高中數(shù)學(xué) 第三章 §2 數(shù)學(xué)證明課件 北師大版選修21

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1、第第三三章章2 2 理解教材新知理解教材新知把握熱把握熱點(diǎn)考向點(diǎn)考向應(yīng)用創(chuàng)新演練應(yīng)用創(chuàng)新演練 考點(diǎn)一考點(diǎn)一 考點(diǎn)二考點(diǎn)二 考點(diǎn)三考點(diǎn)三提示：一般性道理提示：一般性道理提示：特殊示例提示：特殊示例提示：由一般性道理對(duì)特殊示例作出判斷提示：由一般性道理對(duì)特殊示例作出判斷 1演繹推理的一般模式演繹推理的一般模式 三段論是最常見的一種演繹推理形式，包括三段論是最常見的一種演繹推理形式，包括 大前提：大前提： ； 小前提：小前提： ； 結(jié)論：結(jié)論： 2合情推理與演繹推理的關(guān)系合情推理與演繹推理的關(guān)系 合情推理是認(rèn)識(shí)世界、發(fā)現(xiàn)問題的基礎(chǔ)；演繹推理合情推理是認(rèn)識(shí)世界、發(fā)現(xiàn)問題的基礎(chǔ)；演繹推理是證明命題、建立

2、理論體系的基礎(chǔ)是證明命題、建立理論體系的基礎(chǔ)一般性道理一般性道理研究對(duì)象的特殊情況研究對(duì)象的特殊情況由大前提和小前提作出的判斷由大前提和小前提作出的判斷 1數(shù)學(xué)問題的解決和證明都蘊(yùn)含著演繹推理，即一數(shù)學(xué)問題的解決和證明都蘊(yùn)含著演繹推理，即一連串的三段論，解決問題的關(guān)鍵是找到每一步推理的依連串的三段論，解決問題的關(guān)鍵是找到每一步推理的依據(jù)據(jù)大前提、小前提大前提、小前提 2三段論中的大前提提供了一個(gè)一般性原理，小前三段論中的大前提提供了一個(gè)一般性原理，小前提指出了一種特殊情況，兩個(gè)命題結(jié)合起來，揭示了一提指出了一種特殊情況，兩個(gè)命題結(jié)合起來，揭示了一般性原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而得到了第三個(gè)命

3、般性原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而得到了第三個(gè)命題題結(jié)論結(jié)論 3三段論推理的結(jié)論正確與否，取決于兩個(gè)前提是三段論推理的結(jié)論正確與否，取決于兩個(gè)前提是否正確，推理形式是否正確否正確，推理形式是否正確 例例1將下列演繹推理寫成三段論的形式將下列演繹推理寫成三段論的形式 (1)等腰三角形的兩底角相等，等腰三角形的兩底角相等，A，B是等腰三角是等腰三角形的兩底角，則形的兩底角，則AB. (2)以以an2n3為通項(xiàng)公式的數(shù)列為通項(xiàng)公式的數(shù)列an為等差數(shù)列為等差數(shù)列 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥首先分析出每個(gè)題的大前提、小前提及首先分析出每個(gè)題的大前提、小前提及結(jié)論，再利用三段論形式寫出來結(jié)論，再利用三段論形式寫出來

4、 精解詳析精解詳析(1)等腰三角形兩底角相等，等腰三角形兩底角相等，大前提大前提 A，B是等腰三角形的兩底角，是等腰三角形的兩底角， 小前提小前提 AB. 結(jié)論結(jié)論 (2)數(shù)列數(shù)列an中，如果當(dāng)中，如果當(dāng)n2時(shí)，時(shí)，anan1為常數(shù)，則為常數(shù)，則an為為等差數(shù)列，等差數(shù)列， 大前提大前提 通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式an2n3時(shí)，若時(shí)，若n2， 則則anan12n32(n1)32(常數(shù)常數(shù))， 小前提小前提 以以an2n3為通項(xiàng)公式的數(shù)列為等差數(shù)列為通項(xiàng)公式的數(shù)列為等差數(shù)列結(jié)論結(jié)論 一點(diǎn)通一點(diǎn)通三段論由大前提、小前提和結(jié)論組成；三段論由大前提、小前提和結(jié)論組成；大前提提供一般性道理，小前提提供特殊情況，兩

5、者結(jié)大前提提供一般性道理，小前提提供特殊情況，兩者結(jié)合起來，體現(xiàn)一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，在用三合起來，體現(xiàn)一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，在用三段論寫推理過程時(shí)，關(guān)鍵是明確命題的大、小前提，而段論寫推理過程時(shí)，關(guān)鍵是明確命題的大、小前提，而大、小前提在書寫過程中是可以省略的大、小前提在書寫過程中是可以省略的1推理：推理：“矩形是平行四邊形；正方形是矩形；矩形是平行四邊形；正方形是矩形；正方形是平行四邊形正方形是平行四邊形”中的小前提是中的小前提是 ()A BC D和和解析：解析：是大前提，是小前提，是結(jié)論是大前提，是小前提，是結(jié)論答案：答案：B2“因?yàn)樗倪呅我驗(yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以四

6、邊形是矩形，所以四邊形ABCD的對(duì)角的對(duì)角線相等線相等”此推理的大前提為此推理的大前提為 ()A正方形的對(duì)角線相等正方形的對(duì)角線相等 B矩形的對(duì)角線相等矩形的對(duì)角線相等C等腰梯形的對(duì)角線相等等腰梯形的對(duì)角線相等 D矩形的對(duì)邊平行且相等矩形的對(duì)邊平行且相等答案：答案：B3用三段論的形式寫出下列演繹推理用三段論的形式寫出下列演繹推理(1)能被能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)，整除的數(shù)都是偶數(shù)，34能被能被2整除，所以整除，所以34是是偶數(shù)偶數(shù)(2)奇函數(shù)奇函數(shù)f(x)若在若在x0處有定義，則必有處有定義，則必有f(0)0.現(xiàn)有現(xiàn)有f(x)x，xR是奇函數(shù)，則有是奇函數(shù)，則有f(0)0.解：解：(1)能被能被

7、2整除的數(shù)都是偶數(shù)，整除的數(shù)都是偶數(shù)， (大前提大前提)34能被能被2整除，整除， (小前提小前提)所以所以34是偶數(shù)是偶數(shù) (結(jié)論結(jié)論)(2)奇函數(shù)奇函數(shù)f(x)若在若在x0處有定義，則必有處有定義，則必有f(0)0，(大前提大前提)f(x)x，xR是奇函數(shù)，且在是奇函數(shù)，且在x0處有定義，處有定義， (小前提小前提)則有則有f(0)0. (結(jié)論結(jié)論) 例例2如圖，如圖，D，E，F(xiàn)分別是分別是BC，CA，AB上的點(diǎn)，上的點(diǎn)，BFDA，DEBA，求證：求證：EDAF，寫出三段論形式的演繹推理，寫出三段論形式的演繹推理 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥證明證明EDAF，可證明四邊形，可證明四邊形AEDF為平為平

8、行四邊形行四邊形精解詳析精解詳析因?yàn)橥唤窍嗟?，兩條直線平行，因?yàn)橥唤窍嗟?，兩條直線平行，大前提大前提BFD與與A是同位角，且是同位角，且BFDA，小前提小前提所以所以FDAE. 結(jié)論結(jié)論因?yàn)閮山M對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，因?yàn)閮山M對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，大前提大前提DEBA，且，且FDAE，小前提小前提所以四邊形所以四邊形AFDE為平行四邊形為平行四邊形結(jié)論結(jié)論因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)邊相等，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)邊相等，大前提大前提ED和和AF為平行四邊形為平行四邊形AFDE的對(duì)邊，的對(duì)邊，小前提小前提所以所以EDAF. 結(jié)論結(jié)論 一點(diǎn)通一點(diǎn)通 (1)三段論推理的根據(jù)，從集合的觀點(diǎn)

9、來講，就是：若三段論推理的根據(jù)，從集合的觀點(diǎn)來講，就是：若集合集合M的所有元素都具有性質(zhì)的所有元素都具有性質(zhì)P，S是是M的子集，那么的子集，那么S中所中所有元素都具有性質(zhì)有元素都具有性質(zhì)P. (2)在幾何證明題中，每一步實(shí)際上都暗含著一般性原在幾何證明題中，每一步實(shí)際上都暗含著一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，把一般性原理用于特理，都可以分析出大前提和小前提，把一般性原理用于特殊情況，從而得到結(jié)論殊情況，從而得到結(jié)論4已知已知ABC中，中，A30，B45，求證：，求證：ab.證明：證明：A30，B45，AB.ab.此問題的證明過程中蘊(yùn)含的此問題的證明過程中蘊(yùn)含的“三段論三段論”中的大前提

10、是中的大前提是_解析：解析：大前提是三角形中大前提是三角形中“大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”的的一個(gè)結(jié)論一個(gè)結(jié)論答案：答案：在在ABC中，若中，若AB，則，則ab.5已知：在梯形已知：在梯形ABCD中，中，ABDCDA， AC和和BD是梯形的對(duì)角線求證：是梯形的對(duì)角線求證：AC平分平分 BCD.證明：證明：等腰三角形兩底角相等，等腰三角形兩底角相等，大前提大前提ADC是等腰三角形，是等腰三角形，1和和2是兩個(gè)底角，是兩個(gè)底角，小前小前提提12. 結(jié)論結(jié)論兩條平行線被第三條直線截得的內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條平行線被第三條直線截得的內(nèi)錯(cuò)角相等， 大前提大前提1和和3是平行線是平行線AD，B

11、C被被AC截得的內(nèi)錯(cuò)角，截得的內(nèi)錯(cuò)角，小前小前提提13. 結(jié)論結(jié)論等于同一個(gè)角的兩個(gè)角相等，等于同一個(gè)角的兩個(gè)角相等， 大前提大前提21，31，小前提小前提23，即，即AC平分平分BCD. 結(jié)結(jié)論論 一點(diǎn)通一點(diǎn)通 (1)在證明或推理過程中，對(duì)于大前提，有一些是我在證明或推理過程中，對(duì)于大前提，有一些是我們?cè)缫咽煜さ墓?、定理、定義、性質(zhì)、公式，這些內(nèi)容們?cè)缫咽煜さ墓怼⒍ɡ?、定義、性質(zhì)、公式，這些內(nèi)容很多時(shí)候在證明或推理的過程中可以直接利用，不需再重很多時(shí)候在證明或推理的過程中可以直接利用，不需再重新指出因此，就會(huì)出現(xiàn)隱性三段論新指出因此，就會(huì)出現(xiàn)隱性三段論 (2)本題在推理過程中，好似未用到

12、演繹推理的三段本題在推理過程中，好似未用到演繹推理的三段論，其實(shí)不然只是大前提論，其實(shí)不然只是大前提“等比數(shù)列的判定方法等比數(shù)列的判定方法”在證明在證明過程中省略，并不影響結(jié)論的正確性過程中省略，并不影響結(jié)論的正確性6正弦函數(shù)是奇函數(shù)，正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)sin(x21)是正弦函數(shù)，因此是正弦函數(shù)，因此f(x)sin(x21)是奇函數(shù)，以上推理是奇函數(shù)，以上推理 ()A結(jié)論正確結(jié)論正確 B大前提不正確大前提不正確C小前提不正確小前提不正確 D全不正確全不正確解析：解析：小前提錯(cuò)誤，因?yàn)樾∏疤徨e(cuò)誤，因?yàn)閒(x)sin(x21)不是正弦函數(shù)不是正弦函數(shù)答案：答案：C 1演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論，建立數(shù)學(xué)體系的演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論，建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過程，但數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn)，主重要思維過程，但數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn)，主要靠合情推理要靠合情推理 2合情推理與演繹推理是常見的兩種推理方式，合情推理與演繹推理是常見的兩種推理方式，二者的主要區(qū)別與聯(lián)系是：二者的主要區(qū)別與聯(lián)系是：推理推理方式方式意義意義主要形式主要形式結(jié)論的結(jié)論的真假真假合情合情推理推理認(rèn)識(shí)世界、發(fā)現(xiàn)問題認(rèn)識(shí)世界、發(fā)現(xiàn)問題的基礎(chǔ)的基礎(chǔ)歸納推理、歸納推理、類比推理類比推理不確定不確定演繹演繹推理推理證明命題、建立理論證明命題、建立理論體系的基礎(chǔ)體系的基礎(chǔ)三段論三段論真真