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1、向量的數(shù)乘運算向量的數(shù)乘運算(1)1. 1.向量加法的向量加法的三角形法則三角形法則作法:在平面中任取一點在平面中任取一點O,O,o回顧舊知回顧舊知:過過O作作OA= a過過A作作AB= b則則OB= a+b.a+bbaA如圖如圖, ,已知向量已知向量a a和向量和向量b b, ,作向量作向量a a+ +b b. .bBa首尾相接首尾連首尾相接首尾連2.向量加法的平行四邊形法則向量加法的平行四邊形法則作法:在平面中任取一點在平面中任取一點O,o以以OA,OBOA,OB為邊作為邊作平行四邊形平行四邊形C如圖如圖,已知向量已知向量a和向量和向量b,作向量作向量a+b.baaAbB過過O作作OA=
2、a過過O O作作OB=OB= b ba+b則對角線則對角線OC= OC= a+ba+b共起點共起點3.向量的減法向量的減法(三角形法則）三角形法則）如圖如圖,已知向量已知向量a和向量和向量b,作向量作向量a-b.ab作法作法:在平面中任取一點在平面中任取一點O O,oaAa-bbB共起點共起點過過O O作作OA=OA= a a過過O O作作OB=OB= b b則則BA= BA= a-ba-b實際背景,33一物體作勻速直線運動，一秒鐘的位移對應向量那么在同方向上 秒的位移對應的向量用表示，試畫出該向量。aaaa3探索探索1:根據(jù)向量加法根據(jù)向量加法的法則可得的法則可得3a3aOaaaABC3a
3、由圖可知，向量由圖可知，向量OC=OA+AB+BC=a+a+a,我們把我們把a+a+a記記作作3 a，即，即OC=3a. 顯然，顯然，3a的方向與的方向與a的方向相同，的方向相同，3a 的的長度是長度是a的長度的的長度的3倍，即倍，即|3a | = 3 |a |.PQaMaNa3a由圖可知，由圖可知， PN=PQ+QM+MN=(-a)+(-a)+(-a)，把，把(-a)+(-a)+(-a)記作記作-3 a，即，即PN= - 3a顯然，顯然，-3a的方向與的方向與a的方向相反，的方向相反，-3a的的長度是長度是a的長度的的長度的3倍，即倍，即|-3a | =3 | a | 。| | | |;aa
4、（1 1） 一般地，我們規(guī)定實數(shù)一般地，我們規(guī)定實數(shù)與向量與向量 的積是一的積是一個向量，這種運算叫做個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘向量的數(shù)乘，記作，記作 ，它的長度和方向規(guī)定如下它的長度和方向規(guī)定如下：aa（2 2）當）當 時，時， 的方向與的方向與 的方向相同；的方向相同； 當當 時，時， 的方向與的方向與 的方向相反。的方向相反。aa0aa0特別的，當特別的，當 時，時，00.a思考思考:向量數(shù)乘和實數(shù)乘法有那些相同點向量數(shù)乘和實數(shù)乘法有那些相同點?那些不同點那些不同點? a 是一個向量；是一個向量； a 的長度等于的長度等于 的的絕對值與向量絕對值與向量a的長度的長度的乘積。的乘積。a
5、)2(3a)2(3aa6=abbaba22 a2b2baba22)(2探索探索2:設設 為實數(shù)，那么為實數(shù)，那么, ( (1 1) ) ( ( a a) ) = = ( ( ) )a a; ;( (2 2) )( ( + + ) )a a = = a a + + a a; ;( (3 3) ) ( (a a + + b b) ) = = a a + + b b. .特別的，我們有特別的，我們有 ( (- - ) )a a= =- -( ( a a) )= = ( (- -a a) ), , ( (a a- -b b) )= = a a- - b b. . 向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的加、
6、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線形運算向量的線形運算.對于任意向量對于任意向量 ，以及任意實數(shù)，以及任意實數(shù) ，恒有恒有1 12 2 、 、 1111.abab （）=a a 、 b b第一分配律第一分配律第二分配律第二分配律例例1.計算：計算：( 3) 4 ;3() 2();(23) (32).aa ba baab cab c (1)(2)(3) 1122 5352ababc解：1 2 263 )3( 342 );(2)3()2(2 )4()0.abcabcxaxaxabx鞏固練：計算：（） （已知求習cbacba612961241）原式解：（a13043044442332baxbaxaxax）（
7、bax43 探索探索. .如圖：已知如圖：已知 ， ，試判斷試判斷 與與 是否共線是否共線 ABAD 3BCDE3 ACAEBCAB 33 BCAB 3AC 3ABDEC 與與 共線共線 AEACDEADAE 解：解：思考思考:向量共線定理向量共線定理 對于向量對于向量a （ a 0 ）、）、 b ，如果有一個實數(shù)，如果有一個實數(shù) ，使使 b = a ，那么由實數(shù)與向量的積的定義知，那么由實數(shù)與向量的積的定義知， a與與b共線共線. 反過來，已知向量反過來，已知向量a與與b共線，共線， a 0 ，且向量，且向量b的長度是向量的長度是向量a的的倍，即倍，即| b | a |= ，那么當，那么當向量向量a與與b同方向時，有同方向時，有b = a ，當向量，當向量a與與b反方反方向時，有向時，有b = - a . 也就是說：如果也就是說：如果a與與b共線，那么有且只有一共線，那么有且只有一個實數(shù)個實數(shù) ，使，使b = a .例例2:如圖，在平行四邊形如圖，在平行四邊形ABCD中，中，M是是AB的的中點，點中點，點N是是BD上的一點，上的一點， ，求證求證M、N、C三點共線三點共線.BDBN31 AMBCDN613121 MM C C = = 3 3 MM N N 所以所以M.N.C三點共線三點共線 點MNMCM又又與與共共起起
高一數(shù)學 向量數(shù)乘 課件必修4
