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數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第二部分 專題四數(shù)列解答題的解法

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數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第二部分 專題四數(shù)列解答題的解法

專題四專題四 數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第二部分?jǐn)?shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第二部分考題剖析考題剖析 試題特點(diǎn)試題特點(diǎn) 0311數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法應(yīng)試策略應(yīng)試策略 07 1.近三年高考各試卷數(shù)列考查情況統(tǒng)計(jì) 2005年高考各地的16套試卷中, 每套試卷均有1道數(shù)列解答題試題,處于壓軸位置的有6道.由此知,數(shù)列解答題屬于中檔題或難題.其中,涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列的試題有11道,有關(guān)遞推數(shù)列的有8道,關(guān)于不等式證明的有6道.另外,等比求和的錯(cuò)位相減法,廣東卷的概率和數(shù)列的交匯,湖北卷的不等式型的遞推數(shù)列關(guān)系都是高考試題中展現(xiàn)的亮點(diǎn). 2006年高考各地的18套試卷中,有18道數(shù)列解答試題.其中,與函數(shù)綜合的有6道,涉及數(shù)列不等式證明的有8道,北京還命制了新穎的“絕對(duì)差數(shù)列”,值得一提的是,其中有8道屬于遞推數(shù)列問(wèn)題,這在高考中是一個(gè)重點(diǎn).試題特點(diǎn)試題特點(diǎn)數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法 2007年高考各地的各套試卷中都有數(shù)列題,有7套試卷是在壓軸題的位置,有9套是在倒數(shù)第二道的位置,其它的一般在第二、三的位置,幾乎每道題涉及到遞推數(shù)列,有9道涉及到數(shù)列、不等式或函數(shù)的綜合問(wèn)題,安徽省還出現(xiàn)了一道數(shù)列應(yīng)用題. 綜上可知,數(shù)列解答試題是高考命題的一個(gè)每年必考且難度較大的題型,其命題熱點(diǎn)是與不等式交匯、呈現(xiàn)遞推關(guān)系的綜合性試題.當(dāng)中,以函數(shù)迭代、解析幾何中曲線上的點(diǎn)列為命題載體,有著高等數(shù)學(xué)背景的數(shù)列解答題是未來(lái)高考命題的一個(gè)新的亮點(diǎn),而數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用在2007年中有所增強(qiáng).試題特點(diǎn)試題特點(diǎn)數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法 2.2.主要特點(diǎn) 數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容之一,也是與大學(xué)銜接的內(nèi)容,由于在測(cè)試學(xué)生邏輯推理能力和理性思維水平,以及考查學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力等方面有不可替代的作用,所以在歷年高考中占有重要地位,近幾年更是有所加強(qiáng). 數(shù)列解答題大多以數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法內(nèi)容為工具,綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式等知識(shí),通過(guò)運(yùn)用遞推思想、函數(shù)與方程、歸納與猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類整合等各種數(shù)學(xué)思想方法,考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,其難度屬于中、高檔難度. 試題特點(diǎn)試題特點(diǎn)數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法試題特點(diǎn)試題特點(diǎn) 1.考查數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列極限以及數(shù)學(xué)歸納法等基本知識(shí)、基本技能. 2.常與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等知識(shí)相結(jié)合,考查學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究過(guò)程中知識(shí)的遷移、組合、融會(huì),進(jìn)而考查學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能和數(shù)學(xué)素養(yǎng). 3.常以應(yīng)用題或探索題的形式出現(xiàn),為考生展現(xiàn)其創(chuàng)新意識(shí)和發(fā)揮創(chuàng)造能力提供廣闊的空間.數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法應(yīng)應(yīng) 試試 策策 略略 1.熟練掌握并靈活運(yùn)用數(shù)列的基本知識(shí)是解決數(shù)列問(wèn)題的基礎(chǔ). (1)等差、等比數(shù)列的判定:利用定義判定;anan2=2an1 an是等差數(shù)列,anan2=a2n1(an0) an是等比數(shù)列; an=anb(a,b為常數(shù)) an是等差數(shù)列;Sn=an2bn(a,b為常 數(shù),Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和) an是等差數(shù)列. (2)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用:注意下標(biāo)、奇、偶項(xiàng)的特點(diǎn)等. 應(yīng)試策略應(yīng)試策略數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法 (3)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式,這類問(wèn)題常利用 an= 求解. (4)用遞推公式給出的數(shù)列,常利用“歸納猜想證明”的方法求解. (5)數(shù)列求和的基本方法:公式法(利用等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式或正整數(shù)的方冪和公式);錯(cuò)位相減法(等比數(shù)列求和推導(dǎo)的基本方法);倒序相加法;裂(拆)項(xiàng)法等.應(yīng)試策略應(yīng)試策略)2() 1(11nSSnSnn數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法 2.注意函數(shù)思想與方程思想在數(shù)列中的運(yùn)用. 由于數(shù)列是一種特殊的函數(shù),所以數(shù)列問(wèn)題與函數(shù)、方程有著密切的聯(lián)系,如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為n的二次函數(shù),有關(guān)前n項(xiàng)和的最大、最小值問(wèn)題可運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決.等差(比)數(shù)列問(wèn)題,通過(guò)涉及五個(gè)元素a,d(q),an,n,Sn,利用方程思想,熟練運(yùn)用通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式列出方程或方程組,并求出未知元素,是應(yīng)當(dāng)掌握的基本技能. 3.數(shù)列問(wèn)題對(duì)能力要求較高,特別是運(yùn)用能力、歸納猜想能力、轉(zhuǎn)化能力、邏輯思維能力更為突出.在高考解答題中更是能力與思想的集中體現(xiàn),尤其是近幾年高考加強(qiáng)了數(shù)列推理能力的考查,應(yīng)引起我們的足夠重視.應(yīng)試策略應(yīng)試策略數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法考考 題題 剖剖 析析考題剖析考題剖析1.數(shù)列an和bn滿足an= (b1b2bn) (n=1,2,3),求證bn為等差數(shù)列的充要條件是an為等差數(shù)列.n1 證明必要性 若bn為等差數(shù)列,設(shè)首項(xiàng)b1,公差dan1an= , an是公差為 的等差數(shù)列充分性 若an為等差數(shù)列,設(shè)首項(xiàng)a1,公差d則b1b2bn=na1(n1)d=dn2(a1d)nb1b2bn1=d(n1)2(a1d)(n1) (n2)bn=2dn(a12d) (n2) 當(dāng)n=1時(shí),b1=a1也適合bn1bn=2d, bn是公差為2d的等差數(shù)列 dnbdnnnbnan21)2) 1(111則2d2d 點(diǎn)評(píng) 要證明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列,關(guān)鍵是抓住等差數(shù)列的定義:從第二項(xiàng)起,任一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都為一個(gè)常數(shù),即相鄰兩項(xiàng)的差是一定值,證等比數(shù)列也是如此.數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法考題剖析考題剖析 2. (2007寧波市三中) 已知數(shù)列an中,a1=1,nan1=2(a1a2an)(nN*). (1)求a2,a3,a4; (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)an; (3)設(shè)數(shù)列bn滿足 ,求證:bnbnbn1b10,所以bn是單調(diào)遞增數(shù)列,故要證:bn1(nk)只需證bk1若k=1,則b1= 1顯然成立若k2,則bn1=所以因此: 2121nbk21nnnnnbbbkbbk1211kbbnn111111211)11()11(1bbbbbbkkkkkkk121數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法考題剖析考題剖析所以所以bnan; (3)求證:2421*), 2(2111111121Nnnaaan 解析(1)tan2= =1 又為銳角 sin(2 )=1 f(x)=x2x22) 12(1) 12(2tan1tan24數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法 (2)a1= a2,a3,an都大于0 0 an1an考題剖析考題剖析nnnnnnnaaaaaaa111)1 (1112111111nnnaaa21111nnaa(3)由(2)知11111nnnaaa1322121111111111111nnnaaaaaaaaa1111211nnaaa數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法又n2時(shí),an1an an1a31 12 21 2考題剖析考題剖析143)43(,4321)21(2322aa11nanaaa11111121 點(diǎn)評(píng) 在高考題中,數(shù)列一般與函數(shù)、不等式、三角綜合,本題中,表面上有三角函數(shù),但可以通過(guò)對(duì)三角函數(shù)求值,將三角函數(shù)去掉.從而轉(zhuǎn)化為一個(gè)遞推數(shù)列的問(wèn)題.數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法 5.(2007浙江省五校模擬題) 已知函數(shù)f(x)=xln(1x),數(shù)列an滿足0a11, an1=f(an); 數(shù)列bn滿足 ,nN*.求證: ()0an1an1; ()an1ann!.考題剖析考題剖析nnbnbb) 1(21,211122na數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法22 (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即0ak1.則當(dāng)n=k1時(shí),因?yàn)? x0,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在0,1上連續(xù),所以f(0)f(ak)f(1),即0ak11ln21.故當(dāng)n=k1時(shí),結(jié)論也成立.即0an1對(duì)于一切正整數(shù)都成立.又由0an1,得an1an=anln(1an)an=ln(1an)0,從而an1an.綜上可知0an1an1.考題剖析考題剖析111xxx 解析 ()先用數(shù)學(xué)歸納法證明0an1,nN*. (1)當(dāng)n=1時(shí),由已知得結(jié)論成立;數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法考題剖析考題剖析 ()構(gòu)造函數(shù)g(x)= 0 x0,知g(x)在(0,1)上增函數(shù).又g(x)在0,1上連續(xù),所以g(x)g(0)=0.因?yàn)?an0,即 .,)1ln(2)(222xxxxfxxx122, 0)(2212nnnnaaafa從而數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法 () 因?yàn)?b1= 所以bn0, ,所以由() 所以因?yàn)閍1= , n2, 0an1anann!.考題剖析考題剖析,) 1(21,211nnbnb211nbbnn!21112211nbbbbbbbbnnnnnn2:2121nnnnnaaa,aa知,222121123121nnnnaaaaaaaaaaa22212 2222221111121nnnnnnaaaaaaa 點(diǎn)評(píng)本題考查函數(shù)、數(shù)列、不等式、數(shù)學(xué)歸納法、導(dǎo)數(shù)等知識(shí),考查綜合運(yùn)用知識(shí)、綜合解題能力,是一道較難題.數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法考題剖析考題剖析6.(2007江蘇啟東中學(xué))在平面直角坐標(biāo)系中,已知三個(gè)點(diǎn)列An,Bn,Cn,其中An(n,an),Bn(n,bn), Cn(n1,0),滿足向量 n1與向量 共線,且點(diǎn)(Bn,n)在方向向量為(1,6)的線上a1=a,b1=a. (1)試用a與n表示an(n2); (2)若a6與a7兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是an的最小值,試求a的取值范圍.AAnnnCB數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法考題剖析考題剖析 解析 (1) n1=(1,an1an), =(1,bn), n1與 共線,an1an=bn,又Bn在方向向量為(1,6)的直線上, =6,即bn1bn=6 bn=a6(n1)an=a1(a2a1)(a3a2)(anan1)=ab1b2bn1=a(a)(n1) 6=aa(n1)3(n1)(n2)=3n2(9a)n62a(n2)AAnnnCBAAnnnCBnnbbnn112)2)(1(nn數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法 (2)二次函數(shù)f(x)=3x2(a9)x62a是開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為x= 的拋物線又因?yàn)樵赼6與a7兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是數(shù)列an的最小項(xiàng),對(duì)稱軸x= 應(yīng)該在 內(nèi),即 ,24a36考題剖析考題剖析69a215,21169a21569211a 點(diǎn)評(píng)本題是數(shù)列與向量、解析幾何的綜合,解題時(shí)要求具備一定的綜合解題能力,運(yùn)算能力.數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法

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