平面雙連桿機(jī)械臂動(dòng)態(tài)模型

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1、構(gòu)建平面雙連桿機(jī)械臂動(dòng)態(tài)模型 1.平面雙連桿機(jī)械臂的分析 圖1平面雙連桿機(jī)械臂 2 平面雙連桿機(jī)械臂如圖 1，圖中B 1為關(guān)節(jié)1轉(zhuǎn)角，0 2為關(guān)節(jié)2轉(zhuǎn)角，11為桿1的長(zhǎng)度，12為 桿2的長(zhǎng)度，r1為關(guān)節(jié)1到桿1質(zhì)心的距離，r2為關(guān)節(jié)2到桿2質(zhì)心的距離,M1為負(fù)載質(zhì)量。以圖 中的0為原點(diǎn)的x ° - y °為基坐標(biāo)。 2.數(shù)學(xué)建模 2.1尋找動(dòng)力學(xué) 末端坐標(biāo) X pl = l ! COS 3 l 2 cos( 3 ? R ) y pi = I t sin K 亠 I 2 sin( 3 ? t|2 ) 根據(jù)雅克比矩陣的形式 dx dx a 日2 J = d

2、y dy 占 日2 一 對(duì)末端坐標(biāo)進(jìn)行微分得到末端速度方程 x pl - -I < sin e - I 2( * r 亠心2) sin( E ? 6) y pl = — Ij、cos 冃 ? I 2(.冷？ - 2) cos( R ? v2) 其中國(guó)！ = 0，⑷2 =，將(3)、( 4)兩式聯(lián)立整理成速度雅克比矩陣形式 I 1s 1 —： I 2s12 J = 1c1 I 2c12 其中St =sin 3 , c1 = cos 匕,s2 = sin 6 ，5 二 _ I 2s 12 I 2C12 cos ■t|2 ,

3、 s12 =sin( 匕 ? v2),c12=cos( ■ v2)。 在機(jī)器人基礎(chǔ)坐標(biāo)系中的速度與各關(guān)節(jié)速度間的關(guān)系以及手部與外界接觸力與對(duì)應(yīng)各關(guān)節(jié)間的關(guān)系可 以利用雅克比矩陣來建立。對(duì)機(jī)械臂末端速度方程（ 3）、方程（4）進(jìn)行求導(dǎo)得到末端加速度方程如下 x pi y'p (1 1S 1 1 2S 12 )「1 1 2S 12「2 =-(Il 1C 1 I 2C12)；：：1 1 2C12；：：2 ' 21 2；：： 1；：： 2C12 (l 1S1 ' 1 2S 12 ^ r-1 * 1 2S 122 - - 1 S 1 ''' 1 2S 12 1 ''' 1 2S 12

4、；：： 2 ■'' 2l 2；：：1；l 2S 12 其中r= r，:.2 =T2，上述推導(dǎo)的方程構(gòu)成了進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真的基礎(chǔ) ，它們表明了有效負(fù)荷的加速度與 兩節(jié)點(diǎn)處電動(dòng)機(jī)的角速度和角加速度之間的關(guān)系。 程如下 機(jī)械臂質(zhì)心位置的加速度和關(guān)節(jié)處的變量之間關(guān)系方 AC[ ,x 十r&心！ = -r&個(gè)1 AC1, y 2 —r 1C 10( 1 = —r 1S 1 ⑷ 1 2 Ac2,x -(I 1S1 - r2S12- r2S1^z2 = (l 1C1 Ac2，y ■ (11C! r 2C12 k-1 ■ r 2S12 2 = (11S1 2 2

5、 1 2C12 ) 1 1 2C 12 2 2 2 '1 2S 12 ^71 ' 1 2C12 ；：； 2 2| 2；.m2C12 -2| 2"?2S12 2.2構(gòu)建拉格朗日模型 2.2.1選定廣義關(guān)節(jié)變量及廣義力 選取笛卡爾坐標(biāo)系。0 1為關(guān)節(jié)1轉(zhuǎn)角，0 2為關(guān)節(jié)2轉(zhuǎn)角，關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2相應(yīng)的力矩是,1和.2。 連桿1和連桿2的質(zhì)量分別為 口勺和m2, l1為桿1的長(zhǎng)度，l2為桿2的長(zhǎng)度，質(zhì)心分別為 匕和k2 r1為關(guān) 節(jié)1到桿1質(zhì)心的距離，r2為關(guān)節(jié)2到桿2質(zhì)心的距離。 因此，桿1質(zhì)心k,的位置坐標(biāo)為 X1 二 reH 丫1 --r &

6、斗 桿1質(zhì)心k1速度的平方為 '2 '2 2 X! 丫1 =(r 1K) 桿1質(zhì)心k2的位置坐標(biāo)為 X2 二丨心-r2S12 丫2 c 斗「r 2c t 桿1質(zhì)心k1速度的平方為 X2 =l & K t r2c 丫2 =l 1S K K r 2s X； 丫22 =12 2 1 -1 2.2.2系統(tǒng)動(dòng)能 Ek Eki i 二 1 2.2 E k 1 =— m「i 1 2 1 2 . 2 Ek 2 = m

7、2l 1 2 2.2.3系統(tǒng)勢(shì)能 EP =z Epi i 二 E p1 =m1gr 1( 1 - c ；12( 3「) 12( R ^2) -「22(已 * 二2)2 - 2l J2(才 ：?柑2)“2 1,2 1 2 「 . ' 2 「2 %「2(円 6) m2l 2r2( ' i^2)c^2 2 1,2 Ep2 =m2gli(l — Cy) m2g「2(l — C12) 224拉格朗日函數(shù) L 二 Ek - Ep 1 2 2 2 (mVi mJ 1)J1 2 (吋 mJ jg(i ^2 ?? 1

8、2 ? ?2 -mJ」/ f 1戈上戈 ％「2(》? 士) 2 —c^) - mzgrQ — C12) 2.2.5系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程 根據(jù)拉格朗日方程式計(jì)算各關(guān)節(jié)上的力矩，得到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。 計(jì)算關(guān)節(jié)1上的力矩.1 L 2 ■ 2 ■ - - 2 ' ' ( m1r1 m2l1 )^1 %1』2（2二1 712 )^2 - 口2「2（「*2） '■^1 ;:L 4 mo gi 1 )gs 北 一 m2 gr 2s 12 所以 d T — ;L -1 dt

9、 / 2 二（m「 m2r22 m2l 12 - 2叫1 J2C乙）刁 (m2r 22 m2l』2c 無）二2 2 (_2m2l』2s r)e v2 ( m1r1 叫1 Jgs y m2gr 2s12 計(jì)算關(guān)節(jié)1上的力矩.2 2 ——l = %「2 (二 r ) 」2￥ m 2 ——=一叫11「2（門 1 k）s 匕一叫9「2S12 所以 2 2 =(譏「2 m^l 汀2C 3 )斗 m2「2 2 2 (-叫1 丄 r2s n2 亠 m^l J 2s R)斗 6 ( m^l j2s n2) K m2gr 2s12 2.3建立動(dòng)力方程

10、 將兩個(gè)關(guān)節(jié)電機(jī)輸入轉(zhuǎn)矩作為輸入，根據(jù) 2.1中的角度、角速度、角加速度的方程和建立的拉格朗日方 程，我們可以建立含14維矩陣的動(dòng)力方程如下： 4 Pi\x Fz\) -尺“ fl 5| + k s，12 0 II 0 0 1 0 0 0 0 0 Q h G - h Q2 -h C\z Q 0 0 1) 0 ] fl 0 0 fl 0 0 Mi {] \ n n 〔〕 0 0 0 n Q f] 0 fl -n Cj 0 0 1 0 li 0 0 0 0 0 fl

11、 0 0 斶+ h恥 “兄 0 0 1 0 0 0 0 0 0 fl 0 0 A G + h Os 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 D 0 0 5 0 0 J 0 0 1 0 1 fl 0 0 0 0 0 -Ml 0 u 0 0 0 I 0 1 0 0 Ji 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n 5 -/|C1 0 0 0 0 0 U -換 I) 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 II

12、0 -冊(cè) 0 0 0 0 0 -1 () 1 0 h 0 1) 0 I) 0 n 0 fl h加 - \h- Sn -G 0 0 0 0 Q 0 甌 0 0 0 0 0 1 Q 0 0 0 0 0 0 0 ?% 0 c 0 0 0 1 ' / f A G + fe C\2)謠 + b「12 涇 + 2 b ?皎 C)2 / r [(h(4 h S\z)諾 + 血 ％ 矗 + 2 匹?135iz] -『1 G謂 亠 n 5i -[(1\ C\ + Ci2)尿+茂氐涇+ 2及創(chuàng)皎缶丿 '

13、 f (h Si + 兜 S\2)嶄 + 及 ％ 濾 + 2 吃 o>i 購(gòu) ％ / 0 M\g ri - r2 - gn G 0 Mig 曉 0 --^fpig - 3.二連桿機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)matlab/simulink 仿真 圖2是一個(gè)合理的Simulink模型原理圖。值得注意的是 ，到兩個(gè)電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩被輸入到了仿真系統(tǒng) 中,而且軸承摩擦力的簡(jiǎn)單模型也加了進(jìn)去。一般來說 ，摩擦是組織運(yùn)動(dòng)并且和速度有關(guān)的力或者力矩。 在圖5中采用了一種線性的摩擦力模型。在該模型中 ，抵抗輸入轉(zhuǎn)矩的摩擦力矩與轉(zhuǎn)速成正比。兩個(gè)標(biāo) “Damp2ing”的增益模塊標(biāo)示的是由于軸承和電動(dòng)機(jī)的黏滯

14、阻尼而產(chǎn)生的速度的損失 ，這些系數(shù)的實(shí)際 值是很難確定的，但是在操縱機(jī)器人裝置時(shí)，某些能量的消耗是客觀存在的 ，在模型中缺少對(duì)能兩消耗的 考慮將會(huì)導(dǎo)致較大的誤差和得到不符合實(shí)際的仿真結(jié)果。 rmeEi-l ihat-2 lnlU￡TUllt alph?-l alpha Z 卄 弓 Scopel ? Afiwlarujioft TciWni^BOt jcrtruLnh 2. ―1 Imrgrtkirt InlcgnLl^rT 7^^ M M4TI.ATt _ P uftdldA robed id 圖 2simuli

15、 nk 仿真圖 7 初始條件選擇0 1 = 0和B 2 = n / 2rad。這對(duì)機(jī)械臂的末端位置 xpl= 1.0 和ypl= 1.0 。如同所 有的仿真一樣，積分求解器的促使條件必須是相容的。 為了在仿真中獲得較高的可信度， 需要做一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)。回想一下機(jī)械臂在垂直平面工作時(shí)在重 力作用下的受力圖。因此，如果讓機(jī)械臂從任何初始位置開始運(yùn)動(dòng)，將輸入的轉(zhuǎn)矩值設(shè)置為零，那么機(jī) 械臂將在自重的作用下下落，最后到達(dá)兩個(gè)連桿都在一條鉛垂線上的位置。 圖3給出了機(jī)械臂Simulink 仿真圖，其上數(shù)據(jù)點(diǎn)表明了機(jī)械臂末端位置隨時(shí)間變換的規(guī)律。 曲線圖 中顯示的運(yùn)動(dòng)軌跡與我們

16、所想到的讓機(jī)械臂在自重作用下下降的運(yùn)動(dòng)情形相一致。圖 4給出了關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角 0 1和02的轉(zhuǎn)角曲線，在經(jīng)過一定的仿真時(shí)間后 ，機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)趨于穩(wěn)定后，兩關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角像設(shè)想的一 樣0 1變?yōu)?n /2 , 0 2變?yōu)?與機(jī)械臂在自重下結(jié)束態(tài)姿相吻合。 XY Plot 2 I ■ i n li li ■ I ■2 -I -0.5 0 0.5 I E5 X軸 圖3simulink仿真結(jié)果曲線 “ 二桿機(jī)械怦關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角變化曲線 2 j 1 1 ' 1 I 1 I 50 50 100 150 200 250 30() 350 400 450 500 決時(shí)間 圖4關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角0 1和B 2

17、的變化曲線 我們得到了一個(gè)平面二連桿機(jī)械臂動(dòng)態(tài)模型并在 Simuli nk 環(huán)境下實(shí)現(xiàn)了這個(gè)模型。這種模型的仿 真是很難在更為一般的環(huán)境下實(shí)施的， 這是因?yàn)榉忾]形式的運(yùn)動(dòng)方程是非常復(fù)雜的， 也是很難精確解答 的。另外這種類型的仿真對(duì)于了解復(fù)雜的多鏈?zhǔn)綑C(jī)器人操縱裝置的動(dòng)力特性以及在解決對(duì)這些系統(tǒng)實(shí)施 控制過程中遇到的困難時(shí)是非常有用的， 機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的建立是研究機(jī)械臂軌跡規(guī)劃和控制策略的 前提和基礎(chǔ)。 4.總結(jié) 通過機(jī)器人控制技術(shù)這門課程的學(xué)習(xí)和這個(gè)報(bào)告的編寫， 我對(duì)機(jī)器人工作原理有了大概的概念。 主 要是以機(jī)械臂底座為原點(diǎn)建立基坐標(biāo)， 利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換知識(shí)可以將目標(biāo)的坐標(biāo)和機(jī)械臂末端的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成 基坐標(biāo)表示，這樣就可以解決目標(biāo)物和機(jī)械臂末端的定位問題； 再就是利用動(dòng)力學(xué)知識(shí)（雅克比矩陣和 拉格朗日方程）來求取速度和加速度等， 使其能夠達(dá)到控制要求； 最后就是規(guī)劃?rùn)C(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)軌跡來確 定機(jī)械臂是按什么樣的軌跡進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的。