2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 專題3.3.2 簡單的線性規(guī)劃問題試題 新人教A版必修5.doc

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3.3.2 簡單的線性規(guī)劃問題 1．簡單線性規(guī)劃的有關(guān)概念 （1）約束條件：由變量x，y的不等式(或方程)組成的不等式組稱為x，y的約束條件．例如，就是一個關(guān)于x，y的約束條件． （2）線性約束條件：約束條件中都是關(guān)于變量x，y的一次不等式(或一次方程)，這樣的不等式組稱為x，y的線性約束條件．例如，就是一個關(guān)于x，y的線性約束條件． （3）目標(biāo)函數(shù)：把要求最大值或最小值的函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù)．例如，已知x，y滿足約束條件，分別確定x，y的值，使取得最小值，取得最大值，其中和均為目標(biāo)函數(shù)． （4）線性目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量x，y的一次解析式的稱為線性目標(biāo)函數(shù)．例如，上述例子中是線性目標(biāo)函數(shù)，而不是線性目標(biāo)函數(shù)． （5）線性規(guī)劃問題：在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題． （6）可行解：滿足線性約束條件的解(x，y)叫做可行解． （7）可行域：由所有_____________組成的集合叫做可行域． （8）最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個問題的最優(yōu)解． 注：（1）約束條件也可以是方程，線性約束條件也可以是二元一次不等式與二元一次方程的組合，而一般意義上的約束條件可以是多樣化的不等式或者方程形式的組合；（2）可行解必須使線性約束條件成立，而可行域是所有可行解構(gòu)成的平面區(qū)域． 2．簡單線性規(guī)劃問題的解法 （1）目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(b≠0)的幾何意義 將目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by變形為的形式，它表示斜率為，在y軸上的截距為，并隨z變化的一組平行直線． 把直線ax＋by＝0向上平移時，在y軸上的截距逐漸增大，當(dāng)b＞0時，z的值隨之_____________；當(dāng)b＜0時，z的值隨之_____________． 把直線ax＋by＝0向下平移時，在y軸上的截距逐漸減小，當(dāng)b＞0時，z的值隨之_____________；當(dāng)b＜0時，z的值隨之_____________． （2）線性規(guī)劃問題的求解方法——圖解法 在確定線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)的前提下，用圖解法求最優(yōu)解的步驟可概括為“畫、移、求、答”，即： ①畫：在平面直角坐標(biāo)系中，畫出可行域和直線ax＋by＝0(目標(biāo)函數(shù)為z＝ax＋by)； ②移：平行移動直線ax＋by＝0，確定使z＝ax＋by取得最大值或最小值的點(diǎn)； ③求：求出使z取得最大值或最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)(解方程組)及z的最大值或最小值； ④答：給出正確答案． K知識參考答案： 1．可行解 2．增大 減小 減小 增大 K—重點(diǎn) 相關(guān)概念的理解：（線性）約束條件、（線性）目標(biāo)函數(shù)、可行域、最優(yōu)解 K—難點(diǎn) 簡單線性規(guī)劃問題的實(shí)際應(yīng)用、尋找最優(yōu)整數(shù)解 K—易錯 作圖不準(zhǔn)確導(dǎo)致錯誤 簡單線性規(guī)劃的有關(guān)概念問題 （1）在線性規(guī)劃中，下列命題正確的是 A．最優(yōu)解指的是使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的變量x或y的值 B．最優(yōu)解指的是目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值 C．最優(yōu)解指的是使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行域 D．最優(yōu)解指的是使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解 （2）目標(biāo)函數(shù)z＝x－y，將其看作直線方程時，z的意義是 A．該直線的截距 B．該直線的縱截距 C．該直線的橫截距 D．該直線縱截距的相反數(shù) 【答案】（1）D ；（2）D． 【解析】（1）最優(yōu)解是使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解，即滿足線性約束條件的解(x，y)，它是一個有序?qū)崝?shù)對，ABC錯誤，D正確． （2）目標(biāo)函數(shù)可化為y＝x－z，從而z的意義是該直線縱截距的相反數(shù)． 【名師點(diǎn)睛】熟練掌握相關(guān)概念是解決此類問題的關(guān)鍵，注意區(qū)分可行域、可行解與最優(yōu)解． 求線性目標(biāo)函數(shù)的最值 求線性目標(biāo)函數(shù)最值的兩種方法： （1）平移直線．作出可行域，正確理解z的幾何意義，確定目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，平移直線得到最優(yōu)解． （2）頂點(diǎn)代入法．依約束條件畫出可行域，解方程組得出可行域各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，分別計算出各頂點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by的值，經(jīng)比較后得出z的最大（?。┲担畬σ粋€封閉圖形而言，最優(yōu)解一般在可行域的頂點(diǎn)處取得，在求解此類問題時可由此快速找到最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)． （1）若變量x，y滿足約束條件，則z＝3x＋2y的最小值為_____________； （2）若x，y滿足約束條件，則z＝3x＋y的最大值為_____________； （3）如圖1，及其內(nèi)部的點(diǎn)組成的集合記為D，P(x，y)為D中任意一點(diǎn)，則z＝2x＋3y的最大值為_____________． 圖1 圖2 圖3 【答案】（1）；（2）4；（3）7． 【解析】（1）作出可行域，如圖2中陰影部分所示，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時z取得最小值． 由解得，，此時，zmin＝31＋2＝． （2）作出不等式組表示的可行域，如圖3中陰影部分所示， 作直線l0：3x＋y＝0，平移直線l0，當(dāng)直線3x＋y＝z過點(diǎn)(1，1)時，zmax＝3＋1＝4． 【名師點(diǎn)睛】（1）目標(biāo)函數(shù)本質(zhì)是函數(shù)的解析式z＝f(x，y)，線性目標(biāo)函數(shù)即關(guān)于x，y的線性組合；（2）線性規(guī)劃的最優(yōu)解的個數(shù)不確定，只有一組(x，y)使目標(biāo)函數(shù)取得最值時，最優(yōu)解只有1個，如邊界為實(shí)線的可行域當(dāng)目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線不與邊界平行時，會在某個頂點(diǎn)處取得最值；同時有多個可行解取得一樣的最值時，最優(yōu)解有多個，如邊界為實(shí)線的可行域，目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線與某一邊界線重合時，會有多個最優(yōu)解；可行域一邊開放或邊界線為虛線均可導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)找不到相應(yīng)的最值，此時也就不存在最優(yōu)解． 線性規(guī)劃在實(shí)際問題中的應(yīng)用 （1）線性規(guī)劃的實(shí)際問題的類型：給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運(yùn)用這些資源，使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；給定一項(xiàng)任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排，使完成這項(xiàng)任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源量最?。Ｒ妴栴}有： 物資調(diào)運(yùn)問題：例如，已知兩煤礦每年的產(chǎn)量，煤需經(jīng)兩個車站運(yùn)往外地，兩個車站的運(yùn)輸能力是有限的，且已知兩煤礦運(yùn)往兩個車站的運(yùn)輸價格，煤礦應(yīng)怎樣編制調(diào)運(yùn)方案，能使總運(yùn)費(fèi)最小? 產(chǎn)品安排問題：例如，某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一個單位的甲種或乙種產(chǎn)品需要的A，B，C三種材料的數(shù)量，此廠每月所能提供的三種材料的限額都是已知的，這個工廠在每個月中應(yīng)如何安排這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，才能使每月獲得的總利潤最大? 下料問題：例如，要把一批長鋼管截成兩種規(guī)格的鋼管，應(yīng)怎樣下料能使損耗最小? （2）解答線性規(guī)劃實(shí)際應(yīng)用題的步驟： ①模型建立．正確理解題意，將一般文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型，這需要在學(xué)習(xí)有關(guān)例題解答時，仔細(xì)體會范例給出的模型建立方法； ②模型求解．畫出可行域，并結(jié)合所建立的目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)，選定可行域中的特殊點(diǎn)作為最優(yōu)解； ③模型應(yīng)用．將求解出來的結(jié)論反饋到具體的實(shí)例中，設(shè)計出最佳的方案． 甲、乙兩廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，它們可調(diào)運(yùn)的數(shù)量分別是300噸、750噸，A、B、C三地需要該產(chǎn)品的數(shù)量分別是200噸、450噸、400噸．甲廠運(yùn)往三地的費(fèi)用分別是6元/噸、3元/噸、5元/噸；乙廠運(yùn)往三地的費(fèi)用分別是5元/噸、9元/噸、6元/噸．則怎樣調(diào)運(yùn)可使總費(fèi)用最少？ 【答案】甲廠的產(chǎn)品全運(yùn)往B地，乙廠運(yùn)往A、B、C三地的產(chǎn)品分別是200噸、150噸、400噸時，總費(fèi)用最少，為5650元． 【解析】設(shè)甲廠運(yùn)往A、B、C三地的產(chǎn)量分別是x噸、y噸、(300－x－y)噸， 則乙廠運(yùn)往A、B、C三地的產(chǎn)品分別是(200－x)噸、(450－y)噸、(100＋x＋y)噸， 設(shè)總費(fèi)用為z元．用表格理清關(guān)系如下： A地 B地 C地 可調(diào)運(yùn)數(shù)量 單價 運(yùn)量 單價 運(yùn)量 單價 運(yùn)量 甲廠 6 x 3 y 5 300－x－y 300 乙廠 5 200－x 9 450－y 6 100＋x＋y 750 需求量 200 450 400 1050 依題意可得，即， 目標(biāo)函數(shù)z＝6x＋3y＋5(300－x－y)＋5(200－x)＋9(450－y)＋6(100＋x＋y)＝2x－5y＋7150． 作出可行域，如圖中陰影部分所示， 作直線2x－5y＝0，并上下平移， 由圖知，當(dāng)2x－5y＝z－7150過點(diǎn)(0，300)時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，zmin＝5650． 故甲廠的產(chǎn)品全運(yùn)往B地，乙廠運(yùn)往A、B、C三地的產(chǎn)品分別是200噸、150噸、400噸時，總費(fèi)用最少，為5650元． 【名師點(diǎn)睛】（1）在線性規(guī)劃的應(yīng)用問題中，題中的條件較多，應(yīng)認(rèn)真審題，仔細(xì)判斷線性約束條件中有無等號，判斷未知數(shù)x，y是否有限制（如x，y為正整數(shù)、非負(fù)數(shù)等），分清線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)（線性約束條件一般是不等式組，而目標(biāo)函數(shù)是一個等式）；（2）圖形對解決線性規(guī)劃問題至關(guān)重要，最關(guān)鍵的步驟是通過數(shù)形結(jié)合完成的，所以作圖應(yīng)盡可能準(zhǔn)確，圖上操作盡可能規(guī)范（作圖中必然會有誤差，假如圖上的最優(yōu)解并不明顯易辨時，需將幾個有可能是最優(yōu)解的坐標(biāo)都求出來，然后逐一檢驗(yàn)，以確定最優(yōu)解）． 線性規(guī)劃中的整數(shù)解問題 已知x，y滿足不等式組，求使4x＋3y取得最大值的整數(shù)x，y． 【答案】使4x＋3y取得最大值的整數(shù)，或，． 設(shè)4x＋3y＝z(z)，則z＜4＋3＝37， 取z＝37，由4x＋3y＝37，得x＝，代入約束條件解得≤y≤9， 所以取y＝9，而此時x＝非整數(shù)，故不成立． 再取z＝36，即4x＋3y＝36，得x＝，代入約束條件得≤y≤12， 取y＝7，8，9，10，11，12，分別代入x＝， 可知當(dāng)x＝3，y＝8；x＝0，y＝12時為整數(shù)解， 經(jīng)驗(yàn)算得，最優(yōu)整數(shù)解為(3，8)，(0，12)． 【名師點(diǎn)睛】對于線性規(guī)劃中最優(yōu)整數(shù)解的問題，當(dāng)解方程組得到的解不是整數(shù)時，可用下面的方法求解： （1）平移直線法：先在可行域內(nèi)打網(wǎng)格，再描整點(diǎn)，平移直線，最先經(jīng)過或最后經(jīng)過的整點(diǎn)坐標(biāo)是最優(yōu)整數(shù)解； （2）檢驗(yàn)優(yōu)值法：當(dāng)可行域內(nèi)整點(diǎn)個數(shù)較少時，也可將整點(diǎn)坐標(biāo)逐一代入目標(biāo)函數(shù)求值，經(jīng)比較得出最優(yōu)解； （3）調(diào)整優(yōu)值法：先求非整點(diǎn)最優(yōu)解及最優(yōu)值，再借助不定方程知識調(diào)整最優(yōu)值，最后篩選出最優(yōu)解． 非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題 （1）形如型的目標(biāo)函數(shù) 這是一個兩點(diǎn)間的距離的模型，也可視為圓的模型，可化歸為求可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)間距離的最值問題．常見的類似形式有或等． 已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值為_______________． 【答案】 【解析】將目標(biāo)函數(shù)化為， 原問題等價于求可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(2，0)距離的平方的最小值， 不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示， 由圖易得點(diǎn)(2，0)到直線的距離的平方即為所求，zmin＝． 【名師點(diǎn)睛】此模型借助于兩點(diǎn)間的距離公式，利用數(shù)形結(jié)合思想巧妙求得最值，比較簡捷． （2）形如型的目標(biāo)函數(shù) 這是一個斜率模型，可先變形為，將問題化歸為求可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(，)連線的斜率的倍的范圍或最值等問題．常見的類似形式有或等． 已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值是 A．－2 B．2 C．－1 D．1 【答案】D 【解析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示， 的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)P(x，y)與定點(diǎn)A(0，－1)所在直線的斜率， 由圖象可知當(dāng)P位于點(diǎn)D(1，0)時，直線AP的斜率最小， 此時的最小值為，故選D． 【名師點(diǎn)睛】斜率問題是線性規(guī)劃延伸變化的一類重要問題，其本質(zhì)仍然是二元函數(shù)的最值問題，不過是用模型形態(tài)呈現(xiàn)的．因此有必要總結(jié)常見模型或其變形形式． （3）形如型的目標(biāo)函數(shù) 這是一個點(diǎn)到直線的距離模型，可先變形為，將問題化歸為求可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)到直線Ax＋By＋C＝0的距離的倍的最值問題． 實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組，則z＝|x＋2y－4|的最大值為______________． 【答案】21 【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示． z＝|x＋2y－4|＝，其幾何含義為可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線x＋2y－4＝0的距離的倍． 由得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(7，9)，顯然點(diǎn)B到直線x＋2y－4＝0的距離最大， 此時zmax＝＝21． 【名師點(diǎn)睛】認(rèn)真體會數(shù)形結(jié)合思想以及目標(biāo)函數(shù)的特征不難發(fā)現(xiàn)，無論可行域是線性條件表示的區(qū)域，還是非線性條件表示的區(qū)域，還是目標(biāo)函數(shù)形式特別，其本質(zhì)都是在研究二元函數(shù)的最值問題，其求解的方法都是數(shù)形結(jié)合思想． 線性規(guī)劃中的參數(shù)問題 （1）已知a＞0，x，y滿足約束條件，若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝ A． B． C．1 D．2 （2）若變量x，y滿足約束條件，且z＝2x＋y的最小值為－6，則k＝______________； （3）已知變量x，y滿足約束條件，且有無窮多個點(diǎn)(x，y)使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值，則m＝______________． 【答案】（1）B；（2）－2；（3）1． （3）作出線性約束條件表示的平面區(qū)域，如圖3中陰影部分所示， 若m＝0，則z＝x，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值的最優(yōu)解只有一個，不符合題意； 若m≠0，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my可看作動直線， 若m＜0，則＞0，數(shù)形結(jié)合可知使z＝x＋my取得最小值的最優(yōu)解不可能有無窮多個； 若m＞0，則＜0，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)動直線與直線AB重合時，有無窮多個點(diǎn)(x，y)在線段AB上，使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值，即＝－1，則m＝1． 圖1 圖2 圖3 【名師點(diǎn)睛】（1）對于含有參數(shù)的線性規(guī)劃問題，無論參數(shù)是在約束條件中還是在目標(biāo)函數(shù)中，解題的關(guān)鍵是從參數(shù)的幾何意義入手，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解；（2）最優(yōu)解不唯一或者有無窮多個，即目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線與約束條件中二元一次不等式所表示的邊界直線重合． 1．若變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z＝x－2y的最大值為 A．－9 B．0 C．9 D．15 2．已知滿足，則的最小值是 A．1 B．2 C．5 D． 3．已知、滿足，且的最大值是最小值的倍，則的值是 A． B． C． D． 4．在中，三個頂點(diǎn)分別為A(2，4)，B(－1，2)，C(1，0)，點(diǎn)P(x，y)在的內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動，則y－x的取值范圍為 A．[1，3] B．[－3，1] C．[－1，3] D．[－3，－1] 5．已知變量滿足約束條件則的最小值是 A．1 B． C． D．0 6．設(shè)，其中實(shí)數(shù)滿足，若的最大值為6，則的最小值為 A． B． C． D．0 7．已知實(shí)數(shù)滿足且數(shù)列為等差數(shù)列，則實(shí)數(shù)的最大值是_______________． 8．已知實(shí)數(shù)滿足則的最小值為_______________． 9．已知x，y滿足條件，求： （1）4x?3y的最大值； （2）x2+y2的最大值； （3）的最小值．  10．制訂投資計劃時，不僅要考慮可能要獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損．某投資人打算投資甲、乙兩個項(xiàng)目，根據(jù)預(yù)測，甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%，投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元，問投資人對甲、乙兩個項(xiàng)目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？ 11．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，如果目標(biāo)函數(shù)z＝x－y的最小值為－1，則實(shí)數(shù)m等于 A．7 B．5 C．4 D．3 12．若滿足條件，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D． 13．已知滿足約束條件，則的取值范圍是 A． B． C． D． 14．若平面區(qū)域夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是 A． B． C． D． 15．設(shè)、滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)的最大值為，則的最小值為 A． B． C． D． 16．已知實(shí)數(shù)，，且點(diǎn)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)，則的取值范圍為_______________，的取值范圍為_______________． 17．已知，則的最小值為_______________． 18．若目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y在約束條件下取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則n的取值范圍是________________． 19．已知x，y滿足約束條件，若z＝ax＋y的最大值為4，則a＝_______________． 20．某企業(yè)準(zhǔn)備投資1200萬元興辦一所中學(xué)，對當(dāng)?shù)亟逃袌鲞M(jìn)行調(diào)查后，得到了如下表所示的數(shù)據(jù)(以班級為單位)： 學(xué)段 硬件建設(shè)(萬元) 配備教師數(shù) 教師年薪(萬元) 初中 26/班 2/班 2/人 高中 54/班 3/班 2/人 因生源和環(huán)境等因素，全?？偘嗉壷辽?0個班，至多30個班． （1）請用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示上述的限制條件；(設(shè)開設(shè)初中班x個，高中班y個) （2）若每開設(shè)一個初、高中班，可分別獲得年利潤2萬元、3萬元，請你合理規(guī)劃辦學(xué)規(guī)模使年利潤最大，最大為多少？ 21．（2018天津文理）設(shè)變量，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 A． B． C． D． 22．（2018新課標(biāo)全國Ⅲ文）若變量，滿足約束條件，則的最大值為_______________． 23．（2018浙江）若，滿足約束條件，則的最小值是_______________，最大值是_______________． 24．（2018北京文理）若，滿足，則的最小值是_______________． 25．（2018新課標(biāo)全國Ⅰ理）若，滿足約束條件，則的最大值為 _______________． 26．（2018新課標(biāo)全國Ⅱ文理）若，滿足約束條件，則的最大值為 _______________． 27．（2017新課標(biāo)全國II文理）設(shè)，滿足約束條件，則的最小值是 A． B． C． D． 28．（2017天津理）設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 A． B．1 C． D．3 29．（2017北京文理）若滿足，則的最大值為 A．1 B．3 C．5 D．9 30．（2017浙江）若，滿足約束條件，則的取值范圍是 A．[0，6] B．[0，4] C．[6， D．[4， 31．（2017新課標(biāo)全國I文）設(shè)x，y滿足約束條件，則的最大值為 A．0 B．1 C．2 D．3 32．（2017新課標(biāo)全國III文）設(shè)x，y滿足約束條件，則的取值范圍是 A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3] 33．（2017新課標(biāo)全國III理）若，滿足約束條件，則的最小值為 _____________． 34．（2017新課標(biāo)全國I理）設(shè)x，y滿足約束條件，則的最小值為_______________． 35．（2016新課標(biāo)全國III理）若x，y滿足約束條件，則的最大值為_______________． 36．（2016新課標(biāo)全國I文）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為_______________元． 1．【答案】D 【解析】不等式組對應(yīng)的區(qū)域?yàn)橹本€所夾的區(qū)域，區(qū)域頂點(diǎn)為，將其代入目標(biāo)函數(shù)得的最大值為15．故選D． 2．【答案】D 【解析】作出可行域如下圖中陰影部分所示，由，解得， 代入，就可以求得的最小值為．故選D． 4．【答案】C 【解析】先畫出三角形區(qū)域（如下圖），然后轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，求線性目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)－x的取值范圍． 由圖易知當(dāng)y＝x＋z過點(diǎn)C時，z取得最小值為0－1＝－1； 當(dāng)y＝x＋z過點(diǎn)B時，z取得最大值為2－(－1)＝3．故y－x的取值范圍是[－1，3]，故選C． 5．【答案】C 【解析】不等式組對應(yīng)的可行域?yàn)橹本€圍成的三角形及其內(nèi)部，可看作點(diǎn)連線的斜率，結(jié)合圖形可知當(dāng)點(diǎn)位于直線的交點(diǎn)時取得最小值．故選C． 7．【答案】 【解析】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，即目標(biāo)函數(shù)為，畫出可行域如圖所示，由圖可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時取到最大值，最大值為． 8．【答案】4 【解析】畫出約束條件表示的可行域，如下圖中陰影部分所示，，令，則目標(biāo)函數(shù)可以看作可行域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率． 觀察圖象可知當(dāng)定點(diǎn)與點(diǎn)A連線時斜率最小，由解得則， 此時目標(biāo)函數(shù)取得最小值，所以的最小值為4． 9．【答案】（1）最大值為13；（2）最大值為37；（3）最小值為?9． （2）x2+y2的最大值表示為區(qū)域內(nèi)與原點(diǎn)距離平方的最大值，因此點(diǎn)（?1，?6）滿足題意，最大值為37． （3）表示的為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與（5，?8）連線的斜率，可知過點(diǎn)（4，1）取得最小值為?9． 10．【答案】投資人用4萬元投資甲項(xiàng)目，6萬元投資乙項(xiàng)目，才能確保在虧損不超過1.8萬元的前提下，使可能的盈利最大． 【解析】設(shè)投資人分別用萬元，萬元投資甲、乙兩個項(xiàng)目，獲得的利潤為z萬元， 則，由題意知， 上述不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示，陰影部分（含邊界）即為可行域． 作直線，并作出平行于直線的一組直線與可行域相交，其中有一條直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)，這里點(diǎn)是直線和的交點(diǎn)． 解方程組得，，此時（萬元）． 答：投資人用4萬元投資甲項(xiàng)目，6萬元投資乙項(xiàng)目，才能確保在虧損不超過1.8萬元的前提下，使可能的盈利最大． 12．【答案】C 【解析】畫出可行域如下圖所示，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)僅在處取得最大值，所以直線 的斜率需滿足且，．故選C． 13．【答案】C 【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，，解方程組得所以，解方程組得所以，所以，所以的范圍是，故選C． 14．【答案】B 【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示， 由得A(1，2)，由得B(2，1)， 由題意可知，當(dāng)斜率為1的兩條直線分別過點(diǎn)A和點(diǎn)B時，兩條平行直線間的距離最小， 因?yàn)椋赃xB． 15．【答案】C 16．【答案】 【解析】由題意得，，畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖中陰影部分所示， 作直線：，平移，從而可知當(dāng)，時，，當(dāng)，時，，故的取值范圍是．而的幾何意義為點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，故取值范圍是． 17．【答案】 【解析】設(shè)，則，所以當(dāng)最小時，取得最小值．作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，因?yàn)楸硎究尚杏騼?nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方，所以當(dāng)位于點(diǎn)時，取最小值，由方程組解得，即，所以，的最小值為． 18．【答案】(2，＋∞) 【解析】先根據(jù)作出如下圖中陰影部分所示的平面區(qū)域，欲使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，需使目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線平移時達(dá)到可行域的邊界直線x＋y－2＝0，當(dāng)且僅當(dāng)n＞2時，可行域才包含x＋y－2＝0這條直線上的線段BC或線段BC的一部分． 19．【答案】2 【解析】畫出可行域，如下圖中陰影部分所示，由z＝ax＋y得y＝－ax＋z． 當(dāng)－a＞1，即a＜－1時，只能在點(diǎn)O(0，0)處取最大值，zmax＝0，與已知矛盾； 當(dāng)0≤－a≤1，即－1≤a≤0時，在點(diǎn)B(1，1)處取最大值，此時a＋1＝4，無解； 當(dāng)－a≤－1，即a≥1時，在點(diǎn)A(2，0)處取得最大值，此時2a＋0＝4，a＝2； 當(dāng)－1＜－a＜0，即0＜a＜1時，在點(diǎn)B(1，1)處取最大值，此時a＋1＝4，無解． 綜上，a＝2． 20．【答案】（1）見解析；（2）見解析． （2）設(shè)年利潤為z萬元，則目標(biāo)函數(shù)為， 由（1）作出可行域（圖略）． 由方程組得則交點(diǎn)M(20，10)． 作直線，平移，當(dāng)平移后的直線過點(diǎn)M(20，10)時，z取最大值70． ∴開設(shè)20個初中班，10個高中班時，年利潤最大，最大利潤為70萬元． 21．【答案】C 【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示， 結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值， 聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為， 所以．故選C． 22．【答案】 【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示， 由圖可知目標(biāo)函數(shù)在直線與的交點(diǎn)處取得最大值，最大值為． 23．【答案】 【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，則直線過點(diǎn)時取最大值，過點(diǎn)時取最小值． 【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問題有三類：①簡單的線性規(guī)劃，包括畫出可行域和考查截距型目標(biāo)函數(shù)的最值，有時考查斜率型或距離型目標(biāo)函數(shù)；②線性規(guī)劃逆向思維問題，給出最值或最優(yōu)解個數(shù)求參數(shù)的取值范圍；③線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用．本題主要考查線性規(guī)劃問題，首先由不等式組作出相應(yīng)的可行域，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍． 24．【答案】 【解析】不等式可轉(zhuǎn)化為，即，作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，令，由圖象可知，當(dāng)過點(diǎn)時，取最小值，此時，故的最小值為． 【名師點(diǎn)睛】此題考查線性規(guī)劃，求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，當(dāng)時，直線過可行域在軸上截距最大時，值最大，在軸上截距最小時，值最小；當(dāng)時，直線過可行域在軸上截距最大時，值最小，在軸上截距最小時，值最大． 25．【答案】 【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示， 由可得，畫出直線，將其上下移動，結(jié)合的幾何意義，可知當(dāng)直線過點(diǎn)時，取得最大值，由，解得，此時． 26．【答案】9 【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，不等式組表示的可行域是以 為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)的最大值必在頂點(diǎn)處取得，易知當(dāng) ，時，． 【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問題是高考中的常考考點(diǎn)，主要以選擇或填空的形式出現(xiàn)，基本題型為給出約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最值，主要結(jié)合方式有：截距型、斜率型、距離型等． 27．【答案】A 【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)即：，其中表示斜率為的直線系與可行域有交點(diǎn)時直線的縱截距，數(shù)形結(jié)合可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值，，故選A． 【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想．需要注意的是：①準(zhǔn)確無誤地作出可行域；②畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯；③一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得． 29．【答案】D 【解析】如圖，畫出可行域， 表示斜率為的一組平行線，當(dāng)過點(diǎn)時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，故選D． 30．【答案】D 【解析】如圖，可行域?yàn)橐婚_放區(qū)域，所以直線過點(diǎn)時取最小值4，無最大值，故選D． 31．【答案】D 【解析】如圖，作出不等式組表示的可行域，則目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過時z取得最大值，故，故選D． 32．【答案】B 33．【答案】 【解析】作出約束條件表示的可行域，如圖中陰影部分所示． 目標(biāo)函數(shù)即，易知直線在軸上的截距最大時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，數(shù)形結(jié)合可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值，為． 34．【答案】 【解析】不等式組表示的可行域如圖所示，易求得，由得在軸上的截距越大，就越小，所以，當(dāng)直線過點(diǎn)時，取得最小值，所以的最小值為． 35．【答案】 【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖中陰影部分所示，由圖可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)A(1，)時取得最大值，即． 作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖中陰影部分所示， 將z＝2 100x＋900y變形得，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，z取得最大值，解方程組，得點(diǎn)的坐標(biāo)為(60，100)．所以當(dāng)x＝60，y＝100時，210060＋900100＝216 000． 故生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為216 000元．