數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第二部分 專題四數(shù)列解答題的解法

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1、專題四專題四 數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第二部分?jǐn)?shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第二部分考題剖析考題剖析 試題特點(diǎn)試題特點(diǎn) 0311數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法應(yīng)試策略應(yīng)試策略 07 1.近三年高考各試卷數(shù)列考查情況統(tǒng)計(jì) 2005年高考各地的16套試卷中， 每套試卷均有1道數(shù)列解答題試題，處于壓軸位置的有6道.由此知，數(shù)列解答題屬于中檔題或難題.其中，涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列的試題有11道，有關(guān)遞推數(shù)列的有8道，關(guān)于不等式證明的有6道.另外，等比求和的錯(cuò)位相減法，廣東卷的概率和數(shù)列的交匯，湖北卷的不等式型的遞推數(shù)列關(guān)系都是高考試題中展現(xiàn)的亮點(diǎn). 2006年高考各地的18套試卷中,有

2、18道數(shù)列解答試題.其中,與函數(shù)綜合的有6道，涉及數(shù)列不等式證明的有8道，北京還命制了新穎的“絕對(duì)差數(shù)列”,值得一提的是，其中有8道屬于遞推數(shù)列問(wèn)題，這在高考中是一個(gè)重點(diǎn).試題特點(diǎn)試題特點(diǎn)數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法 2007年高考各地的各套試卷中都有數(shù)列題，有7套試卷是在壓軸題的位置，有9套是在倒數(shù)第二道的位置，其它的一般在第二、三的位置，幾乎每道題涉及到遞推數(shù)列,有9道涉及到數(shù)列、不等式或函數(shù)的綜合問(wèn)題，安徽省還出現(xiàn)了一道數(shù)列應(yīng)用題. 綜上可知，數(shù)列解答試題是高考命題的一個(gè)每年必考且難度較大的題型，其命題熱點(diǎn)是與不等式交匯、呈現(xiàn)遞推關(guān)系的綜合性試題.當(dāng)中，以函數(shù)迭代、解析幾何中曲線上的

3、點(diǎn)列為命題載體，有著高等數(shù)學(xué)背景的數(shù)列解答題是未來(lái)高考命題的一個(gè)新的亮點(diǎn)，而數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用在2007年中有所增強(qiáng).試題特點(diǎn)試題特點(diǎn)數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法 2.2.主要特點(diǎn) 數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容之一，也是與大學(xué)銜接的內(nèi)容，由于在測(cè)試學(xué)生邏輯推理能力和理性思維水平，以及考查學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力等方面有不可替代的作用，所以在歷年高考中占有重要地位，近幾年更是有所加強(qiáng). 數(shù)列解答題大多以數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法內(nèi)容為工具，綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)，通過(guò)運(yùn)用遞推思想、函數(shù)與方程、歸納與猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類整合等各種數(shù)學(xué)思想方法，考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，其難度屬

4、于中、高檔難度. 試題特點(diǎn)試題特點(diǎn)數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法試題特點(diǎn)試題特點(diǎn) 1.考查數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列極限以及數(shù)學(xué)歸納法等基本知識(shí)、基本技能. 2.常與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等知識(shí)相結(jié)合，考查學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究過(guò)程中知識(shí)的遷移、組合、融會(huì)，進(jìn)而考查學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能和數(shù)學(xué)素養(yǎng). 3.常以應(yīng)用題或探索題的形式出現(xiàn)，為考生展現(xiàn)其創(chuàng)新意識(shí)和發(fā)揮創(chuàng)造能力提供廣闊的空間.數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法應(yīng)應(yīng) 試試 策策 略略 1.熟練掌握并靈活運(yùn)用數(shù)列的基本知識(shí)是解決數(shù)列問(wèn)題的基礎(chǔ). (1)等差、等比數(shù)列的判定：利用定義判定；anan2=2an1 an是等差數(shù)列，anan2=a2

5、n1(an0) an是等比數(shù)列； an=anb(a,b為常數(shù)) an是等差數(shù)列；Sn=an2bn(a,b為常 數(shù)，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和) an是等差數(shù)列. (2)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用：注意下標(biāo)、奇、偶項(xiàng)的特點(diǎn)等. 應(yīng)試策略應(yīng)試策略數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法 (3)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式，這類問(wèn)題常利用 an= 求解. (4)用遞推公式給出的數(shù)列，常利用“歸納猜想證明”的方法求解. (5)數(shù)列求和的基本方法：公式法(利用等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式或正整數(shù)的方冪和公式）；錯(cuò)位相減法(等比數(shù)列求和推導(dǎo)的基本方法)；倒序相加法；裂(拆)項(xiàng)法等.應(yīng)試策略應(yīng)試策略)2() 1(11n

6、SSnSnn數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法 2.注意函數(shù)思想與方程思想在數(shù)列中的運(yùn)用. 由于數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，所以數(shù)列問(wèn)題與函數(shù)、方程有著密切的聯(lián)系，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為n的二次函數(shù)，有關(guān)前n項(xiàng)和的最大、最小值問(wèn)題可運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決.等差(比)數(shù)列問(wèn)題，通過(guò)涉及五個(gè)元素a,d(q),an,n,Sn,利用方程思想，熟練運(yùn)用通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式列出方程或方程組，并求出未知元素，是應(yīng)當(dāng)掌握的基本技能. 3.數(shù)列問(wèn)題對(duì)能力要求較高，特別是運(yùn)用能力、歸納猜想能力、轉(zhuǎn)化能力、邏輯思維能力更為突出.在高考解答題中更是能力與思想的集中體現(xiàn)，尤其是近幾年高考加強(qiáng)了數(shù)列推理能力的考查，應(yīng)引起我們

7、的足夠重視.應(yīng)試策略應(yīng)試策略數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法考考 題題 剖剖 析析考題剖析考題剖析1.數(shù)列an和bn滿足an= (b1b2bn) （n=1，2，3），求證bn為等差數(shù)列的充要條件是an為等差數(shù)列.n1 證明必要性 若bn為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)b1，公差dan1an= , an是公差為 的等差數(shù)列充分性 若an為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)a1，公差d則b1b2bn=na1(n1)d=dn2(a1d)nb1b2bn1=d(n1)2(a1d)(n1) (n2)bn=2dn(a12d) (n2) 當(dāng)n=1時(shí)，b1=a1也適合bn1bn=2d， bn是公差為2d的等差數(shù)列 dnbdnnnbnan21)

8、2) 1(111則2d2d 點(diǎn)評(píng) 要證明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，關(guān)鍵是抓住等差數(shù)列的定義：從第二項(xiàng)起，任一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都為一個(gè)常數(shù)，即相鄰兩項(xiàng)的差是一定值，證等比數(shù)列也是如此.數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法考題剖析考題剖析 2. (2007寧波市三中) 已知數(shù)列an中，a1=1，nan1=2(a1a2an)(nN*). （1）求a2,a3,a4； （2）求數(shù)列an的通項(xiàng)an； （3）設(shè)數(shù)列bn滿足 ，求證：bnbnbn1b10，所以bn是單調(diào)遞增數(shù)列，故要證：bn1(nk)只需證bk1若k=1，則b1= 1顯然成立若k2，則bn1=所以因此： 2121nbk21nnnnnbbbkbbk1211

9、kbbnn111111211)11()11(1bbbbbbkkkkkkk121數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法考題剖析考題剖析所以所以bnan； （3）求證：2421*), 2(2111111121Nnnaaan 解析（1）tan2= =1 又為銳角 sin(2 )=1 f(x)=x2x22) 12(1) 12(2tan1tan24數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法 （2）a1= a2,a3,an都大于0 0 an1an考題剖析考題剖析nnnnnnnaaaaaaa111)1 (1112111111nnnaaa21111nnaa（3）由（2）知11111nnnaaa1322121111111111

10、111nnnaaaaaaaaa1111211nnaaa數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法又n2時(shí),an1an an1a31 12 21 2考題剖析考題剖析143)43(,4321)21(2322aa11nanaaa11111121 點(diǎn)評(píng) 在高考題中，數(shù)列一般與函數(shù)、不等式、三角綜合，本題中，表面上有三角函數(shù)，但可以通過(guò)對(duì)三角函數(shù)求值，將三角函數(shù)去掉.從而轉(zhuǎn)化為一個(gè)遞推數(shù)列的問(wèn)題.數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法 5.（2007浙江省五校模擬題） 已知函數(shù)f(x)=xln(1x),數(shù)列an滿足0a11, an1=f(an); 數(shù)列bn滿足 ,nN*.求證: （）0an1an1; （）an1ann!

11、.考題剖析考題剖析nnbnbb) 1(21,211122na數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法22 （2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即0ak1.則當(dāng)n=k1時(shí),因?yàn)? x0,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在0,1上連續(xù),所以f(0)f(ak)f(1),即0ak11ln21.故當(dāng)n=k1時(shí),結(jié)論也成立.即0an1對(duì)于一切正整數(shù)都成立.又由0an1,得an1an=anln(1an)an=ln(1an)0,從而an1an.綜上可知0an1an1.考題剖析考題剖析111xxx 解析 ()先用數(shù)學(xué)歸納法證明0an1,nN*. （1）當(dāng)n=1時(shí),由已知得結(jié)論成立;數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的

12、解法考題剖析考題剖析 ()構(gòu)造函數(shù)g(x)= 0 x0,知g(x)在(0,1)上增函數(shù).又g(x)在0,1上連續(xù),所以g(x)g(0)=0.因?yàn)?an0,即 .,)1ln(2)(222xxxxfxxx122, 0)(2212nnnnaaafa從而數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法 () 因?yàn)?b1= 所以bn0, ,所以由() 所以因?yàn)閍1= , n2, 0an1anann!.考題剖析考題剖析,) 1(21,211nnbnb211nbbnn!21112211nbbbbbbbbnnnnnn2:2121nnnnnaaa，aa知,222121123121nnnnaaaaaaaaaaa22212 222

13、2221111121nnnnnnaaaaaaa 點(diǎn)評(píng)本題考查函數(shù)、數(shù)列、不等式、數(shù)學(xué)歸納法、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用知識(shí)、綜合解題能力，是一道較難題.數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法考題剖析考題剖析6.（2007江蘇啟東中學(xué)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)點(diǎn)列An，Bn，Cn，其中An(n,an),Bn(n,bn), Cn(n1,0)，滿足向量 n1與向量 共線，且點(diǎn)（Bn，n）在方向向量為（1，6）的線上a1=a,b1=a. （1）試用a與n表示an(n2)； （2）若a6與a7兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是an的最小值，試求a的取值范圍.AAnnnCB數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法考題剖析考題剖析 解

14、析 （1） n1=(1,an1an), =(1,bn), n1與 共線，an1an=bn,又Bn在方向向量為（1，6）的直線上， =6,即bn1bn=6 bn=a6(n1)an=a1(a2a1)(a3a2)(anan1)=ab1b2bn1=a(a)(n1) 6=aa(n1)3(n1)(n2)=3n2(9a)n62a(n2)AAnnnCBAAnnnCBnnbbnn112)2)(1(nn數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法 （2）二次函數(shù)f(x)=3x2(a9)x62a是開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x= 的拋物線又因?yàn)樵赼6與a7兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是數(shù)列an的最小項(xiàng)，對(duì)稱軸x= 應(yīng)該在 內(nèi)，即 ,24a36考題剖析考題剖析69a215,21169a21569211a 點(diǎn)評(píng)本題是數(shù)列與向量、解析幾何的綜合，解題時(shí)要求具備一定的綜合解題能力，運(yùn)算能力.數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法