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1、
全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及參考答案
（湖北省3月17日復(fù)試）
1． 選擇題（57=35）
1. 對正整數(shù)n，記n！=12...n,則1!+2!+3!+...+10!的末位數(shù)是( )．
A．0 B．1 C．3 D．5
【分析】時(shí)，！的個(gè)位數(shù)均為0，只考慮前4個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)之和即可，1+2+6+4=13，故式子的個(gè)位數(shù)是3. 本題選C．
2. 已知關(guān)于x的不等式組恰好有5個(gè)整數(shù)解，則t的取值范圍是( )．
【分析】，則5個(gè)整數(shù)解是．
注意到時(shí)，只有4個(gè)整數(shù)解．所以，本題選C
3. 已知關(guān)于x的方程恰好有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的值有(
2、 )個(gè)．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】，下面先考慮增根：
?。┝睿瑒t，當(dāng)時(shí)，（舍）；
ⅱ）令，則，當(dāng)時(shí)，（舍）；
再考慮等根：
ⅲ）對，，當(dāng).
故，共3個(gè).本題選C．
4. 如圖，已知△ABC的面積為24，點(diǎn)D在線段AC上，點(diǎn)F在線段BC的延長線上，且BC=4CF，DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為( )．
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】設(shè)底邊上的高為，則，
本題選D．
5. 在分別標(biāo)有號碼2,3,4,...,10的9個(gè)球中，隨機(jī)取出兩個(gè)球，記下它們的標(biāo)號，則較大標(biāo)號
3、被較小標(biāo)號整除的概率是( )．
【分析】 本題選B．
二．填空題（57=35）
6. 設(shè)，b是a2的小數(shù)部分，則的值為 ．
【分析】考慮到，則
則
7. 一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)1、2、3、4、5、6．?dāng)S這個(gè)正方體三次，則其朝上的面的數(shù)的和為3的倍數(shù)的概率是 ．
【分析】對第一次向上面為1時(shí)，后面兩次所得數(shù)字與1的和是3的倍數(shù)有111，114，123，126，132，135，141，144，153，156，162，165共12種；對于首次擲得向上的面是2，3，4，5，6的，后
4、面兩次與首次的和為3的倍數(shù)是輪換對稱的，故和為3的倍數(shù)共有，而總次數(shù)是次，則其概率為.
8. 已知正整數(shù)a、b、c滿足a+b2-2c-2=0,3a2-8b+c=0，則abc的最大值為 ．
【分析】先消去c，再配方估算．
觀察易知上式中，故，經(jīng)試算，時(shí)，均不是整數(shù)；當(dāng)時(shí)，，于是有，故．
9. 實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足：一元二次方程x2+cx+d=0的兩根為a、b，一元二次方程x2+ax+b=0的兩根為c、d，則所有滿足條件的數(shù)組（a、b、c、d）為 ．
【分析】由根與系數(shù)關(guān)系知，然后可得
（a、b、c
5、、d）=(1,-2,1,-2)
本題在化簡過程中，總感覺還有，此處僅給出一組，好像不嚴(yán)謹(jǐn)，期待官方答案．
10. 小明某天在文具店做志愿者賣筆，鉛筆每支售4元，園珠筆每支售7元，開始時(shí)他有鉛筆和圓珠筆共350支，當(dāng)天雖然沒有全部賣完，但是他的銷售收入恰好是2013元，則他至少賣出了 支圓珠筆．
【分析】設(shè)4元的賣x支，7元的賣y支，則
令，則，又，即，
即他至少賣了207支圓珠筆．
三．解答題（420=80）
11．如圖，拋物線y=ax2+bx-3，頂點(diǎn)為E，該拋物線與x軸交于A
6、、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OB=OC=3OA．直線與y軸交于點(diǎn)D，求∠DBC-∠CBE．
【分析】易知，，作EF⊥CO于F，連CE，易知△OBC、△CEF都是等腰直角三角形，則△CBE是直角三角形．分別在Rt△OBD、Rt△BCE中運(yùn)用正切定義，即有，則
從而可得∠DBC-∠CBE=45．
12．如圖，已知AB為圓O的直徑，C為圓周上一點(diǎn)，D為線段OB內(nèi)一點(diǎn)(不是端點(diǎn))，滿足CD⊥AB，DE⊥CO，E為垂足，若CE=10，且AD與DB的長均為正整數(shù)，求線段AD的長．
【分析】設(shè)圓O半徑為r，則由相似或三角函數(shù)或射影定理可知，，又
由相交弦定理（考慮垂徑時(shí)）或連AC、
7、BC用相似或三角函數(shù)，易知
①，而②
令，①/②即，顯然有，則，即，為正整數(shù)，故，又也為正整數(shù)，經(jīng)逐一試算，僅當(dāng)這一組是正整數(shù)，故.
13．設(shè)a、b、c是素?cái)?shù)，記，當(dāng)時(shí)，a、b、c能否構(gòu)成三角形的三邊長？證明你的結(jié)論．
【分析】
a、b、c是素?cái)?shù)，則為整數(shù)，則，為正整數(shù)．化簡整理后，有
ⅰ),不能圍成三角形;
ⅱ)
綜上所述，以a、b、c不能圍成三角形．
14．如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為m的“魔術(shù)數(shù)”（例如，把86放在415的左側(cè)，得到的數(shù)86415能被7整除，所以稱86為415的魔術(shù)數(shù)) ．求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)a1，a2，．．．，an，滿足對任意一個(gè)正整數(shù)m，在a1，a2，．．．，an中都至少有一個(gè)為m的“魔術(shù)數(shù)”．
【分析】考慮到魔術(shù)數(shù)均為7的倍數(shù)，又a1，a2，．．．，an互不相等，不妨設(shè)，余數(shù)必為1、2、3、4、5、6，0，設(shè)，（），至少有一個(gè)為m的“魔術(shù)數(shù)”．因?yàn)椋╧是m的位數(shù))，是7的倍數(shù)，當(dāng)時(shí)，而除以7的余數(shù)都是0，1，2，3，4，5，6中的6個(gè)；當(dāng)時(shí)，而除以7的余數(shù)都是0，1，2，3，4，5，6這7個(gè)數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，依抽屜原理，與m二者余數(shù)的和至少有一個(gè)是7，此時(shí)被7整除，即n=7．
全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案 (2)
