角三角形，即可得到結(jié)論； (2)連接DF，NF，由四邊形ABCD是正方形，得到AD∥BC，由點(diǎn)E，B，C在同一條直線上，得到AD∥CN，求得∠ADM＝∠ENM，證得△MAD≌△MEN，得出DM＝NM，AD＝EN，推出△DCF≌△NEF，證出△DFN是等腰直角三角形，于是得到結(jié)論． 解：(1)DM＝FM，DM⊥FM. 證明：如圖，連接DF，NF. ∵四邊形ABCD和四邊形CGEF是正方形， ∴AD∥BC，CF∥GE. ∵點(diǎn)B，C，F(xiàn)在同一條直線上，∴AD∥GE， ∴∠DAM＝∠NEM. ∵M(jìn)是AE的中點(diǎn)，∴AM＝EM. 在△MAD與△MEN中， ∵∠AMD＝∠EMN，AM＝EM，∠DAM＝∠NEM，∴△MAD≌△MEN， ∴DM＝NM，AD＝EN. ∵AD＝CD，∴CD＝EN. 又∵CF＝EF，∠DCF＝∠NEF＝90， ∴△DCF≌△NEF， ∴DF＝NF，∠CFD＝∠EFN. ∵∠EFN＋∠NFC＝90， ∴∠CFD＋∠NFC＝90， ∴∠DFN＝90， 即△DFN是等腰直角三角形． 又∵DM＝NM， ∴DM＝FM，DM⊥FM. (2)猜想：DM＝FM，F(xiàn)M⊥DM.