高中數(shù)學(xué) 本章歸納整合(三)課件 蘇教版選修21

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1、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)本本 章章 歸歸 納納 整整 合合 空間向量 (1)空間向量的知識(shí)脈絡(luò)： 向量的概念向量的運(yùn)算基本定理直角坐標(biāo)系向量的坐標(biāo)運(yùn)算應(yīng)用 (2)空間向量的概念： 定義：具有大小和方向的量稱為向量；向量相等：長度相等且方向相同 (3)空間向量的運(yùn)算： 加法法則：平行四邊形法則，三角形法則； 減法法則：三角形法則； 向量的數(shù)量積：ab|a|b|cos (為a與b的夾角)要點(diǎn)歸納要點(diǎn)歸納1 (4)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算： 若a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，則 加減法：ab(x1x2，y1y2，z1z2)； 實(shí)數(shù)與向量積：a(x1，y1，z1)； 數(shù)量積：abx1x2y1y2z1

2、z2； (6)空間向量平行、垂直的條件： 兩向量垂直：abab0； 兩向量平行：abba(a為非零向量) (7)空間向量基本定理： 如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使pxaybzc. (8)空間共面向量定理： 如果兩個(gè)向量a、b不共線，則向量c與向量a、b共面的充要條件是存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使cxayb. 平面的法向量 若向量 a所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作a，如果a，那么向量a叫做平面的法向量 用空間向量處理立體幾何問題的常用方法 (1)證明空間的平行 證明直線與平面平行，可轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂

3、直；證明平面與平面平行，可轉(zhuǎn)化為證明這兩個(gè)平面的法向量平行 證明直線和平面平行，也可以使用下面的定理：23 (2)證明空間的垂直 證明直線與平面垂直，可轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量共線；證明平面與平面垂直，可轉(zhuǎn)化為證明這兩個(gè)平面的法向量互相垂直圖圖圖圖圖圖 (3)求空間的角度 立體幾何中的角的計(jì)算，均可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量的夾角的計(jì)算：平面的斜線的方向向量與平面法向量的夾角余弦的絕對(duì)值平面的斜線的方向向量與平面法向量的夾角余弦的絕對(duì)值等于該斜線與平面所成角的正弦，由此可求斜線與平面所成等于該斜線與平面所成角的正弦，由此可求斜線與平面所成的角的角如圖如圖，設(shè)，設(shè)n1，n2分別是二面角分別是二

4、面角l中平面中平面，的法向的法向量，則量，則n1，n2所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角(4)求空間的距離求空間的距離專專題一題一空間向量及其運(yùn)算空間向量及其運(yùn)算 向量是數(shù)形結(jié)合的典范，向量的幾何表示法(有向線段表示法)是運(yùn)用幾何性質(zhì)解決向量問題的基礎(chǔ)【例例1】 如圖，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)， 由點(diǎn)O在底面上的射影G為ABC的中心可得 點(diǎn)評(píng)：由二維到三維，任意一個(gè)向量可以用三個(gè)不共面的向量線性表示，求這樣的表示式的常用方法有幾何法(即上面的解法一)和代數(shù)法(即引入坐標(biāo)

5、，上面的解法二) 向量作為數(shù)學(xué)運(yùn)算的一種重要工具，在解決立體幾何問題中有著廣泛的應(yīng)用如向量共線定理有兩方面的應(yīng)用：一是利用定理證明向量共線(或三點(diǎn)共線、線線平行)；二是逆用，即已知兩個(gè)向量共線，那么其中一個(gè)向量必然可用另一個(gè)向量線性表示專專題題二二向量法解決共線、共面問題向量法解決共線、共面問題【例例2】 已知：已知：E、F、G、H分別是空間四邊形分別是空間四邊形ABCD的邊的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，求證：求證：(1)E、F、G、H四點(diǎn)共面；四點(diǎn)共面；(2)BD平面平面EFGH. 點(diǎn)評(píng)：利用空間向量解決立體幾何中的問題，首先要探索如何用空間向量來表示點(diǎn)線面在空間中的位置以及它們

6、之間的關(guān)系，即要建立立體圖形與向量之間的聯(lián)系，然后將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題 法向量為我們通過計(jì)算解決幾何證明提供了方便，如證明直線與平面平行，可轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明平面與平面平行，可轉(zhuǎn)化為證明這兩個(gè)平面的法向量平行專題三專題三向量法證明空間的平行與垂直向量法證明空間的平行與垂直【例例3】 解建立空間直角坐標(biāo)系后，證明直線與平面垂直，可轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面上的某兩個(gè)向量垂直；證明直線與平面平行，可轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明如下： 點(diǎn)評(píng)：通過本例的論證，我們充分體會(huì)到向量工具的優(yōu)越性：幾何問題數(shù)量化，使得論證更快捷，計(jì)算更簡化，證

7、明過程更易于表達(dá)，同學(xué)們可細(xì)細(xì)體會(huì) 如圖，已知三棱錐OABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA1，OBOC2，E是OC的中點(diǎn) (1)求異面直線BE與AC所成角的余弦值； (2)求二面角ABEC的余弦值專專題題四四向量法計(jì)算空間的角度向量法計(jì)算空間的角度【例例4】 解(1)利用向量法求出兩異面直線的方向向量的夾角，即可轉(zhuǎn)化為異面直線所成角；具體過程如下：以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系 則有A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，1，0) 點(diǎn)評(píng)：(1)異面直線所成角為銳角或直角，利用向量法求出兩異面直線的方向向量夾角以后一定要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化

8、； (2)二面角與兩平面法向量夾角的關(guān)系是相等或互補(bǔ)，而二面角到底是銳角還是鈍角，要根據(jù)條件或結(jié)合圖形得到，本題二面角是鈍角 立體幾何中的距離問題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，也是一個(gè)重點(diǎn)；若用向量來處理這些距離問題，則思路簡單、解法固定；如點(diǎn)到直線距離的求法，就是先求出該點(diǎn)與直線上某點(diǎn)連線在直線上的射影，再用勾股定理求對(duì)應(yīng)的距離專專題題五五向量法計(jì)算空間的距離向量法計(jì)算空間的距離【例例5】(1)求證：求證：AO平面平面BCD；(2)求點(diǎn)求點(diǎn)E到平面到平面ACD的距離的距離 解利用向量法求空間距離問題，可以回避此類問題中大量的作圖、證明等步驟，而轉(zhuǎn)化為向量間的計(jì)算問題本題的距離，通過適當(dāng)建立坐標(biāo)系后，

9、正確地寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)，即可運(yùn)算求解；具體過程如下：而而AC2，AO2CO2AC2，AOC90， 即即AOOC，且且BDOCO，AO平面平面BCD. 點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面的位置關(guān)系、點(diǎn)到平面的距離等基本知識(shí)，考查向量法解決立體幾何問題，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力 空間向量是求解立體幾何問題的一個(gè)重要工具，也是高考的一個(gè)重點(diǎn)高考對(duì)空間向量的考查一般不單獨(dú)命題，而是以一些綜合性問題的形式進(jìn)行考查，如空間中線面位置關(guān)系的論證，空間各種角的求解等，此外高考特別注重考查在給出的幾何體中建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，通過空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決問題的能力因此應(yīng)熟練掌握空間向量的概念及運(yùn)算，特別是坐標(biāo)運(yùn)算，掌握向量法解決垂直、平行問題和空間角的求解問題等預(yù)測在今后的高考中，仍然會(huì)考查利用向量法解決立體幾何問題，通常涉及在空間幾何體中證明垂直、平行以及求空間角與距離命題趨勢(shì)命題趨勢(shì)