高中數(shù)學(xué) 323空間角的計(jì)算課件 蘇教版選修21

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1、 【課標(biāo)要求】3.2.3 空間角的計(jì)算空間角的計(jì)算【核心掃描核心掃描】能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題體會向量方法在研究幾何問題中的作用體會向量方法在研究幾何問題中的作用用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題(重點(diǎn)重點(diǎn)) )用向量方法求線面角、二面角用向量方法求線面角、二面角(難點(diǎn)難點(diǎn)) )1212自學(xué)導(dǎo)引自學(xué)導(dǎo)引 設(shè)n1、n2是二面角l的兩個面，的法向量，則向量n1與向量n2的夾角(或其補(bǔ)角)就是二面角的平面角的大小 想一想：當(dāng)一條直線l與一個平面的夾角為0時，這條直線一定在

2、平面內(nèi)嗎？ 提示不一定，這條直線還可能與平面平行 如何正確理解直線與平面所成的角？ 在理解直線與平面所成的角時，注意把握以下幾點(diǎn)： (1)斜線與平面的夾角范圍是(0，90)；而直線與平面的夾角范圍是0，90；名師點(diǎn)睛名師點(diǎn)睛1 拓展：最小角定理： 斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角(即斜線與平面所成的角)，是斜線和這個平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角 如何正確認(rèn)識二面角？ (1)二面角是一個空間圖形，它是由兩個半平面和一條直線構(gòu)成的圖形，可以類比平面內(nèi)的角 (2)符號l表示以l為棱，、為兩個半平面的二面角 (3)兩個平面相交，可以構(gòu)成四個二面角 (4)在二面角l的棱l上任取一點(diǎn)O，在兩半平面內(nèi)分別作

3、射線OAl，OBl，則AOB叫做二面角l的平面角2題型一題型一求異面直線所成的角求異面直線所成的角 正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是A1D1、A1C1的中點(diǎn)，求：異面直線AE與CF所成角的余弦值【例例1】如圖，在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，PA與平面ABCD所成的角為60，在四邊形ABCD中，DDAB90，AB4，CD1，AD2. (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點(diǎn)B，P的坐標(biāo)； (2)求異面直線PA與BC所成角的余弦值【變式變式1】解解(1)如圖所示，以如圖所示，以D為原點(diǎn)，射線為原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為分別為x軸，軸，y軸，軸，z軸的軸的正方向，建立空間直角坐

4、標(biāo)系正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，DDAB90，AB4，CD 1，AD2， A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0) 由PD平面ABCD得PAD為PA與平面ABCD所成的角 PAD60.題型題型二二直線與平面所成的角直線與平面所成的角【例例2】 規(guī)律方法 充分利用圖形的幾何特征建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，再用向量有關(guān)知識求解線面角方法二給出了一般的方法，先求平面法向量與斜線夾角，再進(jìn)行換算已知單位正方體ABCDA1B1C1D1，E，F(xiàn)分別是棱B1C1和C1D1的中點(diǎn)試求： (1)AD1與EF所成角的大小； (2)AF與平面BEB1所成角的余弦值【變式變式2】 (14分)如圖，正

5、方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)現(xiàn)沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G1，G2，G3三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為G. (1)求證：平面ESG平面FSG； (2)求二面角GSEF的余弦值題型題型三三求二面角求二面角【例例3】審題指導(dǎo)審題指導(dǎo) 證明面面垂直，利用面面垂直的判定定理，先證明面面垂直，利用面面垂直的判定定理，先證明線面垂直；而求二面角的大小，則通過建立空間直角證明線面垂直；而求二面角的大小，則通過建立空間直角坐標(biāo)系將幾何問題代數(shù)化坐標(biāo)系將幾何問題代數(shù)化 規(guī)范解答 (1)證明：正方形SG1G2G3按題意折成的四面體如圖所示折疊后，有SG

6、GE，SGGF，EGGF. 2分 又SGGFG，所以EG平面FSG， 又因?yàn)镋G平面ESG， 4分 所以平面ESG平面FSG. 6分 【題后反思】 求二面角的大小，一般先求兩個半平面的法向量，再求兩個法向量的夾角，并且判斷法向量的方向，最后得到二面角的大小或所求三角函數(shù)值如圖所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn)，求二面角AA1DB的余弦值 解取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO. 因?yàn)锳BC是正三角形， 所以AOBC， 因?yàn)樵谡庵鵄BCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1， 所以AO平面BCC1B1.【變式變式3】 因?yàn)橹本€的方向向量與法向量可以確定直線與平面的位置，

7、所以我們可以利用直線的方向向量與平面的法向量來研究空間直線、平面間的平行、垂直、夾角、距離等問題 方法技巧方法技巧直線方向向量與平面法向量在直線方向向量與平面法向量在 確定直線、平面位置關(guān)系中的應(yīng)用確定直線、平面位置關(guān)系中的應(yīng)用 在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC的中點(diǎn)，試在棱CC1上求一點(diǎn)P，使得平面A1B1P平面C1DE. 思路分析 若要在棱CC1上求一點(diǎn)P，使得平面A1B1P平面C1DE，需建立恰當(dāng)?shù)目臻g【示示例例】直角坐標(biāo)系，并設(shè)出點(diǎn)直角坐標(biāo)系，并設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出平面的坐標(biāo)，求出平面A1B1P與平面與平面C1DE的法向量，建立方程求出點(diǎn)的法向量，建立方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，確定點(diǎn)的坐標(biāo)，確定點(diǎn)P的位置的位置方法點(diǎn)評方法點(diǎn)評 直線方向向量與平面法向量在確定直線、平面直線方向向量與平面法向量在確定直線、平面位置關(guān)系中的應(yīng)用位置關(guān)系中的應(yīng)用(1)若兩直線若兩直線l1、l2的方向向量分別是的方向向量分別是u1、u2，則有，則有l(wèi)1l2u1u2，l1l2u1u2.(2)若兩平面若兩平面、的法向量分別是的法向量分別是v1、v2，則有，則有v1v2，v1v2.(3)若直線若直線l的方向向量是的方向向量是u，平面的法向量是，平面的法向量是v，則有，則有l(wèi)uv，luv.