2019屆高考數(shù)學二輪復習 專題五 解析幾何 課后綜合提升練 1.5.2 橢圓、雙曲線、拋物線 文.doc
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第二講 橢圓、雙曲線、拋物線 (40分鐘 70分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.拋物線y=14x2的焦點到雙曲線y2-x23=1的漸近線的距離為 ( ) A.12 B.32 C.1 D.3 【解析】選B.因為拋物線y=14x2的焦點為(0,1),雙曲線y2-x23=1的漸近線的方程為y=33x,即x-3y=0,所以拋物線y=14x2的焦點到雙曲線y2-x23=1的漸近線的距離為d=|-3|4=32. 2.已知橢圓mx2+4y2=1的離心率為22,則實數(shù)m等于 ( ) A.2 B.2或83 C.2或6 D.2或8 【解析】選D.焦點在x軸時,a2=1m,b2=14,根據(jù)e=ca=22?c2a2=12?a2-b2a2=12?b2a2=12,即1m=24?m=2,焦點在y軸時,a2=14,b2=1m,即14=2m?m=8,所以m等于2或8. 3.設F為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點,B為虛軸的上端點,若直線FB與雙曲線C的一條漸近線垂直,則C的離心率為 ( ) A.2 B.5+12 C.5-1 D.5-12 【解析】選B.因為直線FB的斜率為-bc,雙曲線C的一條漸近線的斜率為ba,又因為直線FB與雙曲線C的一條漸近線垂直,所以-bcba=-1,所以c2-a2=b2=ac,兩邊都除以a2,得e2-e-1=0,因為e>1,所以e=1+52. 4.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一個焦點為F(22,0),且雙曲線的漸近線與圓(x-2)2+y2=3相切,則雙曲線的方程為 ( ) A.x29-y213=1 B.x213-y29=1 C.x26-y22=1 D.x22-y26=1 【解析】選D.由已知可得c=22,雙曲線漸近線方程為y=bax,即aybx=0, a2+b2=c2=8,(x-2)2+y2=3的圓心為(2,0),半徑r=3, 若雙曲線漸近線與圓方程相切,則 d=|2b|a2+b2=2|b|8=b2=3,所以b=6, 所以b2=6,c2=8,a2=2, 所以雙曲線方程為x22-y26=1. 5.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l,點P是拋物線C上一點,過點P作l的垂線,垂足為A,準線l與x軸的交點設為B,若∠BAF=30,且△APF的面積為123,則以PF為直徑的圓的標準方程為 ( ) A.(x-23)2+(y+3)2=12或(x-23)2+(y-3)2=12 B.(x-3)2+(y+23)2=12或(x-3)2+(y-23)2=12 C.(x-23)2+(y+3)2=8或(x-23)2+(y-3)2=8 D.(x-3)2+(y+23)2=8或(x-3)2+(y-23)2=8 【解析】選A.作出輔助圖形如圖所示, 因為∠BAF=30,故∠AFB=60=∠PAF,由拋物線的定義可知|PA|=|PF|,故 △APF為等邊三角形,因為△APF的面積為123,故|PF|=|PA|=|AF|=43,而|BF|=12|AF|=23=p,故點P的橫坐標為|PA|-|BF|2=33,代入y2=43x中,解得y=6,故所求圓的標準方程為(x-23)2+(y3)2=12. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.已知點F是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點,若橢圓C上存在兩點P,Q滿足=2,則橢圓C的離心率的取值范圍是____________. 【解析】設P(x1,y1),Q(x2,y2),F(-c,0),直線PF:y=k(x+c). 因為P,Q滿足=2,所以y1=-2y2. ① 由y=k(x+c),b2x2+a2y2=a2b2,得 (b2+a2k2)y2-2kcb2y-b4k2=0, y1+y2=2kcb2b2+a2k2, ② y1y2=-b4k2b2+a2k2, ③ 由①②得y1=4kcb2b2+a2k2,y2=-2kcb2b2+a2k2, 代入③得b2+a2k2=8c2?8c2≥b2=a2-c2?9c2≥a2?ca≥13, 所以橢圓C的離心率的取值范圍是13,1. 答案:13,1 7.設F1,F2為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,經過F1的直線交橢圓C于A,B兩點,若△F2AB是面積為43的等邊三角形,則橢圓C的方程為____________. 【解析】由題意,知|AF2|=|BF2|=|AB|=|AF1|+|BF1|?、? 又由橢圓的定義知,|AF2|+|AF1|=|BF2|+|BF1|=2a ②, 聯(lián)立①②,解得|AF2|=|BF2|=|AB|=43a,|AF1|=|BF1|=23a, 所以S△F2AB=12|AB||AF2|sin 60=43, 所以a=3,|F1F2|=32|AB|=23, 所以c=3,所以b2=a2-c2=6, 所以橢圓C的方程為x29+y26=1. 答案:x29+y26=1 8.已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,過點F的直線與拋物線C交于M,N兩點,且|MN|=8,則線段MN的中點到拋物線C的準線的距離為____________. 【解析】分別過點M,N作拋物線C的準線的垂線,垂足分別為P,Q,由拋物線的定義知,|MP|=|MF|,|NQ|=|NF|,則|MP|+|NQ|=|MN|=8. 線段MN的中點到拋物線C的準線的距離為梯形MNQP的中位線的長度,即12(|MP|+|NQ|)=4. 答案:4 三、解答題(每小題10分,共30分) 9.如圖,已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右頂點和上頂點分別為A,B,|AB|=5,離心率為32. (1)求橢圓的標準方程. (2)過點A作斜率為k(k>0)的直線l與橢圓交于另外一點C,求△ABC面積的最大值,并求此時直線l的方程. 【解析】(1)由題意得 ca=32,a2+b2=5,a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=3. 所以,橢圓方程為x24+y2=1. (2)kAB=-12, 設與AB平行的橢圓的切線方程為y=-12x+m, 聯(lián)立方程組得y=-12x+m,x2+4y2=4 消去y得x2-2mx+2m2-2=0, ① Δ=4m2-4(2m2-2)=0, 解得m=2. 因為k>0,所以m=-2. 代入到①中得x=-2,代入到y(tǒng)=-12x-2得 y=-22, 所以當取C的坐標是-2,-22時,△ABC的面積最大. 此時C點到AB的距離為d=22+25,S△ABC=12522+25=2+1. 此時,直線l的方程是y=2-12x-2+1. 10.已知點M(1,m)在拋物線C:y2=2px(p>0)上,點M到拋物線C的焦點F的距離為52. (1)求m的值. (2)若直線y=kx+2與x軸交于點N,與拋物線C交于A,B,且=2,求k的值. 【解析】(1)由已知:1+p2=52,所以p=3. 所以拋物線方程:y2=6x, 把M(1,m)代入,得:m=6. (2)由已知k≠0,N-2k,0,設A(x1,y1),B(x2,y2), 聯(lián)立y2=6x,y=kx+2消去x,得:ky2-6y+12=0, 由Δ=36-48k>0,得k<34且k≠0, 且y1+y2=6k ①,y1y2=12k?、? 因為=2, 所以-2k-x1,-y1=-4k-2x2,-2y2. 即y1=2y2 ③ 由①②③聯(lián)立可得:k=23,滿足k<34且k≠0, 所以,k=23. 11.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A(-2,0),且過點1,32. (1)求橢圓C的標準方程及離心率. (2)若直線l:x=ty-1交橢圓C于P(x1,y1),Q(x2,y2). ①求證:y1y2=-3t2+4; ②若△APQ的面積為45,求t的值. 【解析】(1)由題意得:a=2, 又因為橢圓過點1,32, 所以14+34b2=1,所以b=1. 因為c2=a2-b2, 所以c=3,所以離心率e=ca=32, 所以橢圓C的標準方程為x24+y2=1. (2)①由題意,聯(lián)立x=ty-1,x24+y2=1整理得:(t2+4)y-2ty-3=0, 所以y1+y2=2tt2+4,y1y2=-3t2+4, 所以y1y2=-3t2+4成立. ②由題意得,直線l:x=ty-1恒過(-1,0).設直線l與x軸交于點M,則M(-1,0), 所以|AM|=1. 因為|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2 =2tt2+42+12t2+4, 所以S△APQ=12|AM||y1-y2| =122tt2+42+12t2+4=45, 所以4t4+7t2-11=0, 所以t2=1,或t2=-114(舍), 所以t=1. (20分鐘 20分) 1.(10分)雙曲線x2-y2b2=1(b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,直線l過F2且與雙曲線交于A,B兩點 (1)若l的傾斜角為π2,△F1AB是等邊三角形,求雙曲線的漸近線方程. (2)設b=3,若l的斜率存在,且(+)=0,求l的斜率. 【解析】(1)方法一:設A(xA,yA).由題意,F2(c,0),c=1+b2,yA2=b2(c2-1)=b4, 因為△F1AB是等邊三角形, 所以2c=3|yA|,即4(1+b2)=3b4,解得b2=2, 故雙曲線的漸近線方程為y=2x. 方法二:由題可知A(c,b2),因為△F1AB是等邊三角形, 所以tan 30=b22c=33. 即4(1+b2)=3b4,解得b2=2, 故雙曲線的漸近線方程為y=2x. (2)由已知,b=3,所以c2=1+b2=4, 所以F1(-2,0),F2(2,0). 由題意可得,直線l的方程為y=k(x-2),顯然k≠0. 由x2-y23=1,y=k(x-2)得 (k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0. 因為l與雙曲線交于兩點,所以k2-3≠0,且Δ=36(1+k2)>0. 設A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=4k2k2-3,x1x2=4k2+3k2-3. 方法一:設AB的中點為M(xM,yM). 由(+)=0,即=0,知F1M⊥AB,故kF1Mk=-1. 而xM=x1+x22=2k2k2-3, yM=k(xM-2)=6kk2-3,kF1M=3k2k2-3, 所以3k2k2-3k=-1,得k2=35,顯然符合題意,故l的斜率為155. 方法二:因為=(x1+2,y1), =(x2+2,y2),=(x2-x1,y2-y1) 由(+)=0得 (x1+x2+4)(x2-x1)+(y1+y2)(y2-y1)=0 整理得(1+k2)(x1+x2)+4-4k2=0, 即20k2=12 所以k2=35,顯然符合題意, 故l的斜率為155. 2.(10分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長軸長為4,焦距為22. (1)求橢圓C的方程. (2)過動點M(0,m)(m>0)的直線交x軸于點N,交C于點A,P(P在第一象限),且M是線段PN的中點.過點P作x軸的垂線交C于另一點Q,延長QM交C于點B. ①設直線PM,QM的斜率分別為k,k′,證明kk為定值. ②求直線AB的斜率的最小值. 【解題指南】(1)由長軸長為4,焦距為22,可得a=2,c=2,方程易得. (2)設出點P坐標,易得點Q坐標,表示出直線PM,QM的斜率分別為k與k′,它們之比易得;借助上述關系可以方便計算直線AB的斜率,此外理清直線截距與斜率k之間的關系是解決問題的又一關鍵. 【解析】(1)由題意a=2,c=2,所以b2=2,所以橢圓方程為x24+y22=1. (2)①由題意,設Pp,2m0<2m<2,0
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