高考數(shù)學總復習 第2節(jié) 證明不等式的基本方法課件 新人教A版選修45

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1、第二節(jié)證明不等式的基本方法1了解證明不等式的基本方法：比較法，綜合法，分析法，反證法，放縮法；能用比較法，綜合法，分析法證明簡單的不等式2會用數(shù)學歸納法證明不等式一、不等式證明的基本方法1比較法(1)作差比較法理論依據(jù)：ab ；ab ；abab0.證明步驟：作差 得出結論ab0ab0變形判斷符號ab ab 變形 判斷與1的大小關系 2綜合法一般地，從 出發(fā)，利用 、 、 、 等，經(jīng)過一系列的 、 而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法綜合法又叫 和 已知條件定義公理定理性質推理論證順推證法由因導果法3分析法證明命題時，從 出發(fā)，逐步尋求使它成立的 ，直至所需條件為 或 (定義、公理或已證明的定

2、理、性質等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法，這是一種 的思考和證明方法要證的結論充分條件已知條件一個明顯成立的事實執(zhí)果索因 綜合法和分析法有何內(nèi)在聯(lián)系？提示：綜合法往往是分析法的相反過程，其表述簡單、條理清楚，當問題比較復雜時，通常把分析法和綜合法結合起來使用，以分析法尋找證明的思路，而用綜合法敘述、表達整個證明過程4反證法(1)假設 ，以此為出發(fā)點，結合已知條件，應用 等，進行正確的推理，得到和 (或已證明的定理、性質、明顯成立的事實等)矛盾的結論，以說明假設不正確，從而證明 ，我們把它稱為反證法(2)證明步驟反設 肯定原結論要證的命題不成立定義、公理、定理、性質命題的條件

3、原命題成立歸謬5放縮法(1)證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值 或 ，簡化不等式，從而達到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法(2)理論依據(jù)ab，bca c.放大縮小二、數(shù)學歸納法證明不等式1數(shù)學歸納法的概念當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時，可以用以下兩個步驟：(1)證明當 時命題成立；(2)假設當 時命題成立，證明 時命題也成立在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法稱為數(shù)學歸納法nn0nk(kn0)nk12數(shù)學歸納法的基本過程1已知x、yR，Mx2y21，Nxyxy，則M與N的大小關系是()AMNBMNCMN D

4、不能確定2若|xa|m，|ya|n，則下列不等式一定成立的是()A|xy|2m B|xy|2nC|xy|nm D|xy|nm5已知|ab|c(a、b、cR)，給出下列不等式：abc；abc；abc；|a|b|c；|a|b|c.其中一定成立的不等式是_(把所有成立的不等式的序號都填上)答案：1.比較法是證明不等式的一個最基本、最常用的方法，當被證明的不等式兩端是多項式、分式或對數(shù)式，一般使用作差比較法，當被證明的不等式(或變形后)的兩端都是正數(shù)且為乘積形式或冪指數(shù)形式時，一般使用作商比較法2綜合法是由因導果，宜于表達，適合人們的思維習慣，但是，要求考生要有較強的觀察與變形的能力分析法是執(zhí)果索因，

5、利于思考，但是表述格式要求嚴謹，二者各有所短，相互補充凡是能用分析法證明的不等式，一定可以用綜合法證明 已知a，b，c，d都是實數(shù)，且a2b21，c2d21，求證：|acbd|1.【思路點撥】本題使用綜合法、分析法、比較法都可證明【活學活用】 1.已知：abc0，求證：abbcca0.放縮法證明不等式，就是利用不等式的傳遞性進行證明不等關系，即要證ab，只需先證明ap，且pb.其中p的確定是最重要，也是最困難的，要憑借對題意的深刻分析，對式子巧妙變形的能力，以及一定的解題經(jīng)驗【特別提醒】在解答本題的過程中，易出現(xiàn)結論的假設錯誤，從而導致無法推證，造成這種錯誤的原因是對結論的理解不到位【活學活用

6、】 2.設f(x)x2x13，實數(shù)a滿足|xa|1.求證：|f(x)f(a)|2(|a|1)證明：|f(x)f(a)|(xa)(xa1)|xa|xa1|xa1|(xa)2a1|xa|2a|112|a|12(|a|1)|f(x)f(a)|2(|a|1).2使用反證法證明問題時，準確地作出反設(即否定結論)，是正確運用反證法的前提，常見的“結論詞”與“反設詞”列表如下： (2012青島模擬)設二次函數(shù)f(x)x2px1.求證：|f(1)|與|f(1)|中至少有一個不小于2.【思路點撥】題目中要求證的結論有多種情況，難以一一證明，因而可考慮使用反證法【自主解答】證明：假設|f(1)|與|f(1)|都

7、小于2，即|f(1)|1p1|2p|2，|f(1)|1p1|2p|2，則4(2p)(2p)|2p|2p|4矛盾，假設不成立原結論成立與自然數(shù)n有關的不等式證明問題，如果用常規(guī)方法有困難，可以考慮利用數(shù)學歸納法來證明在利用數(shù)學歸納法證明不等式時，在第二步驟中，要注意利用歸納假設同時，這一步驟往往會涉及到分析法、放縮法等綜合手段【思路點撥】由于本問題是含有正整數(shù)n的命題，可以考慮用數(shù)學歸納法證明【心得】數(shù)學歸納法證明中的兩個步驟體現(xiàn)了遞推思想，第一步是遞推的基礎，第二步是遞推的依據(jù)，兩個步驟缺一不可，否則就會導致錯誤第(1)步中，驗算nn0中的n0不一定為1，根據(jù)題目要求，有時可為2或3等第(2)步中，證明nk1時命題成立的過程中，一定要用到歸納假設，掌握“一湊假設，二湊結論”的技巧在用數(shù)學歸納法證明問題的過程中，還要注意從k到k1時命題中的項與項數(shù)的變化，防止對項數(shù)估算錯誤.