小學(xué)四年級奧數(shù) 容斥問題

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1、精品文檔,僅供學(xué)習(xí)與交流,如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 容斥問題(一) 容斥問題涉及到一個重要的原理——包含與排除原理,也稱為容斥原理,即當(dāng)兩個計數(shù)部分有重復(fù)包含時,為了不重復(fù)地計數(shù),應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。 這一講我們先介紹容斥原理1對n個事物,如果采用兩種不同的分類標(biāo)準:按性質(zhì)a分類與性質(zhì)b分類(如圖1),那么,具有性質(zhì)a或性質(zhì)b的事物的個數(shù)=Na+Nb-Nab。 例1.一個班有55名學(xué)生,訂閱《小學(xué)生數(shù)學(xué)報》的有12人,訂閱《今日少年報》的有9人,兩種報紙都訂閱的有5人。(1)訂閱報紙的總?cè)藬?shù)有多少?(2)兩種報紙都沒訂閱的有多少人? 例2.一個旅行社有36人,其中會英語的有2

2、4人,會俄語的有18人,兩樣都不會的有4人,兩樣都會的有多少人? 例3.在1到100的全部自然數(shù)中,既不是6的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個? 例4.藝術(shù)節(jié)那天,學(xué)校的畫廊里展了了每個年級學(xué)生的圖畫作品,其中有23幅畫不是五年級的,有21幅畫不是六年級的,五、六年級參展的畫共有8幅。其他年級參展的畫共有多少幅? 練習(xí)與思考 1.將邊長分別為4厘米和5厘米的正方形紙片部分重疊,蓋在桌面上(如圖6),已知重疊的部分為9平方厘米,兩塊正方形紙片蓋住桌面的總面積是多少平方厘米? 2.二(2)班有50名學(xué)生,下課后每人都至少做完了一門作業(yè),其中做完語文作業(yè)的有35人,做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有40人,

3、兩種作業(yè)都做完的有多少人? 3.有62名學(xué)生,其中會彈鋼琴的有11名,會吹豎笛的有56名,兩樣都不會的有4名,兩樣都會的有多少名? 4.某校選出50名學(xué)生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學(xué)比賽,作文比賽獲獎的有14人,數(shù)學(xué)比賽獲獎的有12人,有3人兩項比賽都獲獎的,兩項比賽都沒獲獎的有多少人? 5.四(1)班有40個學(xué)生,其中有25人參加數(shù)學(xué)小組,23人參加航模水組,有19人兩個小組都參加了,那么,有多少人兩個小組都沒有參加? 6.在一次數(shù)學(xué)測驗中,所有同學(xué)都答了第1、2兩題,其中答對第1題的有35人,答對第2題的有28人,這兩題都答對的有20人,沒有人兩題都答錯。一共有多少人參加了這次數(shù)學(xué)測驗?

4、 7.一個俱樂部里,會下中國象棋的有69人,會下國際象棋的有52人,這兩種棋都不會下的有12人,都會下的有30人。這個俱樂部里有多少人? 8.某班上體育課,全班排成4行(每行的人數(shù)相等),小芳排的位置是:從前面數(shù)第6個,從后面數(shù)第7個。這個班共有多少名學(xué)生? 9.在1到200的全部自然數(shù)中,既不是8的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個? 10.科技節(jié)那天,學(xué)校的科技室里展出了每個年級學(xué)生的科技作品,其中有114件不是一年級的,有96件不是二年級的,一、二年級參展的作品共32件。其他年級參展的作品共有多少件? 容斥問題(二) 這一講介紹容斥原理2 n個事物,如何采用三種不同的分類標(biāo)準:

5、按性質(zhì)a 分類、性質(zhì)b分類與性質(zhì)c分類(如圖1),那么,具有性質(zhì)a或b或c的事物的個數(shù)=(Na+Nb=Nc)-(Nab=Nbc=Nca)+Nabc。 例1.五(1)班的全體學(xué)生進行了短跑、游泳、籃球三個項目的測試,有4名學(xué)生在這三個項目上都沒有達到優(yōu)秀,其余每人至少有一個項目達到優(yōu)秀,這部分學(xué)生達到優(yōu)秀的項目和人數(shù)如下表: 短跑 游泳 籃球 短跑、游泳 游泳、籃球 籃球、短跑 短跑、游泳、籃球 17人 18人 15人 6人 6人 6人 2人 求全班人數(shù)。 例2.某班有學(xué)生50人,參加無線電小組,航模小組和生物小組的人數(shù)分別是20人、20人和12人,其中既參加無

6、線電小組又參加航模小組的有4人,既參加航模小組又參加生物小組的有5人,既參加生物小組又參加無線電小組的有3人。已知全班每人都至少參加了以上三個小組中的某一個,那么,三個小組參加的學(xué)生有多少人? 例3.一個體育鍛煉小組有35名男生,規(guī)定他們至少參加籃球、排球、足球三個球隊中的一個。結(jié)果參加籃球隊的有16人,參加排球隊的有11人,參加足球隊的有20人,其中有4人既參加了排球隊又參加了籃球隊,有3人既參加了排球隊又參加了足球隊,沒有人三個球隊都參加。既參加籃球隊又參加足球隊的有多少人? 例4.松山小學(xué)45名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、作文、美術(shù)競賽。有21人參加數(shù)學(xué)競賽,15人參加作文競賽,其中7人既參加作文

7、競賽又參加數(shù)學(xué)競賽,3人既參加作文競賽又參加美術(shù)競賽,但沒有一人既參加數(shù)學(xué)競賽又參加美術(shù)競賽。 (1)只參加數(shù)學(xué)競賽的有多少人? (2)只參加作文競賽的有多少人? (3)只參加美術(shù)競賽的有多少人? 練習(xí)與思考 1.有30名運動員、其中18人會三級跳遠,16人會撐桿跳高,10人三級跳遠、撐桿跳高都不會。既會三級跳遠又會撐桿跳高的運動員有多少名? 2.操場上的學(xué)生排成10路縱隊做操,每路縱隊的人數(shù)同樣多,小明站在第4路縱隊,從排頭數(shù)他是第13人,從后往前數(shù)他是第8人。操場上有多少人在做操? 3.一個年級有120人愛好數(shù)學(xué),100人愛好語文,85人愛好美術(shù),30人既愛好數(shù)學(xué)又愛好語文,

8、20人既愛好語文又愛好美術(shù),35人既愛好美術(shù)又愛好數(shù)學(xué),有18人三個學(xué)科都愛好。請問:這個年級中數(shù)學(xué)、語文、美術(shù)三個學(xué)科至少愛好一個學(xué)科的學(xué)生有多少人? 4.某班全體學(xué)生進行了數(shù)學(xué)、語文、英語三個科目的測試,有8名學(xué)生在這三個科目上都沒有達到優(yōu)秀,其余每人至少有一個科目達到優(yōu)秀,這部分學(xué)生達到優(yōu)秀的科目和人數(shù)如下表: 數(shù)學(xué) 語文 英語 數(shù)學(xué)、語文 語文、英語 英語、數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)、語文、英語 20 16 16 4 4 5 3 全班一共有多少名學(xué)生? 5.第三小隊的學(xué)生有20人,手中分別拿有紅、黃藍三種顏色的球,已知手中有紅球、黃球、藍球折學(xué)生人數(shù)分別為10

9、人、10人、6人,其中手中既有紅球又有黃球的有3人,既有黃球又有藍球的有2人,既有藍球又有紅球的有4人。已知全隊每人手里都至少有一種顏色的球,那么,手中三種顏色的球都有多少人? 6.某班50名同學(xué)全部參加數(shù)學(xué)、語文、美術(shù)三個課外興趣小組,參加數(shù)學(xué)小組的有29人,參加語文小組的有21人,參加美術(shù)小組的有25人,有17人既參加數(shù)學(xué)小組又參加美術(shù)小組,有15人既參加數(shù)學(xué)小組又參加語文小組,有10人既參加語文小組又參加美術(shù)小組。三個小組都參加的有多少人? 7.有學(xué)生30名,他們中有部分學(xué)生參加了乒乓球,羽毛球、排球三個訓(xùn)練小組,各組人數(shù)分別為14人、12人、10人,其中既參加羽毛球小組又參加排球小

10、組的有4人,既參加羽毛球小組又參加乒乓球小組的有6人,既參加乒乓球小組又參加排球小組的有5人,三個小組都參加的有1人。這些學(xué)生中這三個小組都沒有參加的有幾人? 8.某外語學(xué)習(xí)班有40名學(xué)員,規(guī)定他們至少學(xué)習(xí)英語、日語、德語中的一咱。結(jié)果學(xué)習(xí)英語的有20人,學(xué)習(xí)日語的有12人,學(xué)習(xí)德語的有18人,其中有5人既學(xué)習(xí)了英語又學(xué)習(xí)了日語,有2人既學(xué)習(xí)了日語又學(xué)習(xí)了德語,沒有人同時學(xué)習(xí)三咱語言。既學(xué)習(xí)英語又學(xué)習(xí)德語的有多少人? 9.四(1)班有55名學(xué)生參加音樂、美術(shù)、體育興趣組。有22人參加美術(shù)組,有21人參加音樂組,其中15人既參加音樂組又參加美術(shù)組,3人既參加音樂組又參加體育組,但沒有一人既參

11、加美術(shù)組又參加優(yōu)育組。 (1)只參加美術(shù)組的有多少人? (2)只參加音樂組的有多少人? (3)只參加音樂組的有多少人? 能力測試(三) (滿分100分,90分鐘完成) 一、填空題(每空6分,共54分)。 1.小英有2分、5分的硬幣共35枚,一共是1元1角5分,2分硬幣有( )枚,5分硬幣有( )枚。 2.從舊舊歷中知道,1988年元旦昌星期五,那么,2000年元旦是星期( )。 3.買5元1千克的糖和8元1千克的糖共10千克,用去71元。5元1千克的糖有( )千克,8元1千克的糖有( )千克。 4.

12、 圖中共有( )個正方形。圖中菜有( )個三角形。 5.新華小學(xué)四年級共40個學(xué)生采集標(biāo)本,采集昆蟲標(biāo)本的有27人,采集植物標(biāo)本的有21人,兩種標(biāo)本都采集的有( )人。 6.某班學(xué)生去圖書館借書,每人都借了語文或數(shù)學(xué)課外書,統(tǒng)計結(jié)果是:借語文書的39人,借數(shù)學(xué)書的32人,語文、數(shù)學(xué)兩種書都借的有26人,全班學(xué)生共( )人。 二、應(yīng)用題(第1題10分,其余每題9分,共46分)。 1.英文字母A,B,C,D,按規(guī)則排列為ABAACCDABAACCD…共250個字母,最后一個字母是什么?A,B,C,D各有多少個? 2.四年級學(xué)

13、生進行數(shù)學(xué)比賽,規(guī)定算對一題得5分,錯一題扣2分。試卷上共有20道題,李華得了86分,他算對了多少道題? 3.一個停車場上共停汽車、三輪摩托車25輛,其中汽車有4個輪子,三輪摩托車有3個輪子。這些車共有90個輪子。三輪摩托車有多少輛? 4.某班學(xué)生會打籃球的有40人,會打排球的有32人,兩種球都會打的有30人,還有3個學(xué)生這兩種球都不會打。這個班有學(xué)生多少人? 5.有43位同學(xué),他們身上帶的錢從8分到5角,錢數(shù)都不相同,每個同學(xué)都把身上帶的全部錢各自買了畫片。畫片只有兩種:3分一張和5分一張。如果每人都盡量多買5分一張的畫片,那么,他們所買的3分一張是畫片的總數(shù)是多少張? 【精品文檔】第 3 頁

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