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1、
1．曲線的極坐標方程．
(1)極坐標系：一般地，在平面上取一個定點O，自點O引一條射線Ox，同時確定一個長度單位和計算角度的正方向(通常取逆時針方向為正方向)，這樣就建立了一個極坐標系．其中，點O稱為極點，射線Ox稱為極軸．
(2)極坐標(ρ，θ)的含義：設M是平面上任一點，ρ表示OM的長度，θ表示以射線Ox為始邊，射線OM為終邊所成的角．那么，有序數對(ρ，θ)稱為點M的極坐標．顯然，每一個有序實數對(ρ，θ)，決定一個點的位置．其中ρ稱為點M的極徑，θ稱為點M的極角．
極坐標系和直角坐標系的最大區(qū)別在于：在直角坐標系中，平面上的點與有序數對之間的對應關系是一一對應的，而在
2、極坐標系中，對于給定的有序數對(ρ，θ)，可以確定平面上的一點，但是平面內的一點的極坐標卻不是唯一的．
(3)曲線的極坐標方程：一般地，在極坐標系中，如果平面曲線C上的任意一點的極坐標滿足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐標適合方程f(ρ，θ)＝0的點都在曲線C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲線C的極坐標方程．
2．直線的極坐標方程．
(1)過極點且與極軸成φ0角的直線方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下圖所示．
(2)與極軸垂直且與極軸交于點(a，0)的直線的極坐標方程是ρcos θ＝a，如下圖所示．
(3)與極軸平行且在x軸的上方，與x軸的距離為a的直線的極坐標方程
3、為ρsin θ＝a，如下圖所示．
3．圓的極坐標方程．
(1)以極點為圓心，半徑為r的圓的方程為ρ＝r，如圖1所示．
(2)圓心在極軸上且過極點，半徑為r的圓的方程為ρ＝2rcos_θ，如圖2所示．
(3)圓心在過極點且與極軸成的射線上，過極點且半徑為r的圓的方程為ρ2rsin_θ，如圖3所示．
4．極坐標與直角坐標的互化．
若極點在原點且極軸為x軸的正半軸，則平面內任意一點M的極坐標M(ρ，θ)化為平面直角坐標M(x，y)的公式如下：
或者ρ＝，tan θ＝，
其中要結合點所在的象限確定角θ的值．
1．曲線的參數方程的定義．
在平面直角坐標系中，如
4、果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數t的函數，即并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數方程，聯系x，y之間關系的變數t叫做參變數，簡稱參數．
2．常見曲線的參數方程．
(1)過定點P(x0，y0)，傾斜角為α的直線：
(t為參數)，
其中參數t是以定點P(x0，y0)為起點，點M(x，y)為終點的有向線段PM的數量，又稱為點P與點M間的有向距離．
根據t的幾何意義，有以下結論：
①設A，B是直線上任意兩點，它們對應的參數分別為tA和tB，則|AB|＝|tB－tA|＝；
②線段AB的中點所對應的參數值等于.
(2
5、)中心在P(x0，y0)，半徑等于r的圓：
(θ為參數)
(3)中心在原點，焦點在x軸(或y軸)上的橢圓：
(θ為參數).
中心在點P(x0，y0)，焦點在平行于x軸的直線上的橢圓的參數方程為(α為參數)．
(4)中心在原點，焦點在x軸(或y軸)上的雙曲線：
(θ為參數).
(5)頂點在原點，焦點在x軸的正半軸上的拋物線：
(t為參數，p>0)．
注：sec θ＝.
3．參數方程化為普通方程．
由參數方程化為普通方程就是要消去參數，消參數時常常采用代入消元法、加減消元法、乘除消元法、三角代換法，消參數時要注意參數的取值范圍對x，y的限制．
1．已知點A的極坐
6、標為，則點A的直角坐標是(2，－2)．
2．把點P的直角坐標(，－)化為極坐標，結果為．
3．曲線的極坐標方程ρ＝4sin θ化為直角坐標方程為x2＋(y－2)2＝4．
4．以極坐標系中的點為圓心、1為半徑的圓的極坐標方程是ρ＝2cos．
5．在平面直角坐標系xOy中，若直線l：(t為參數)過橢圓C：(θ為參數)的右頂點，則常數a的值為3．
解析：由直線l：得y＝x－a.由橢圓C：得＝＝1.所以橢圓C的右頂點為(3，0)．因為直線l過橢圓的右頂點，所以0＝3－a，即a＝3.
一、選擇題
1．在平面直角坐標系xOy中，點P的直角坐標為(1，－)．若以原點O為極點，x軸正半軸
7、為極軸建立極坐標系，則點P的極坐標可以是(C)
A. B.
C. D.
2．若圓的方程為(θ為參數)，直線的方程為(t為參數)，則直線與圓的位置關系是(B)
A．相離 B．相交
C．相切 D．不能確定
3．以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線l的參數方程是(t為參數)，圓C的極坐標方程是ρ＝4cos θ，則直線l被圓C截得的弦長為(D)
A. B．2
C. D．2
解析：由題意可得直線和圓的方程分別為x－y－4＝0，x2＋y2＝4x，所以圓心C(2，0)，半徑r＝2
8、，圓心(2，0)到直線l的距離d＝，由半徑，圓心距，半弦長構成直角三角形，解得弦長為2.
4．已知動直線l平分圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，則直線l與圓O：(θ為參數)的位置關系是(A)
A．相交 B．相切
C．相離 D．過圓心
解析：動直線l平分圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，即圓心(2，1)在直線l上，又圓O：的普通方程為x2＋y2＝9且22＋12<9，故點(2，1)在圓O內，則直線l與圓O的位置關系是相交．
二、填空題
5．在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數方程是(θ是參數)，若以O為極點，x軸的正半軸為極軸，則曲線C的極坐標方程
9、可寫為ρ2＋4ρsin_θ＋3＝0．
解析：在平面直角坐標系xOy中，(θ是參數)，∴根據sin2θ＋cos2θ＝1，可得x2＋(y＋2)2＝1，即x2＋y2＋4y＋3＝0.∴曲線C的極坐標方程為ρ2＋4ρsin θ＋3＝0.
6．在平面直角坐標系中圓C的參數方程為(θ為參數)，以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則圓C的圓心的極坐標為．
三、解答題
7．求極點到直線ρ＝(ρ∈R)的距離．
解析：由ρ＝?ρsin θ＋ρcos θ＝1?x＋y＝1，
故d＝＝.
8．極坐標系中，A為曲線ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的動點，B為直線ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上
10、的動點，求|AB|的最小值．
9．(2015·大連模擬)曲線C1的參數方程為(θ為參數)，將曲線C1上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標伸長為原來的倍，得到曲線C2.以平面直角坐標系xOy的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線l：ρ(cos θ－2sin θ)＝6.
(1)求曲線C2和直線l的普通方程；
(2)P為曲線C2上任意一點，求點P到直線l的距離的最值．
解析：(1)由題意可得C2的參數方程為(θ為參數)，即C2：＋＝1，
直線l：ρ(cos θ－2sin θ)＝6化為直角坐標方程為x－2y－6＝0.
(2)設點P(2cos θ，
11、sin θ)，由點到直線的距離公式得點P到直線l的距離為
d＝
＝
＝
＝.
所以≤d≤2，故點P到直線l的距離的最大值為2，最小值為.
10．已知在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(θ為參數)，直線l經過定點P(3，5)，傾斜角為.
(1)寫出直線l的參數方程和曲線C的標準方程．
(2)設直線l與曲線C相交于A，B兩點，求|PA|·|PB|的值．
解析：(1)由曲線C的參數方程(θ為參數)，得普通方程為(x－1)2＋(y－2)2＝16，即x2＋y2－2x－4y＝11＝0.
直線l經過定點P(3，5)，傾斜角為，直線的參數方程為(t是參數)．
(2)將直線的參數方程代入x2＋y2－2x－4y－11＝0，整理，得t2＋(2＋3)t－3＝0，設方程的兩根分別為t1，t2，則t1t2＝－3，
因為直線l與曲線C相交于A，B兩點，所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝3.
內容總結
高考文科數學復習專題 極坐標與參數方程
