《小學奧數》小學五年級奧數講義之精講精練第34講置換問題含答案

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1、第 34 講 置換問題 一、專題簡析： 置換問題主要是研究把有數量關系的兩種數量轉換成一種數量，從而幫助我們 找到解題方法的一類典型的應用題。“雞兔同籠”問題就是一種比較典型的置 換問題。解答置換問題一般用轉換和假設這兩種數學思維方法。 解答置換問題應注意下面兩點： 1、根據數量關系把兩種數量轉換成一種數量，從而找出解題方法； 2、把兩種數量假設為一種數量，從而找出解題方法。 二、精講精練 例 1 20 千克蘋果與 30 千克梨共計 132 元， 2 千克蘋果的價錢與 2.5 千克梨的 價錢相等。求蘋果和梨的單價。 練習一 1、6只雞和 8只小羊共重 78千克，已知 5 只雞的

2、重量等于 2 只小羊的重量，求 每只雞和每只小羊的重量。 1 2、商店里有甲種鋼筆和乙種圓珠筆，已知 2 支鋼筆的價錢與 15 支圓珠筆的價 錢相等。老師買了 4 支鋼筆和 6 支圓珠筆，共付 72元，每支鋼筆和每支圓珠筆 各多少元？ 例 2 用 2 臺水泵抽水，小水泵抽 6 小時，大水泵抽 8 小時，一共抽水 312 立方 米。小水泵 5 小時的抽水量等于大水泵 2 小時的抽水量，兩種水泵每小時各抽 水多少立方米？ 練習二 1、學校買回 6 張桌子和 6張椅子共用去 192元。已知 3張桌子的價錢和 5把椅 子的價錢相等，每張桌子和每把椅子各多少元？ 2 2、快慢兩車

3、先后從相距 864千米的甲、乙兩地出發(fā)，快車行 12 小時，慢車行 4 小時后，兩車在途中相遇。已知快車 6 小時行的路程與慢車 7 小時行的路程相 等，求快、慢兩車的速度。 例 3 一件工作，甲做 5 小時以后由乙來做， 3 小時可以完成；乙做 9 小時以后 由甲來做，也是 3 小時可以完成。那么甲做 1 小時以后由乙來做幾小時可以完 成？ 練習三 1、王老師去買筆獎給三好學生。他所帶的錢正好買 4 支圓珠筆和 5 支鋼筆，或 者買 3 支鋼筆和 10 支圓珠筆。如果王老師買 1支鋼筆，剩下的錢可以買多少支 圓珠筆？ 2、一輛卡車最多能載 40 袋大米和 40袋面粉，或者載 10袋大

4、米和 100袋面粉 現(xiàn)在卡車上已載有 20 袋大米，最多還能載多少袋面粉？ 例 4 5 輛玩具汽車與 3架飛機玩具的價錢相等，每架飛機玩具比每輛玩具汽車 貴 8 元。這兩種玩具的單價各是多少元？ 練習四 1、2 支鋼筆的價錢和 3支圓珠筆的價錢相等，一支圓珠筆比一支鋼筆便宜 6 元 錢。兩種筆的單價各是多少元？ 2、師徒二人加工同樣多的零件，師傅用了 3小時，徒弟用了 5 小時。已知師傅 每小時比徒弟多做 6 個零件。二人各做了多少個零件？ 例 5 一段布料可做 18件同樣的上衣和 9 條同樣的褲子，或者做 14 件同樣的上 衣和 15 條同樣的褲子。那么，全做上衣能做多少件？

5、 4 練習五 1、一個籠子能容納 18只同樣在的兔子和 9 只同樣大的雞，或者容納 14只同樣 大的兔子和 15 只同樣大的雞。如果這個籠子用了裝兔子，一共能容納多少只這 樣的兔子？ 2、小明去買同一種筆和同一種橡皮，所帶的兒能買 8 支筆和 4 塊橡皮，或買 6 支筆和 12 塊橡皮。結果他用這些錢全部買了筆，請問他能買幾支？ 三、課后作業(yè) 1、用兩種汽車運貨，如果 2 輛大汽車的載重正好等于 3 輛小汽車的載重，且 5 輛大汽車和 6 輛小汽車一次共運 54 噸貨。求每輛大汽車比每輛小汽車多裝幾噸 貨？ 2、師徒二人加工一批零件，師傅加工 10 小時，徒弟加工 4 小時

6、，二人共加工 了 198 個零件。如果師傅 4 小時的工作量與徒弟 5 小時的工作量相等，那么， 他們二人平均每小時各加工多少個零件？ 3、買 2 條床單和 3 條毛巾共用 210元，買同樣的 3 條床單和 2 條毛巾共用 280 元。買一條床單用多少錢？買一條毛巾用多少錢？ 4、汽車從甲地開往乙地，行完全程用了 3小時，返回時用了 4 小時。已知這輛 汽車去時比返回時每小時快 12 千米，甲、乙兩地相距多少千米？ 5、一輛卡車正好裝滿了 12 箱蘋果和 25 箱桔子，搬下 3 箱蘋果后，空下的地方 正好能放 5 箱桔子。這輛卡車如果全部裝桔子要比全部裝蘋果多裝幾箱？ 第 34 周 置

7、 換 問 題 專題簡析： 置換問題主要是研究把有數量關系的兩種數量轉換成一種數量，從而幫助我們找到解題方法的一類典型的 應用題?！半u兔同籠”問題就是一種比較典型的置換問題。解答置換問題一般用轉換和假設這兩種數學思 維方法。 解答置換問題應注意下面兩點： 1根據數量關系把兩種數量轉換成一種數量，從而找出解題方法； 2,把兩種數量假設為一種數量，從而找出解題方法。 例1 20千克蘋果與30千克梨共計132元，2千克蘋果的價錢與 2.5千克梨的價錢相等。 求蘋果和梨的單 價。 分析2千克蘋果的價錢與 2.5千克梨的價錢相等，那么， 20千克蘋果的價錢就與 25千克梨的價錢相等。 13

8、2+( 25+ 30) =2.4元，即每千克梨 2.4元。知道了梨的單價，再求蘋果的單價就方便了。 蘋果的單價是：(132 — 2.4 X 30)+ 20=3元。 練習一 1, 6只雞和8只小羊共重78千克，已知5只雞的重量等于 2只小羊的重量， 求每只雞和每只小羊的重量。 答案 設雞羊分別是x,y 則 6x+8y=78 5x=2y 解方程組得x=3,y=7.5 所以雞羊分別重3,7.5kg 2, 商店里有甲種鋼筆和乙種圓珠筆，已知 2支鋼筆的價錢與15支圓珠筆的價錢相等。老師買了 4支鋼筆 和6支圓珠筆，共付72元，每支鋼筆和每支圓珠筆各多少元？ 答案 解:每支圓珠

9、筆的價格: 72 v (15 v 2x4+ 6) 2(元) 每支鋼筆的價格 (2x15) v 2 答:每支鋼筆15元海支圓珠筆2元 解析 首先根據2支鋼筆和15支圓珠筆的價錢一樣多，可得4支鋼筆和30支圓珠筆的價錢 一樣多，所以 30 + 6 = 36 （支）圓珠筆的價格是 72元;然后根據單價二總價 ?數量,用72除以36,求出每支圓珠筆的價格，進而求出每支鋼筆的價格是多少即可 3,用兩種汽車運貨，如果 2輛大汽車的載重正好等于 3輛小汽車的載重，且 5輛大汽車和6輛小汽車 次共運54噸貨。求每輛大汽車比每輛小汽車多裝幾噸貨？ 答案 兩輛大

10、汽車二三輛小汽車 所以一輛大汽車=1.5輛小汽車 五輛大汽車=沂門 = 7‘輛小汽車 54 r - h = 4 每輛小汽車的載重為 噸 每輛大汽車的載重為 噸 每輛大汽車比每輛小汽車多裝 2噸貨 例2用2臺水泵抽水，小水泵抽 6小時，大水泵抽8小時，一共抽水 312立方米。小水泵 5小時的抽水 量等于大水泵2小時的抽水量，兩種水泵每小時各抽水多少立方米？ 分析 因為大水泵2小時的抽水量等小水泵 5小時的抽水量，所以，大水泵 8小時的抽水量應該等于小水 泵8十2X 5=20小時的抽水量。因此， 312立方米的水就相當于小水泵（6+ 20）小時的抽水量了。小水泵 每小時抽水是 3

11、12-（ 6+ 20） =12立方米，大水泵每小時抽水 12X 5- 2=30立方米。 1, 學校買回6張桌子和6張椅子共用去192元。已知3張桌子的價錢和5把椅子的價錢相等，每張桌子 和每把椅子各多少元？ 答案 解:因為6張桌子+6把椅子ru元, 所以3張桌子+3把椅子=元,， 又因為3張桌子的價錢和5把椅子的價錢相等， 所以8把椅子的價錢二汪I；元 所以1把椅子 12元, i張桌子的價錢 (192-12x6)4-6 m匸 20元、12元. ■（元）. 答:桌子和每把椅子各是 解析 根據題意6張桌子和6把椅子共用去192元得出,3張桌子和3把椅子共用去96元,

12、 又因為3張桌子的價錢和5把椅子的價錢相等，把3張桌子的價錢換成5把椅子,得出5 把椅子和3把椅子共用去96元，得出1把椅子的價錢，然后求出1張桌子的價錢. 此題考查簡單的等量代換，解決此題的關鍵是有 6張桌子和6把椅子共用去192元得 出,3張桌子和3把椅子共用去96元，把3張桌子的價錢換算成5把椅子的價錢. 2,快慢兩車先后從相距864千米的甲、乙兩地出發(fā)，快車行12小時，慢車行4小時后，兩 車在途中相遇。已知快車6小時行的路程與慢車7小時行的路程相等，求快、慢兩車的速度。 解：設設慢車速度為 4x，快車速度為5x . 5x X12+4x >7=1408 88x=1 408 x=1

13、6 4x=64， 5x=80 答：快車的速度是每小時行 80千米，慢車的速度是每小時行 64千米. 故答案為： 80; 64 本題考查相遇問題基本的數量關系以及按比例分配的運用 .根據已知條件得出快慢車 的速度比， 然后設未知數列方程解答 .這里相等的數量關系是快慢車的路程和等于總路 程. 解析 從題中可知快車與慢車的速度比是 5: 4,可以設慢車速度為4x，快車速度為5x,根 據題意列方程解答 . 3，師徒二人加工一批零件，師傅加工 10 小時，徒弟加工 4 小時，二人共加工了 198 個零件。如果師傅 4 小時的工作量與徒弟 5 小時的工作量相等，那么，他們二人平均每小時

14、各加工多少個零件？ 答案 解： 設師傅每小時的工作量為 X,則徒弟每小時的工作量是 4/5 x.所以4x+ 10X 4/5 x= 180,解得x = 15, 4/5 x = 12, 15 + 12= 27,所以兩人每小時一共加工零件 27個. 本題關鍵是找出師傅與徒弟每小時工作量的數量關系 . 解析 師傅和徒弟每小時的工作量都是未知數，師傅 4 個小時的工作量與徒弟 5 小時的工作 量相等，所以徒弟的工作量是師傅的 4/5 .根據已知條件列方程 . 例 3 一件工作，甲做 5 小時以后由乙來做， 3 小時可以完成；乙做 9 小時以后由甲來做，也是 3 小時可 以完成。那么甲做 1

15、小時以后由乙來做幾小時可以完成？ 分析 把題中兩組已知條件進行對比，甲少做（ 5－3）小時，乙就要多做（ 9－3）小時，也就是甲 2 小時 的工作量和乙 6 小時的工作量相等，甲 1小時的工作量和乙 3 小時的工作量相等。這件工作全部由甲做需 要用5 + 3- 3=6小時，現(xiàn)在甲先做1小時，剩下5小時的工作量由乙來做，乙必須用 5X 3=15小時才能完 成。 練習三 1 ,王老師去買筆獎給三好學生。他所帶的錢正好買 4 支圓珠筆和 5 支鋼筆,或者買 3 支鋼筆和 10 支圓珠 筆。如果王老師買 1 支鋼筆,剩下的錢可以買多少支圓珠筆？ 解： 王老師買帶的錢正好買 4 支圓珠筆和 5

16、 支鋼筆,或者買 3支鋼筆和 10 支圓珠筆 所以 4 支圓珠筆和 5 支鋼筆的價錢與 3支鋼筆和 10 支圓珠筆相等 得到 2 支鋼筆與 6 支圓珠筆的價格相等 所以1支鋼筆價錢3支圓珠筆的價錢相等 4支鋼筆的價錢可以買12支圓珠筆 若王老師買1支鋼筆，它還可以買(12+4)支圓珠筆 王老師買1支鋼筆，剩下的錢可以買 16支圓珠筆 答：剩下的錢可以買16支圓珠筆. 故答案為： 16支 本題考查我們同學關于加減乘除的簡單運算，本題中，要求出答案，必須計算出 1支 鋼筆的價錢與多少支圓珠筆的價錢相當，做題要細心，看清楚本題描述的鋼筆與圓珠 筆的個數. 解析 王老師買帶的錢正

17、好買 4支圓珠筆和5支鋼筆，或者買3支鋼筆和10支圓珠筆，所以 4支圓珠筆和5支鋼筆的價錢與3支鋼筆和10支圓珠筆相等，求出1支鋼筆與幾支圓 珠筆的價格相等? 2, 一輛卡車最多能載 40袋大米和40袋面粉，或者載10袋大米和100袋面粉。現(xiàn)在卡車上已載有 20袋 大米，最多還能載多少袋面粉？ 答案 設卡車載重量為y,大米重a,面粉重b H = 40a + 4仙=1 帥 + UH)b 右邊的等式得 ，代入上式 現(xiàn)有20袋大米,即20a設還需要x袋面粉， y = 2( )a + b 工 120b = 40& + hr 3, 買2條床單和3條毛巾共用210元，買同樣的3條床單

18、和2條毛巾共用280元。買一條床單用多少錢？ 買一條毛巾用多少錢？ 答案 解：一條毛巾和一條床單的價錢 （210+280）少 =490 吒 =98（元） 一條毛巾的價錢 210-98 邀 =210 - 196 =14（元 ） 一條床單的價錢 280-98 邀 =280-196 =84（元） 答：買一條床單用 84 元，買一條毛巾用 14元. 解析 根據題意可知，5條床單和5條毛巾共490元，則1條床單和1條毛巾為490話=98元, 2條床單和2條毛巾為98^=196（元），所以一條毛巾的價等于 2條床單和3條毛巾的 價錢210元減去196元.同理求得床單價錢即2

19、80-98邀=84（兀）. 此題主要考查了物品單價問題，解答此題的關鍵是求出一條毛巾和一條床單的價錢， 再用給出的已知條件分別求出每條毛巾的價錢和每條床單的價錢 . 例4 5 輛玩具汽車與 3架飛機玩具的價錢相等，每架飛機玩具比每輛玩具汽車貴 8元。這兩種玩具的單 價各是多少元？ 分析 因為每架玩具飛機比每輛玩具汽車貴 8元，所以，3架玩具飛機就比 3輛玩具汽車貴8X 3=24元。 由于 5 輛玩具汽車與 3 架玩具飛機的價錢相等，因此，這 24 相當于（ 5－3）輛玩具汽車的價錢，每輛玩 具汽車是24十2=12元，每架玩具飛機的價錢就是 12+ 8=20元。 練習四 1，2 支

20、鋼筆的價錢和 3 支圓珠筆的價錢相等，一支圓珠筆比一支鋼筆便宜 6 元錢。兩種筆的單價各是多少 元？ 答案 解：設鋼筆的單價是 X那么圓珠筆的單價是（X-6）元，依題意可列方程： 2x=（X- 5）*3 2x= 3X- 18 X=18 X 6 = 18-6 = 12（元）. 答：鋼筆的單價是18元，圓珠筆的單價是12元. 故答案為： 18元；12元. 列方程解決求兩個未知數的應用題時，一般的我們設一個未知數為 X根據兩者之間 的關系，用含X的式子表示另一個未知數，然后根據等量關系列方程求解 ? 解析 根據2支鋼筆的價錢和3支圓珠筆的價錢相等，可以找出題中的等量關系，即

21、：鋼筆 的單價& =圓珠筆的單價X3?假設鋼筆的單價是 x那么圓珠筆的單價是（-6）元，列 方程求解. 2, 師徒二人加工同樣多的零件，師傅用了 3小時，徒弟用了 5小時。已知師傅每小時比徒弟多做 6個零 件。二人各做了多少個零件？ 答案 解： 3 >6 訊5 — 3） = 9（個） 9+ 6= 15（個） 徒弟9個，師傅15個 解析 先算出師傅3小時比徒弟3小時多做多少個，即為徒弟 2小時做的數量. 尋找置換中等量關系. 3, 汽車從甲地開往乙地，行完全程用了 3小時，返回時用了 4小時。已知這輛汽車去時比返回時每小時 快12千米，甲、乙兩地相距多少千米？ 答案

22、 設甲乙兩地相距 X千米 ???這輛汽車去時比返回時每小時快 12千米 答:甲乙兩地相距144千米 例5 一段布料可做18件同樣的上衣和 9條同樣的褲子，或者做14件同樣的上衣和15條同樣的褲子。那 么，全做上衣能做多少件？ 分析 把兩組條件進行比較，做（18- 14）件上衣的布料可以做（15- 9）條褲子，也就是 2件上衣的布 料和3條褲子的布料同樣多。9條褲子的布料可以做 9- 3 X 2=6件上衣，所以，一共能做18+ 6=24件上衣。 練習五 1, 一個籠子能容納18只同樣在的兔子和 9只同樣大的雞，或者容納 14只同樣大的兔了和15只同樣大的 雞。如果這個籠子用了

23、裝兔子，一共能容納多少只這樣的兔子？ 答案 （18+9+14+15 ） /2=16 兔+12 雞 18 兔 +9 雞=16 兔 +12 雞 2 兔=3 雞 9 雞=6 兔 18+6=24 2, 小明去買同一種筆和同一種橡皮，所帶的兒能買 8支筆和4塊橡皮，或買6支筆和12塊橡皮。結果他 用這些錢全部買了筆，請問他能買幾支？ 答案 解?屯丸社耳U =鉗專區(qū)=尬II = 8+1 答?結果他用這些錢全部買了筆，他能買9支. 因此，本題正確答案是9 解析 所帶的錢能買8支筆和4塊橡皮，或買6支筆和12塊橡皮,由此可以知道:買. 支 筆的錢可以買 塊橡皮,由此可以得出買1支筆的錢可以買4塊橡皮，然后根據 所帶的錢能買8支筆和4塊橡皮”即可得出?所帶的錢全部買了筆，他能買 支； 由此即可得出答案. 3, 一輛卡車正好裝滿了 12箱蘋果和25箱桔子，搬下3箱蘋果后，空下的地方正好能放 5箱桔子。這輛卡 車如果全部裝桔子要比全部裝蘋果多裝幾箱？ 答案 吃箱蘋果_ 3箱蘋果_ /亠 倍 — 9（］ 4倍 箱橘子-箱橘子 總共能裝: 20藥=G箱橘子 25箱橘了 _ . 匚箱橘r —計倍 5倍?’箱蘋果 箱蘋果 寫財』吃箱蘋果 多裝’ 箱 15