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第三周 等差數(shù)列求和（一）
＊數(shù)學故事：
一位教師布置了一道很繁雜的計算題，要求學生把1到 100的所有整數(shù)加起來，教師剛敘述完題目，一位小男孩即刻把寫著答案的小石板交了上去。
1+2+3+4+......+98+99+100=?
老師起初并不在意這一舉動，心想這個小家伙又在搗亂，但當他發(fā)現(xiàn)全班唯一正確的答案屬于那個男孩時，才大吃一驚。
而更使人吃驚的是男孩的算法......
老師發(fā)現(xiàn)：第一個數(shù)加最后一個數(shù)是101，第二個數(shù)加倒數(shù)第二個數(shù)的和也是101，……共有50對這樣的數(shù)，用101乘以50得到5
2、050。這種算法是教師未曾教過的計算等差數(shù)列的方法，高斯的才華使老師——彪特耐爾十分激動，下課后特地向校長匯報，并聲稱自己已經(jīng)沒有什么可教這位男孩的了。
此男孩叫高斯，是德國數(shù)學家、天文學家和物理學家，被譽為歷史上偉大的數(shù)學家之一，和阿基米德、牛頓并列，同享盛名。
＊數(shù)列的基本知識：
（1）1、2、3、4、5、6…… 公差： （2）2、4、6、8、10、12…… 公差：
（3）5、10、15、20、25、30…… 公差：
像這樣按照一定規(guī)律排列成的一列數(shù)我們稱它為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項；第1項稱為首項；最后1項稱為末項；在第幾個
3、位置上的數(shù)就叫第幾項；有多少項稱為項數(shù)；通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)上面的每一個數(shù)列中，從第一項開始，后項與前項的差都是相等的，具有這樣特征的數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個差稱為這個數(shù)列的公差。
通項公式： 某一項=首項+（項數(shù)-1）×公差
項數(shù)公式： 項數(shù)=（末項－首項）÷公差 + 1
求和公式： 總和=（首項+末項）×項數(shù)÷2
例題1： 已知數(shù)列2、5、8、11、14……求它的第10項是多少？它的第98項是多少？
【思路導航】這個等差數(shù)列的首項是2，公差是
4、3，項數(shù)是10.要求第10項，可根據(jù)，某一項=首項+（項數(shù)-1）×公差進行計算。第10項：2+3×（10-1）=29 第98項： 2+3 ×（98-1）=293
練習1：某一項=首項+（項數(shù)-1）×公差
（1）求等差數(shù)列：1、3、5、7、9……它的第21項是多少?
（2）求等差數(shù)列：2、6、10、14、18……它的第60項是多少?
（3）求等差數(shù)列：7、12、17、22……它的第100項是多少?
例題2：已知數(shù)列2、5、8、11、14……35，這個數(shù)列共有多少項？
【思路導航】第2項比首項多1個公差，第3項比首項多2個公差，第4項比首
5、項多3個公差……，那第n項比首項多（n-1)個公差?？筛鶕?jù)，項數(shù)=（末項－首項）÷公差 + 1
進行計算，（35-2）÷3+1=12。所以，這個數(shù)列共有12項。
練習2：項數(shù)=（末項－首項）÷公差 + 1
（1） 有一個等差數(shù)列：1、3、5、7、9……99，這個等差數(shù)列共有多少項？
（2） 有一個等差數(shù)列：2、5、8、11……101，這個等差數(shù)列共有多少項？
（3） 有一個等差數(shù)列：11、16、21、26……1001，這個等差數(shù)列共有多少項？
例題3：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38=?
【思路導航】這是一個等差數(shù)列；首
6、項=6，末項=38，公差=4
原數(shù)列的和：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38
倒過來的和：38+ 34 + 30 + 26 + 22 + 18 + 14 + 10 + 6
44 44 44 44 44 44 44 44 44
這里一共有9個44相加，所得的和就是所求數(shù)列的和的2倍，再除以2，就是所求數(shù)列的和。等差數(shù)列的和=（首項+末項）×項數(shù)÷2
6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38
=（6+38）×9÷2
=44×9÷2
=198
練習3：總和=（首項+末項）×項數(shù)÷2
（1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37 （2）1+2+3+4+5+......+50
（3）493+494+495+496+497+498+499+500+501+502+503+504+505+506+507
（4）292+294+296+298+300+302+304+306
【精品文檔】第 2 頁
四年級奧數(shù)等差數(shù)列求和一
