2019年春八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊 第19章 矩形、菱形與正方形 19.3 正方形練習(xí) （新版）華東師大版.doc

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19.3　正方形 1.菱形、矩形、正方形都具有的性質(zhì)是(　C　) (A)對角線相等 (B)對角線互相垂直 (C)對角線互相平分 (D)對角線平分一組對角 2.下列命題錯(cuò)誤的是(　C　) (A)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 (B)對角線相等的平行四邊形是矩形 (C)一條對角線平分一組對角的四邊形是菱形 (D)對角線互相垂直的矩形是正方形 3.已知四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D,如果添加一個(gè)條件,即可推出該四邊形是正方形,那么這個(gè)條件可以是(　D　) (A)∠D=90 (B)AB=CD (C)AD=BC (D)BC=CD 4.如圖,把正方形紙片ABCD沿對邊中點(diǎn)所在的直線對折后展開,折痕為MN,再過點(diǎn)B折疊紙片,使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處,折痕為BE.若AB的長為2,則FM的長為(　B　) (A)2 (B)3 (C)2 (D)1 5.能使平行四邊形ABCD為正方形的條件是　AC=BD且AC⊥BD(答案不唯一)　(填上一個(gè)條件即可). 6.如圖,在四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,若不增加任何字母與輔助線,要使四邊形ABCD是正方形,則還需增加一個(gè)條件是　AC=BD或(AB⊥BC)(答案不唯一)　. 7.如圖,正方形ABCD的邊長為2,點(diǎn)E在AB邊上.四邊形EFGB也為正方形,則△AFC的面積為　2　. 8.(xx武漢)以正方形ABCD的邊AD作等邊△ADE,則∠BEC的度數(shù) 是　30或150　. 9.已知:如圖,四邊形ABCD是正方形,分別過點(diǎn)A,C兩點(diǎn)作l1∥l2,作BM⊥l1于M,DN⊥l1于N,直線MB,DN分別交l2于Q,P點(diǎn).求證:四邊形PQMN是正方形. 證明:因?yàn)镻N⊥l1,QM⊥l1, 所以PN∥QM,∠PNM=90. 因?yàn)镻Q∥NM, 所以四邊形PQMN是矩形. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形, 所以∠BAD=∠ADC=90,AB=AD=DC. 所以∠1+∠2=90. 又∠3+∠2=90,所以∠1=∠3. 所以△ABM≌△DAN.所以AM=DN. 同理AN=DP.所以AM+AN=DN+DP, 即MN=PN.所以四邊形PQMN是正方形. 10.已知:如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,E是對角線BD上一點(diǎn),且EA=EC. (1)求證:四邊形ABCD是菱形; (2)如果BE=BC,且∠CBE∶∠BCE=2∶3,求證:四邊形ABCD是正方形. 證明:(1)在△ADE與△CDE中, AD=CD,DE=DE,EA=EC, 所以△ADE≌△CDE(S.S.S.), 所以∠ADE=∠CDE, 因?yàn)锳D∥BC, 所以∠ADE=∠CBD, 所以∠CDE=∠CBD, 所以BC=CD, 因?yàn)锳D=CD, 所以BC=AD, 所以四邊形ABCD為平行四邊形, 因?yàn)锳D=CD, 所以四邊形ABCD是菱形. (2)因?yàn)锽E=BC, 所以∠BCE=∠BEC, 因?yàn)椤螩BE∶∠BCE=2∶3, 所以∠CBE=18022+3+3=45, 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形, 所以∠ABE=45, 所以∠ABC=90, 所以四邊形ABCD是正方形. 11.(開放探究題)已知,如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足為點(diǎn)D,AN是△ABC外角∠CAM的平分線,CE⊥AN,垂足為點(diǎn)E. (1)求證:四邊形ADCE為矩形; (2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形ADCE是一個(gè)正方形?并說明 理由. (1)證明:因?yàn)锳D,AN分別是∠BAC的內(nèi)角、外角平分線, 所以∠BAD=∠CAD,∠CAE=∠MAE. 因?yàn)椤螧AD+∠CAD+∠CAE+∠MAE=180. 所以2∠CAD+2∠CAE=180. 所以∠CAD+∠CAE=90,即∠DAE=90, 因?yàn)锳D⊥BC,CE⊥AN, 所以∠ADC=∠AEC=∠DAE=90, 所以四邊形ADCE是矩形. (2)解:當(dāng)△ABC是以∠BAC為直角的等腰直角三角形時(shí),四邊形ADCE是正方形. 理由如下: 因?yàn)椤鰽BC是以∠BAC為直角的等腰直角三角形,AD⊥BC, 所以∠CAD=∠BAD=45.∠ACD=45. 所以∠CAD=∠ACD=45.所以AD=CD. 因?yàn)樗倪呅蜛DCE是矩形,所以四邊形ADCE是正方形. 12.(拓展探究題)如圖,四邊形ABCD,DEFG都是正方形,連結(jié)AE,CG. (1)求證:AE=CG; (2)觀察圖形,猜想AE與CG之間的位置關(guān)系,并證明你的猜想. (1)證明:因?yàn)锳D=CD,DE=DG, ∠ADC=∠GDE=90, 又∠CDG=90+∠ADG=∠ADE, 所以△ADE≌△CDG. 所以AE=CG. (2)解:猜想:AE⊥CG. 證明:如圖, 設(shè)AE與CG交點(diǎn)為M,AD與CG交點(diǎn)為N. 由(1)得△ADE≌△CDG, 所以∠DAE=∠DCG. 又因?yàn)椤螦NM=∠CND, 所以∠CND+∠DCN=90, 即∠ANM+∠DAE=90, 所以∠AMN=∠ADC=90. 所以AE⊥CG.